kudryavtsev1a (Кудрявцев - Курс математического анализа)

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ Курс математического анализа т.. ~ Допущено Мииистерством высшего и срсдпого сосцпазьпого образования СССР в вачестве учебника дзв студсатов физива.матсматическпх и ивжеварио-физических споциааьиостсй вузов МОСКВА «ВЫС|ПАЯ ШКОЛА ИМ ББК 22.16 К88 УДК 617(6.76.8) В перл 1 р. 60 к. Книга написана профессором, доктором физико-математических наук, заведующим кафедрой высшей математики МФТИ, ст, научным сотрудником Математического института им.

В. А. Стейлова АН СССР. Учебник соответствует новой програмне для вузов. Особое внпмание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитическнх методов, в нем нашли отражение и некоторые геоыетрические приложения анализа. В первом томе излагаются дифференциальное и инте. гральиое исчисления функций одной переменной, простейшие сведения о функциях многих переменных н теория рядов. Предназначается студентам университетов и физико-математических и яиженерно-физических специальностей агузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки. 20203 045 К 35 — 81 001101) — 81 517.2 ББК 22.10 170М50000 гы1 Издательство «Высшая школаз, 1981 Кудрявцев Л. Д. К 88 Курс математического анализа 1в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов.

— Мл Высш, школа, 1981, т. 1. — 687 со ил. ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемый курс математического анализа написан на основе двухтомного учебника автора «Математический анализ». *' Настоящий учебник соответствует новым требованиям, предъявляемым к математическому образованию. Благодаря более четкому выделению вопросов, относящихся к основным понятиям математического анализа и их применению к решению задач, этот учебник можно использовать как в высших технических учебных заведениях, так и в университетах.

Изложение материала ведется на уровне, доступном широкому кругу студентов. Вопросы, выходящие за рамки программы по высшей математике для втузов и посвященные более глубокому изучению анализа на университетском уровне, отмечены звездочкой. В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли в последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически.

Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах. Вместе с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при других, так называемых «конструктивных», методах построения теории действительных чисел (когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби нли сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования 1непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же при построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сформулировать и перейти к изучению математического анализа в собственном смысле слова.

За исключением параграфов, посвященных теории действительных чисел, в курсе за основу принят индуктивный метод изложения материала. Так, например, понятие предела сначала изучается для числовых последовательностей, затем для функций одной действительной переменной, далее вводится понятие предела по множеству в евклидовом пространстве, предела интегральных сумм 'и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия предела по фильтру в топологическом пространстве. Доказываемые теоремы не всегда формулируются с наибольшей общностью; иногда для лучшего выявления сущности изучаемого вопроса и идеи проводимого доказательства рассмотрение проводится лишь для достаточно гладких функций.

Такая точка зрения -«л. -. ° ., „.«....Р --. - -.в- фт- ы =оРое издаиие этого у«вовика выходило в 1973 г. в издательстве «Высеаи юлила». Предисловие в соответствующих функциональных пространствах многие теоремы, доказанные,для гладких функций, могут быть единым методом с помощью предельного перехода перенесены на более широкие классы функций. К сожалению, эту идею невозможно довести до конца без существенного увеличения объема книги. Поэтому вопрос о плотности «хороших» функций в различных функциональных пространствах рассмотрен в курсе лишь в простейших случаях. Большое внимание в учебнике уделяется решению задач методами, основанными на изложенной теории.

Кроме того, читателю для самостоятельной работы рекомендуются упражнения и задачи, Решение упражнений весьма полезно для активного усвоения математического анализа. Отдельные же из предлагаемых задач довольно трудны. Их решение ве является необходимым для овладения материалом и может потребовать довольно длительного времени. Как правило, они связаны с интересными и достаточно глубокими математическими фактами, для подробного изложения которых не нашлось места в книге.

Нумерация упражнений ведется отдельно в каждом параграфе, нумерация же задач, как и рисунков — сквозная. Значительная часть материала, вошедшего в книгу, в течение многих лет излагается автором в Московском физико-техническом институте в лекционном курсе математического анализа. Автор обсуждал многие вопросы, относящиеся к изложению различных тем, со своими коллегами по кафедре высшей математики Московского физико-технического института и получил от них много полезных советов, которые все были приняты во.внимание при подготовке рукописи к печати.

Автор выражает свою глубокую благодарность С. М. Никольскому, О. В. Бесову и Г. Н. Яковлеву, с которыми он много лет чятает параллельно курс математического анализа и постоянно обсуждает различные аспекты курса. Раздел, посвященный обобщенным функциям, написан под несомненным влиянием В. С. Владимирова, которому автор выражает свою искреннюю признательность за многие полезные замечания. Особенно признателен автор рецензентам книги — Н. В. Ефимову и В.

А. Ильину, подробные и обстоятельные рецензии когорых позвопили во многом улучшить изложение материала. Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность преподавателям кафедры математики Московского физико-технического института И. А. Борачиискому, К. А. Бежанову, Ф.

Г. Булаевской, В. А. Ходакову, сделавшим много полезных предложений, которые все были учтены при окончательном редактировании текста. Автор также приносит свою искреннюю признательность научному редактору Н. М. Флайшеру, проделавшему большую работу, содействовавшую несомненному улучшению учебника. ГЛАВА ПЕРВАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ 'ПЕРЕМЕННОЙ 5 1, МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ ЕЕ МНОЖЕСТВА.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ В математике первичными понятиями являются понятия мно.жества, элемента и принадлежности элемента - множеству. Множества будем обозначать большими буквами латинского или какого-либо другого алфавита: А, В, ..., Х, У, 6, 6, ..., а элементы множеств — малыми буквами: а, Ь, ..., х, Е, ..., с», Р, .... Если а является элементом множества А, то пишут аен А (читается <а принадлежит множеству А») или, что означает то же, А ~ а. Если же а не принадлежит множеству А, то пишут аф А или А Ела. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Таким образом, равенство А=В означает, применительно к множествам, что одно и то же множество обозначено разными буквами А и В. Запись А =)а, Ь, с, ...) означает, что множество А состоит из элементов а, Ь, с и, возможно, каких-то других, заданных тем или иным способом. Если множество А состоит из элементов а, где с» пробегает некоторое множество индексов Н, то будем писать А=)а ) нли, подробнее, А = ~а„)„~ и, или, если это ие может привести к недоразумениям, просто А=)а).

Если множество А состоит из элементов, обладающих определенным свойством, то будем писать А'='(а:...), где в фигурных скобках после двоеточия записано хййзаыное свойство элементов множества А. Например, если а и Ь: — два таких действительных числа, что а=-Ь, и через ~а, Ь) обозначено множество всех действительных чисел х, удовлетвоРяющих неравенствам а =х~Ь, то определение этого множества (отрезка) посредством введенных символов можно записать следу<вщим образом: ~а, Ь]= (х: а(х ==Ь).