ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 7

Продолжая указанные рассуждения далее, мы придем к двум возможностям: !) либо описанный процесс измерения оборвется на п-м шаге вследствие того, что точке М соответствует рациональное число а,,а!Йе...а (в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь аа,а7аа... ав000..., которую мы отождествляем с рациональным числом ама!а2 ... а„); 2) либо описанный процесс измерения никогда не оборвется и мы получим бесконечную последовательность рациональных чисел ЙО! ЙО Й!' ..., ЙО а!Й2 ... Йч', (2.1) представляющих собой результат измерения по недостатку отрез- 1 1 ка ОМ с точностью до 1, —,..., —, .... 1О 1О" Каждое из чисел последовательности (2.1) может быть получено обрыванием на соответствующем знаке бесконечной десятичной дроби (2.2) ао, а!ае...а„...

Таким образом, в случае 2) точке М числовой оси отвечает вполне определенная бесконечная десятичная дробь (2.2). Можно сказать, что и в случае 1) точке М отвечает бесконечная десятичная дробь (2.2), но в этом случае у этой дроби все десятичные знаки с номером, большим п, равны нулю, т. е. указанная дробь в случае 1) имеет вид а„а!Й2 ...

а„000 .... Приведенные нами рассуждения применимы и для случая, когда точка М лежит левее точки О, только в этом случае естественно считать, что все элементы последовательности (2.1) и бесконечная дробь имеют отрицательный знак. Итак, мы убедились, что описанный нами процесс измерения позволяет поставить в соответствие каждой точке М числовой оси вполне определенную бесконечную десятичную дробь. Это об- 2 Зак, 72 Гл. 2. Вещестеениые числа стоятельство естественно приводит нас к необходимости рассмотрения чисел, представимых бесконечными десятичными дпобями. 3 а м е ч а н и е.

Конечно, описанный нами процесс измерения отрезка ОМ можно видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению не бесконечных десятичных, а, например, бесконечных двоичных или бесконечных трон чных дробей. Желание рассматривать бесконечные десятичные дроби вызвано лишь той особой ролью, которую традиционно играет десятичная система счисления. Развитие электронной вычислительной техники повысило роль двоичной н троичной систем счисления, ибо (в силу конструктивных особенностей ЭВМ) эти системы счисления более удобны в практике использования ЭВМ. 3.

Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей. Во вводной главе мы уже отмечали, что понятие числа относится к так называемым начальным понятия м (т. е. к понятиям, которые могут быть разъяснены, но не могут быть строго определены, ибо всякая попытка дать строгое определение такого понятия неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным). Мы введем понятие вещественных чисел, отправляясь от множества бесконечных десятичных дробей. Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей (как положительных, т. е. взятых со знаком +, так и отрицательных, т.

е. взятых со знаком — ). Мы будем придерживаться следующего плана. Для множества всех чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, мы введем операцию упорядочения. После этого мы убедимся, что для введенной нами операции упорядочения остается справедливым то же самое свойство 4', которос сформулировано в п. 1 для рациональных чисел (т.

е. свойство транзнтивностн знаков > н = ). Наличие только одного этого свойства позволит нам доказать замечательную теорему о том, что у множества чисел, представимых бесконечными десятичными дробями и ограниченных сверху (или соответственно снизу), существует число, представимое бесконечной десятичной дробью и являющееся точной верхней (или соответственно точной нижней) гранью указанного множества чисел.

После этого вводятся операции сложения и умножения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Это дает нам возможность ввести вещественньег числа как такиг числа, которые пргдставимы бесконечными десятичными дробями и для которых указанным нами способом определены операции упорядочения, сложения и умножения. Доказанная нами теорема о существовании точных граней позволит доказать существование суммы и произведения двух любых вещественных чисел, а также справедливость для этих чисел тех же самых 1б основных свойств, которые сформулированы в и. 1 для рациональных чисел. $ !.

Множество чисел, представимых бесконечными дробями зб Приступим к реализации указанного плана. В этом пункте мы введем для чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, операцию упоапядочеиия и установим, что эта операция обладает свойством 4, сформулированном в и. 1 для рациональных чисел (т. е. свойством траизитивиости знаков > и =). Рассмотрим произвольное число, представимое бесконечнцй десятичной дробью, отличной от 0,000.... Это число мь1 будем называть и о л о ж и т е л ь н ы м, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком +, и отрицательным, если оно представимо бесконечной десятичной дробью, взятой со знаком —. Числа, не являющиеся положительными, мы будем называть неположительными, а числа, не являющиеся отрицательными,— неотр и ца тельными.

Сразу же отметим, что все рациональные числа относятся к множеству чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Представление данного рационального числа бесконечной десятичной дробью можно получить двумя способами: 1) взяв точку М, отвечающую данному рациональному числу на числовой оси, и произведя измерение отрезка ОМ с помощью масштабного отрезка способом, указанным в п. 2; 2) взяв обыкновенную дробь тп1п, представляющую данное рациональное число, и поделив числитель пт на знаменатель и «столбиком> *. Мы представляем читателю убедиться в том, что оба эти способа эквивалентны друг другу. Так, при любом из указанных способов рациональному числу !/2 ставится в соответствие бесконечная десятичная дробь 0,5000..., рациональному числу 4/3— бесконечная десятичная дробь 1,333....

Прежде чем перейти к формулировке правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рассмотрим вопрос о представлении в виде бесконечных десятичных дробей тех рациональных чисел, которые представимы в виде конечной десятичной дроби. Заметим, что такие рациональные числа допускают д в а и р е д с т а в л е н и я в виде бесконечных десятичных дробей. Например, рациональное число 1(2=0,5 можно представить в виде двух бесконечных десятичных дробей: 1) 1/2=0,5000..., 2) 1/2=0,4999.... Вообще, рациональное число а=ас,а1ав...а„, где а„чь0, можно записать в виде двух бесконечных десятичных дробей: 1) а=ас, а1ат ... а„000..., 2) а=ао, а1ат ... а„1(а„— 1) 999.... * В курсе средней школы доказывается, что при таком делении получается обяаательно периодическая бесконечнаи десятичная дробь. Гл.

2. Вев|ественвые числа Естественно, мы должны отождествить указанные две бесконечные десятичные дроби (т. е. считать, что они представляют одно и то же вещественное число). Рассмотрим теперь два произвольных вещественных числа а и Ь и предположим, что эти числа представляются бесконечными десятичными дробями а=-|-ао, а аг,, а,, Ь=~Ьа, Ь|Ьг" Ье", (2.3) где из двух знаков + и — в каждом представлении берется ка- кой-то один.

Исключим уже рассмотренный выше случай, когда обе беско- нечные десятичные дроби в (2.3) имеют одинаковые знаки и слу- жат двумя различными представлениями одного и того же рацио- нального числа, представимого конечной десятичной дробью. По- сле исключения этого случая договоримся называть два числа а и Ь равными, если их представления в виде бесконечных десятич- ных дробей (2.3) имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств ао=Ьс а|=Ь!, аг=Ьь ...,а„=.Ь„, (2.4) Итак, мы называем два числа а и Ь равными, если их представления в виде бесконечных десятичных дробей (2.3) имеют одинаковые знака и если либо справедлива цепочка равенств (2.4), либо бесконечные десятичные дроби в (2.3) служат двумя представлениями одного и того же рационального числа, предста- вил|ого конечной десятичной дробью.

Пусть даны два неравных числа а и Ь, представимых беско- нечными десятичными дробями. Установим правило, позволяю- шее заключить, каким из двух знаков, > или (, связаны зти числа. 1(оговоримся называть модулем числа а, представимого бесконечной десятичной дробью, число, представимое той же са- мой бесконечной десятичной дробью, что и число а, но всегда взя- той со знаком +. Модуль числа а будем обозначать символом 1а).