ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 123

А именно мы назовем отображение Р(х):Е"' — ьЕв, определенное на некотором открытом подмножестве г,с:Е"', ди4>ференс(ируемым в точке х~Х, если существует такой ограниченный линейный оператор Е„~(Е"' Е"), что для любого е>0 можно найти 6>0, при котором из неравенства ))Ь() с 6 следует неравенство )!Р(х+ Ь) — Р(х) — Е„Це, ~(е!)Це . То же самое сокращенно можно записать так: Р(х+Ь) — Р(х) — Е Ь=о(Ь), где величина 1!о(Ь)Ц))Ц-ьО при ((Ь()-+0.

Аналогично общему случаю вводится и производная Р'(х) отображения Р(х). Из курса линейной алгебры известно, что всякое линейное отображение и-мерного евклидова пространства в и-мерное (линейный оператор) можно задать некоторой матрицей поряд- ка (птХп). Поскольку производная Р'(х) отображения Р(х), действующего из Е'" в Е", есть оператор из пространства Е" в пространство Е" (элемент пространства (Е -еЕв)), то Р'(х) есть зависящая от х матрица порядка (птХп).

Найдем вид матрицы. Если в Е' и Е" выбраны базисы, а именно базис еь е,, ..., ..., е в Е'" и базис (ь ),, ..., )„ в Е", то всякий вектор хе=Е'" запишется в виде х=х1е~+хлез+... +х е, где х„хи ..., х координаты вектора х в базисе еь ез, ..., е . Всякий вектор уенЕв можно записать в виде у=уф+уз)з+ -. +у4«, гдеуь Уз, ..., ӄ— кооРДинаты вектоРа У в базисе (ь )з, ..., Г .

' Мы учитываем, что при каждом х из Е значение Е(х) представлнег сочзой вектор (Е1(х), Еа(х), ..., Е„(х)) из пространства Е". 597 Дополнение 3 Отображение у=Р(х) пространства Е~ в пространство Е" (Х~Е'", у~Е ) можно записать в виде ус=Рс(хь хм -, хт), Ух= Рп (х! хм ° .. хул) ду! дхл дул дхл ду, ! дк„, дул дклс ду, дк, дул дкс Р (х) лл (ллл) дул дул дул дх! дх дх В самом деле, в этом случае Р(х) =(Рс(х), Рп(х), ..., Р (х)), Р(х+Й)=(Рс(х+Й), Ре(х+Й), ..., Р„(х+Й)), х= = (хс, хь -, хгл), х+Й= (хс+ Ус!, хе+ Йм, хсл+Й~л), и если записать вектор-функцию покомпонентно в виде столбца и воспользоваться тем, что каждая компонента является диффереицируемой функцией сп переменных, то Г(х+)!) — Р(х) = Р,(х,+Й„хе+ Й, ...,х +Й ) — Р (х, х, ..., х„) Р, (х, + Й„х, + Й„..., х + Й ) — Р, (х„х,...,, х ) Рл(хс+ Й1Ф хе+ Йп~ " 1 хи+ Йл) — Рл (хс, хх, ...

у хи) с т де!(хс, хл, ..., хл1) Й + (Й) Е" "'"'-"" дхс с=! лл Е дке(хс, хл, ...,х,л) дхй с =1 дрл(хс, хе, ..., к~) (Й) Е дхс с=-! уп=Рп(х! х2, -., Хп) ° Здесь Р, (х„х,,...,х ), Рх(хь хгл ..., х„),, Р„(хь хм ..., х„)— координаты вектора у=Р(х) при фиксированном хлл = (хс, хм ..., х„).

Далее, отображение Р'(х), как мы уже говорили, является линейным оператором — элементом пространства (Е -с-Е"). Покажем, что если Р(х) дифференцируемо, как вектор-функция, то 598 Гл. 12. Функцнн нескольких переменных дР, 1( — й, ' дх,„ дра — Ь, ' дх„, о (й) дРг дед дх, дх, аг, аг, дхх дха о (й) — — — о (й) дрл дрп дРа дхд дх, '' дхм 1 ( ( ( ( здесь величины о(й)(У(((*, принимающие вещественные' значения, стремятся к нулю, если ((М=(йх(+йхх+...+Ьх )г(н- О.

Эта матричная запись допускает, как это легко видеть, такое, более простое представление Г(х+й) — Г(х) =Е„й+о(й), где й 1 ( дР, дг, о (й) дхг дха дхм дР~ дЕа дРа дхг дха дхм о (й) о (й) =. р'(х) =у., = й 3 дЕл дГл дРп дх, дх, "' дх,а о (Ь) причем величины о(й) Яй() -О, если ~!Ц = (йх(+ йха+ ... + +й' )((а-«О. Поскольку координаты вектора о(й)ДЬ(( стремятся к нулю, если (!Ь((- О, то и норма вектора о(й)ДЧ в пространстве Еа (т. е. корень квадратный из суммы квадратов его компонент) также стремится к нулю, если ((й((-«О. Поэтому можно заключить, что производная Р'(х) дифференцируемого отображения Г(х):Е"-«Е" в точке х находится по формуле (век).

Матрица, задаваемая формулой (вне) называется я к о б и е в о й м а т р и ц е й о т о б р а ж е н и я г: Е Е", а в случае и= и( 'ее определитель — я к о б н а н о м этого отображения в данной точке х. й. Производные и дифференциалы высших порядков. Аналогично тому, как это было сделано в п. 7 для второй производной отображения Р(х) одного нормированного пространства А(( в другое нормированное пространство Л',, можно ввести понятие третьей, четвертой н вообще и-й производной отображения Е(х), опрег)елив и-ю производную нак производную от производной (и — 1)-го порядка. При этом, очевидно, и-я производная представляет собой элемент пространства (Ф(-« †«(А((-«...

— (Л', Лх))), Л( встречается и раз. Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства поставить в соответствие эле- ч В случае днфференцнруемой функции т переменных величину о((г) мы обоаначалн о(р) =о(((М), где р=(л(1. дополнение 3 599 мент пространства (Аг,в-~.йгт) полилинейных (а именно и-линейных) отображений Ь',— Ага. При этом под полилинейн ы м отображением (и-линейным) отобралсением одного нормированного пространства в другое понимается такое соответствие у=А(хь хз, ..., х,) между упорядоченными системами (хь хж ..., хв) элементов из Ж~" и элементами пространства Агт, которое линейно по каждому из хь 1=1, 2, ..., при фиксированнелх остальных элементах и удовлетворяет при некотором М>0 условиго иА (х! хз, °, хп) в жМпхып!хз!1- вхвн.

Таким образом, и-ю производную Рьо(х) отображения Р можно считать элементом пространства (А',"-вМз). Рассмотрим теперь дифференциалы высших порядков. Напомним, что мы определили сильный дифференциал дг" отображения Р как результат применения к элементу й~й~ линейного оператора Р'(х), т. е. в виде дГ= Г(х)й, Дифференциал второго порядка определяется как величина дзг"=-Рм(х) (й, й), где Ем(х) (й, й) является квадратичным выражением **, отвечающим отображению г"м(х) ~ ен(УР- Фз). Аналогично дифференциалолг и-го порядка навьи вается выражение двГ=Роо(х) (й, й, ..., й), т. е.

дифференциалом и-го порядка называется элемент пространства Мз, который получается в результате применения оператора р(вл,х) к у ~в. ь „., з) в Р и хж х.,хк,=ш,". г 10. Формула Тейлора для отображений одного нормированного пространства в другое. Согласно рассмотрениям п. 1 сильная дифференцируемость отображения Г(х) означает, что разность Г(х+й) — Р(х) может быть представлена в виде линейного члена по й и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ~!й!!.

Этот факт обобщает, как мы знаем, соответствующее разложение для дифференцируемой функции Г(х) =Г(хь хт, ..., х ) пт переменных. Для функции Г(хь хв, ..., х,„) справедлива, как было показано в этой главе, формула Тейлора с остаточным членом в форме Г1еано. Поэтому, естественно, возникает вопрос о получении формулы Тейлора с остаточным членом в форме, аналогичной форме Пеано, и для отображений нормированных пространств, Справедлива следующая теорема. Т е о р е м а. Пусть Š— отображение нормированного про- ' Элемент (хь хз, ..., хч) принадлежит пространству 12~"=У~Х...ХН~ (ср.

дополнение 2). '* Выражение В(х, х) называетсн к в а д р а т и ч н ы и, если получено из билинейного отображения В(х, у) прн совпадающих аргументах, т. е. при х=у. Гл. 12. Функння нескольких переменных странства Йг! в нормированное пространство йгз, определенное на некотором открытом множестве Хс:Л!! и такое, что Р!"1(х) суи4ествует и представляет собой равномерно непрерывную функцию * от х в Х. Тогда имеет место равенство Р (х+ Ь) — Р (х) = Р' (х) Ь+ !~зРп (х) (Ь, Ь) + ... (ьзза) ...+Р!я!(х) (Ь, Ь, ..., Ь)+г(х, Ь), где Цг(х, Ь) Ц=о(ЦЬЦ") "'.

Доказательство. Проведем доказательство этой тео- ремы по индукции. При п=1 равенство означает просто днф- ференцнруемость 'отображения Р(х), н тем самым это равен- ство по условию теоремы выполнено. Рассмотрим теперь про- извольное фиксированное целое число п>2 н предположим, что равенство, получающееся нз (4) заменой п на и — 1, спра- ведливо для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых п заменено на и — 1.

Докажем равенст- во (*а» а). Рассмотрим отображение Р'(х) н применим к нему формулу Тейлора (**а*), в которой п заменено на п — 1, а вместо прира- щения Ь рассмотрено приращение гй, где 1 — число, принадле- жащее сегменту [О, 11. Очевидно, что Р'(х+ гй) =Р'(х)+(Р (х)Ь+ —.Р"'(х) (Ь, Ь)+ ... 2 ... + Р'"1(х) (Ь, Ь,..., Ь)+ тих,уй)аа*, (п — 1)! 'где Цгг(х, (Ь)Ц=о(ра гЦЬ![" '), а форма (Ь, Ь,...,й) имеет и — 1 аргументвв. Проинтегрируем обе части формулы Тейлора для Р'(х+Ь) '*** по сегменту [х, х+Й[ н воспользуемся формулой * Отображение Р:№- № (нлн абстрактная функция Р(х) ) назыаается р а аномерно непрерывной функцией на множестне М~№, если дня любого числа з>0 найдется такое число 6>0, что ЦР(х,) — Р(хз)(~<з для асех точек х!, ха нз множества М однояраменно, если только ((х! — хзЦ<6 (см.

также прнмечанне и. 6). *' Это равенство означает, что для любого числа з>0 найдется такое чнсЦг(х, ЬЦ(' ло 6>0, что Цг(х, Ь)Ц<зЦЬЦ", если ЦЬЦ<6, т. е. -«О, если и — «О. (у!)(а '*' Мы пользуемся тем, что формы (Ь, Ь), „., (Ь, Ь, ..., Ь) линейны по каждому нз своих аргументов. Псзгому (1Л, ГЬ) = !з (Ь, Ь), (ь ««>= га ь г! 'ь** Т.

е. формулу гз Р'(х+1Л) = Р'(х)+ ГР" (х) Л+ — Р"'(х) (Ь, Ь) + 2 Га-1 + ... + Р!"1(х)(Ь, Ь, ..., Л)+ г,(х, Ь). (и — 1)! а — 1 .