Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 7

Опыт показывает, что физическое действительное пространство в не очень больших масштабах с большой точностью можно считать евклидовым. Понятие времени связано с опытом и неАбеолютиое ерема обходимо в механике. Любое механическое явление всегда описывается с точки зрения какого-либо наблюдателя. Время, вообще говоря, может зависеть от системы отсчета наблюдателя. Мы будем считать, что время течет одинаково для всех наблюдателей — в поезде, самолете, аудитории... Следовательно, мы 3 2. Основные гипотезы 21 будем пользоваться абсолютным временем — идеализацией, которая пригодна для правильного описания реальности не всегда, а только тогда, когда не учитываются эффекты теории относительности. Итак, будем рассматривать движение сплошной среды— континуума в евклидовом пространстве и будем пользоваться абсолютным временем. Ракии образом, выше введенытрифундаментальные гипотезы, с использованием которых будет строиться теория движения деформируемых тел.

Выводы из теории, основанной на этих гипотезах, часто, но не всегда, согласуются с опытом. В нул1ных случаях принятую модель пространства и времени моя~но уточнять и обобщать. Однако все дальнейшие обобщения строятся с учетом и на основе механики Ньютона, базирующейся на описанных выше фундаментальных гипотезах. Сущность этих ппютез станет более попятной из развиваемой далее теории. ГЛАВА 11 11ИНЕМАТИИА 1АЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ й 1.

Точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды Системы координат Движение всегда определяется по отно- шению к некоторой системе отсчета— системе координат. С помощью системы координат устанавливается соответствие между числами и точками пространства. Для трехмерного пространства точкам ставятся в соответствие трн числа х', х', хз, которые называютсн координатами точки. Линии, на которых какие-либо две координаты сохраняют постоянные значения, называютсн хг координатными линиями(рис.

1). Например, линия, вдоль которой х'-'= сонет, х =совет, опрехз делает координатную линию х', вдоль этой линии различные точРвс. 1. Крввоаввек1ввя в деквр- ки фиксируются значениями х'; това системы кооРдв""т направление роста координа- ты х' определяет направление вдоль этой линни.

Через каждую точку пространства можно провести три координатные линии. Касательные к координатным линиям в каждой точке не лежат в одной плоскости и образуют, вообще говоря, неортогональный триэдр. Если координатные липин х', х', хз прямые, то это прямолинейная система координат; если нет, то — криволинейная. Дальше мы увидим, что криволинейные системы координат, по существу, необходимы в механике сплошной среды. Условимся через х', х', хз обозначать коОбозначения координат ордннаты относительно любой, в том чнсв времеви ле иногда и декартовой, системы координат, а через х, у, з — координаты только относительно ортогональной декартовой системы координат, через 1 — время.

Точка дэнн<ется относительно системы Движение точки оординат х1 х2, хз ес. и ее коорд аты меняются в зависимости от времени: х =. /~ (1) (1 = 1 2 3) (1.1) 1 1. Точка зрения Лагранжа х' = х' (а, Ь, с, г), х'.= хз(а, Ь, с. Е), или з,'.==х'(а, Ь, с, с), (1.2) зз зз(а Если в (1.2) а, Ь, с будут фиксированными, а г — переменным, то (1.2) дадут закон движения одной фиксированной точки континуума. Если а, Ъ, с будут переменными, а з — фиксированным, то функции (1.2) дадут распределение точек континуума в пространстве в данный момент времени.

Если переменными будут на, Ь, с и г, то на (1.2) можно смотреть как на формулы, определяющие движение сплошной среды, н по определению функции (1.2) являются законом движения континуума. Координаты а, Ь, с или ь', $з, 5з, индивидуализирующие точки континуума (или иногда определенные функции от них), и время с называются переменными Лагранвга. Основная задача механики сплошной среды заключается в определении функций (1.2). В дальнейшем мы всегда явно или неявно будем опираться на понятие закона движения.

Лагранжевы переменные Движущаяся точка в разные моменты времени отождествляется с разными точками пространства. Движение точки известно, если известны функции (1.1), называемые законом движения точки. Сплошная среда представляет собой неДввжевве континуума прерывную совокупность точек. По определению знать движение сплошной среды — зто значит знать движение всех ее точек (изучения движения объема сплошной среды как целого вообще недостаточно). Для етого необходимы правила индивиОб нвдвввдузлвзацнв то дуализации отдельных, совершенно одичек континуума паковых с геометрической точки зрения точек континуума.

В дальнейшем увидим, что используемые в теории правила индивидуализации определяются, вообще говоря, тем, что движение каждой точки сплошной среды подчиняется определенным физическим законам. Индивидуальные точки сплошной среды можно, например, задавать значениями их начальных координат. Координаты точек в начальный момент времени ~ будем обозначать двояко: а, Ь, с или $', ьз, ьз, а координаты точек в любой момент времени — хг, х', х'. Для любой точки континуума, выделяе"ен™у- мой координатами а Ь с можно написать ума закон двихсопия, в который входят функции уяге не одной, как в случае движения точки, а четырех переменных — начальных координат а, Ь, с и времени и 24 Гл. 11.

Киксмстика леформирусмой среды Ради общности заметим, что сплошная среда представляет собой совокупность точек, но не обязательно должна являться материальным телом. Так, например, иногда поясно условиться изображать точками на плоскости цены различных товаров и изучать методами кинематики сплошной среды движение цен в экономике. Можно также, и это часто делают, изучать законы перемещения в пространстве различных состояний движения материальных частиц, а не самих часттщ. Например, на поверхности ржаного поля в ветреную погоду наблюдаются волны, и можно говорить о перемещениях в пространстве максимальных возвьппений илн впадия поверхности ржи, а не самих колосьев. Таким образом, з кинематике сплошную среду можно рассматривать как абстрактный геометрический образ, а не только как материальное тело.

Движение сплоптной среды может управляться различными законами. Это могут быть, если мы рассматриваем двкжение материального тела, уже известные нам в основном физические законы илн, если мы говорим, например, о движении цен, только познаваемые в настоящее время математические законы экономики. При изучении механики деформируемой Непрерывность функций, эацающих эскоп движения среды мы хотим опереться на аппарат дифференциального и интегрального исчислений.

Поэтому предположим, что функции, входящие в закон движения континуума, непрерывны и имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам. Это довольно общее допущение„но вместе с тем оно сильно ограничивает класс допустимых для изучения явлений. Действительно, воду, например, можно разбрызгивать. При этом находившиеся первоначально бесконечно близко друг к другу частицы воды в последующие моменты времени не будут близки друг к другу. Описать такого рода явление в предположении о непрерывности закона движения нельзя. В последующем увидим, что во многих случаях предположение о непрерывности движения придется ослаблять и рассматривать такие движения, сами характеристики которых илн их производные терпят разрывы на отдельных поверхностях. Такого рода разрывы, например ударные волны, мы будем рассматривать в дальнейшем.

Однако заметим, что изучение разрывных движений ведется на базе теории непрерывных движений. Основываясь на соображениях физичес- Вэвимоодкозксчкссть зскокого характера, предположим, что в каждый фиксированный момент времени 8 = сопэз функции хт = х* Я1, $', $з, т) являются взаимно однозначными функциями. 25 1 1. Точка зрения Лагранжа Как известно, в атом случае якобиан доз доз доз доз дЦ' доз доз доз доз доз ~Цз даз дхз доз дх' доз дгз доз +о, т. е. формулы (1.2) можно разрешить относительно $', ьз, зз и представить решение в виде однозначных непрерывных функций $ = $ (х, х, х, 1). (1.З) Общие свойства иепрерыо- Совокупность значений х',х',х' образует аых отображений в пространстве область 1з, занимаемую телом в данный момент времени 1.

Если координаты з', $з, зз рассматривать как значения координат х', х', х' в некоторый другой момент времени 1, то область 0о дч'со сичз) зз зле з1 Рпс. 2. Движение коитикуума. При 1 =1з оз — 51 оз цз оз — ~з изменений з', $з, $з соответствует объему, занятому телом в момент го. В этом случае закон движения (1.2) и (1.3) можно рассматривать как взаимно однозначное и непрерывное отображение областей.0 и.0,. Как известно, общие топологнческие свойства таких преобразований заключаются в том, что любой объем го переходит в объем У, поверхность Я, — в поверхность Я, линия Ь вЂ” в линию Ь, причем замкнутая поверхность переходит в замкнутую, а замкнутая линия — в замкнутую линию (рис, 2), Например, объем не может перейти в точку, так как при этом нарушилось бы условие взаимооднозначности, а замкнутая линия не может перейти в незамкнутую линию, так как при этом нарушилось бы условие непрерывности.

26 Гл. Н. Кинематика деформируемой среды Система отсчета Как всякое движение, движение континуума всегда определяется по отношению к некоторой системе координат х', х', хэ — системе отсчета наблюдателя. Эта система координат может быть выбрана произвольно.

Она вводится по условию, и выбор ее зависит от исследователя. На практике она часто связана с Землей, но может быть связана и с Солнцем, звездами, самолетом, вагоном и т. д. По смыслу введения она может быть подвижной или может считаться неподвижной. В ньютонианской механике особенное физическое значение имеет рассмотрение двиясения относительно ипсрциальных систем координат, движущихся относительно друг друга поступательно с постоянной по времени скоростью.