Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 11

Здесь ИЛ вЂ” скалярнтзй параметр. В компонентах получаем ох1 Нее сЬ~ м ие — = и'(х' хе хз ~) (3.2) Это и есть дифференциальные уравнения линий така. Они отличаются от дифференциальных уравнений, определяющих закон движения или траектории движения частиц сплошной среды, которые, очевидно, имезот вид ь' В уравнениях (3.3) как в правую, так и в левую части входит время г, а в уравнениях (3.2) производные берутся по Л, а правые части зависят от ~.

При интегрировании (3.2) г следует рассматривать как постоянный параметр, а в уравнениях (3.3) 4 необходимо считать переменным. Таким образом, линии тока, вообще говоря, не совпадают с траекториями. Семейство линий тока х' =х'(е', с', с', Л, 4) зависит от времени и в равные моменты времени разное. 42 Гл, П.

Кинематика дефорккруеыой среды Однако параметр 8 входит в правые части (3.2) и (3.3) только в случае неустановившихся движений. В случае установившихсй движений разница между уравнениями (3.2) и (3.3) пропадает, она сводится только к разному обозначению параметра по которому проводится дифференцирование, что не играет никакой роли. Поэтому линии тока и траектории при установившихся движениях совпадают.

Рассмотрим некоторые примеры. Постутраекторяй Примеры лвккй тока и пательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любой прямолинейный отрезок, взятый в теле, перемещается параллельно самому себе. Все точки твердого тела при поступательном движении имеют в данный момент времени одинаковые по величине и по направлению скорости. Следовательно, линии тока в этом случае всегда прямые. А траектории) Поступательное движение твердого тела может происходить по любой траектории, в том числе и по окружности (см. рис.

6). Поэтому линии тока и траектории в общем случае поступательРкс. 6. Поступатель- ного движения твердого ' тела не совпакое движение твердо- даЮт. го теле по окруж- В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси линии тока и траектории совпадают. Они являются окружностями, расположенными в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, и имеющими центры на оси вращения. В случае произвольного движения твердого тела линии тока — винтовые линии, а траектории могут быть произвольными. Существуют ли такие неустановившиеся движения, для которых линии тока все же совпадают с траекториямир Возьмем, например, прямолинейное движение твердого тела с переменной скоростью.

В этом случае как линии тока, так н траектории будут прямымн, а само движение будет, конечно, неустановившимся. Аналогично линии тока и траектории будут совпадать в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси с переменной угловой скоростью. В общем случае линии тока и траектории будут совпадать друг с другом при таких пеустановившихся движениях, в которых скорости меняются в данной точке пространства с течением времени только по величине, но не по направлению. Следовательно, линии тока и траектории совпадают для полей тт (х', х*, хз) и и =у (х', х*, х', 8) тт (х', хе,~ х'), где у (х', зл,х', т) — скалярная функция своих аргументов.

$3. Скаллркыо к векторные поля в кх характеристики 4З Существованке лений тока Дифференциальные уравнения линий тока (3.2) можно переписать н виде ~л л Ло „я лл1 и~ ' лх1 (3.4) и поставить для них задачу Коши, т. е. задачу отыскания таких решений х' (х', 1), х' (х', ~), которые при заданном х' = хо1 обращаются в заданные величины хо (8) и хо (8) (8 — постоянный параметр). Как иавссгно иэ общей теории дифференциальных уравнений, задача ??оши всегда имеет единственное решение, но венком случае тогда, когда в (3.4) правые части и их производные по х' непрерывны. Таким обрааом, вообще говоря, через каждую точку можно пронести единственную линию тока.

Однако может случиться так, что все комОсобые н крктнчесьие поненты скорости л' обратятся в некоторой точке х', х',хо в нуль или в бесконеч ность. В этих точках правые части уравнений (3.4) становятся неопределенными, и такие точки являются особыми точками дифференциальных уравнений линий тока.

В них может нарушаться теорема единственности, и в них А линии тока могут пересекаться. Особые точки могут иметь тип центра, фокуса, седла, узла и быть Я более сложными. В потоке жцдкости особые точки дифференциаль- ных уравнений линий тока носят Рнс. 7. Критическая точка название критических точек. ??а- ка профиле крыла.

пример, критической точкой в потоке является точка А — точка встречи набегающего потока с профилем крыла, в которой линия тока Х разветвляется на две (рис. 7). Через каждую точку„'произвольной кривой С можно провести линию тока. ??ри Поверхности тока, вектор- этом, если С не является линией тока, образуется поверхность, в каждой точке которой скорость и лежит в касательной плоскости. Эта поверхность называется поверхностью тока. Аналогично построенная поверхность для проиавольного векторного поля называется векторной понерхностью. Как найти поверхность тока ? (х~, х', х') = сопнй Очевидно, лгал ?', направленный по нормали к ? (х', х', ха) =- сопз1, будет перпендикулярен к вектору и, и, следовательно, дгаб1.п = О, Гк. 11. Кииеиатика дефориируеиой среды 44 т.

е, и — + и — + и — = О. а) а1 а1 дх др дг (3.5) ар де д[р ак аи дс то поле скоростей и называется потенциальным, а функция у называется потенциалом скорости. Аналогично произвольное векторное поле А (х, у, з, 1) является потенциальным, если есть функции Ф (х, у, з, 1) такая, что А = ягай Ф (х, у, з, 1). Согласно свойствам вектора-градиента скорость и в случае потенциальных течений ортогональна поверхности равного потенциала у = сопзс и больше там, где поверхности равного потенциала расположены гуще; проекция скорости и на любое направление в есть производная от потенциала ~р по атому направлению: и, = ду/дз. Составим выражение и Ых + и Ыу + ю Ыз.

(3.6) Мы получили дифференциальное уравнение в частных проиаводных для определения функции 1 (х, у, г). Описанный вьппе способ построения поверхностей тока указывает способ интегрирования уравнений с частными проиаводными, имеющих вид( 3.5). Это интегрирование сводится к нахождению семейства линий тона, проходящих через контур С, т. е. к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (решения этих обыкновенных уравнений называются в общем случае характеристиками). Видно, что построить таким образом единственное решение можно лишь з случае, когда сам контур С не является линией тока (т.

е. характеристикой), Коли кривая С замкнутая, то совокупТрубки тока, векторные трубки ность проведенных через ее точки лилий тона образует трубку тока. В случае произвольного векторного поля аналогично построеннаи трубка носит название векторной трубки. Выше мы рассмотрели вектор-градиент вектоРпое температуры Т. Возникает вопрос: нельполе, потеициакьиые тезя ли вектор скорости и представить в виде градиента некоторой скалярной функции ~р (х, у, з, 1)? Коли существует такая функция ю (х, у, з, 1), что т 3. Скалярные и векторные поля и кх характеристяки 45 Необходимое и достаточ иое условие сущоствова вкя потенциала Если течение потенциальное, то (3.6) будет полным дифференциалом (по координатам х, у, х) функции у.

В самом деле, иох+ юг(У+йгЬ = д г(х+ д яУ+-Уг-ох = ИФ. до до д(р Верно и обратное: если выражение (3.6) является полным диф- ференциалом, то течение потенциально. Известно, что для того, чтобы (3.6) было полным дифференциалом, должны выполнять- ся равенства до да да дм да ды ду дх ' да дг ' дг ду е 7= —— 4ят ' (3.7) где г = 7 ха+ух+к', а (г = сопэС или г,г = тт(э), ясно, что поверхностями равного потенциала у = сопэ1 являются в этом случае поверхности г = сопзь, т. е. концентрические сферы с центром в начале координат. Скорость в = ягай гр ортогональна к этим сферам, т.

е. направлена по радиусам. Линии тока являются лучами, выходящими иа начала координат. Пусть которые являются необходимыми и достаточными условиями потенциальности течения. Далее мы увидим, что потенциальные течения играют важную роль, а пока рассмотрим некоторые примеры потенциальных течений. Примером потенциального течения может Поступательное течение служить поступательное течение с постоннной скоростью иа вдоль оси х. В этом случае и = вю э = й = О, а потенциал ~р, так как д(р до ду — =иа, — — — —,— --О, до ' ду дг равен ~р = иа х + сопз1. Отсюда легко сделать два очевидных вывода.

Во-первых, потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной по координатам, во-вторых, любое поступательное течение всегда потенциально. Действительно, в общем случае поступательного течения и =. ио,пе па, й =йа и гр = пол + эеУ + йох + С; при этом н„о„иг, иС могутбыть функциями г.

Заметим, что изучать потенциальные течения проще, чем непотенциальные, так как потенциальные движения определяются одной функцией гр (л, у, х, ~), а двиягення общего вида — тремя: э' (л, у, х, г), эг (л, у, х, 1), оа (х, у, х, 1).

к и к в . Рассмотримешеодинважныйдля дальней- Источвик и сток в прострак стае пгего пример потенциального течения. Пусть йа Рл. П. Ккнематкка деформнруемой ореды Д ) О; тогда, так как ягабф направлен в сторону роста ф, то и направлена по ч. Если ~ ( О, то н направлена по— (рнс. 8). Величина скорости равна !(К аб ф).1 = ! д ) = Скорость стремится к нулю при г — к и к бесконечности при г — + О. Точки нуль и бесконечность являются критическими. При ~ ) О имеем вытекание жццкости из начала координат во всех Рнс. 8. Течения от точечных источника н стока е пространстве.

направлениях — это течение называется точечным пространственным источником. При () ( Π— втекание жидкости в начало координат — сток. В первом случае в бесконечно удаленной точке имеем сток, а во втором — источник. Вычислим объем жидкости, протекающей эа единицу времени через поверхность сферы Я некоторого радиуса г с центром в начале координат. Через элемент сферы Ыс за единицу времени протекает объем жидкости о Ыа, а через всю сферу и йс = и ~И = йягтн = ~ (и можно вынести за знак интеграла, так как и = сопев на поверхности сферы). Заметим, что первые два равенства верны всегда, когда н = и (г) и и ортогональна к поверхности сферы о. Вычисленный объем жидкости не аависит от г.