ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 9

Определение 2 можно сформулировать н по-другому, а именно: Число х (число х) называется точной верхней (точной нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества (х), если выполнены следующие два требования: !) каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(х (х)х); 2) каково бы ни было число х', меньшее х (ббльшее х), найдется хотя бьс один элемент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х) >х'(х<х'). В этом определении требование 1) утверждает, что число х (число х) является одной из верхних (нижних) граней, а требование 2) говорит о том, что эта грань является наименьшей (наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может. 2.

Существование точных граней. Существование у любого ограниченного сверху (сннзу) множества точной верхней (точной нижней) грани не является очевидным и требует доказательства. Докажем следующую основную теорему. ° О с н о в н а я т е о р с м а 2.1. Если л«ножество (х) чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, ограничено сверху (соответственно снизу) и содержит хотя бьг один элемент, то у этого множества существует точная верхняя (соответственно точная нижняя) грань. * апр — первые трн буквы латинского слова впргешшп («супремум»), которое переводится как «наивысшее». '" !п! — первые три буквы латинского слова (п((шпш («инфимум»), которое переводится как «панин»шее».

Гл. 2. Вещественные числа Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.

Итак, пусть множество (х) ограничено сверху, т. е. существует такое число М, что каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(М. Могут представиться два случая: 1'. Среди элементов множества (х) есть хотя б ы одно неотрицательное число. 2'. Все элементы множества (х) являются отрицательными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно. 1'. Рассмотрим лишь неотрицательные числа, входящие в состав множества (х). Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу неравенства х<М все целые части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через хс.

Сохраним среди неотрицательных чисел множества (х) те, у которых целая часть равна хе, и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через хы Сохраним среди неотрицательных чисел множества (х) те, у которых целая часть равна ха, а первый десятичный знак равен хь и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой.

Наибольший из этих знаков обозначим через х,. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого числа х: х=ха, х,х ... х„ .... (2 6) Докажем, чтр это число х и является точной верхней гранью множества (х). Для этого достаточно доказать дв а утве ржде ння: 1) каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(х; 2) каково бы ни было число х', меньшее х, найдется хотя бы один элемент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х>х'. Докажем сначала утверждение 1).

Так как х по построению является неотрицательным числом, то любой отрицательный элемент х множества (х) заведомо удовлетворяет неравенству х<х. Поэтому нам достаточно доказать, что любой неотрицательный элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(х. Предположим, что некоторый неотрицательный элемент х= =хе,х~ха...х ... не удовлетворяет неравенству ха=х. Тогда х>х и по правилу упорядочения найдется номер й такой, что х,=х„ х,=х„...,ха 1=ха ь ха >ха. Но последние соотношения про- $2.

Ограниченные множества тиворечат тому, что в качестве ха берется н а и б о л ь ш и й из десятичных знаков х» тех элементов х, у которых целая часть и первые й — 1 знаков после запятой соответственно равны хо,хь ... ...,ха ь Полученное противоречие доказывает утверждение 1). Докажем теперь утверждение 2), Пусть х' — любое число, удовлетворяющее условию х'<х. Требуется доказать, что сушествует хотя бы один элемент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х>х'.

Если число х' является отрицательным, то неравенству х)х' заведомо удовлетворяет неотрицательный элемент х множества (х) (по предположению хотя бы один такой элемент существует). Остается рассмотреть случай, когда число х', удовлетворяющее условию х'<х, является неотрицательным. Пусть х'=хв', х,'... ...х„'.... Из условия х'<х и из правила упорядочения вытекает, что найде1ся номер нт такой, что г хо=ха х!=хт, ° . Хм — 1 хщ — 1~ хм<хм. (2. 10) С другой стороны, нз построения числа (2.9) вытекает, что для любого номера лт найдется неотрицательный элемент х=хо,х~хе... ...х„...

множества (х) такой, у которого целая часть н все первые т знаков после запятой те же, что у числа х, Иными словами, для номера пт найдется элемент х такой, для которого ха ха хт=хт ~хм — ~=хм — ~ хм"=хм (2.1 1) Сопоставляя (2.10) и (2.11), мы получим, что х =ха, х =х1,...,х 1=х — ы х )х а это и означает (в силу правила упорядочения), что х>х'. Утверждение 2), а с ним и вся теорема для случая 1" доказаны. 2'. Аналогично доказывается существование точной верхней грани и во втором случае, когда все элементы х множества (х) являются отрицательными числами. В этом случае мы представим все элементы х отрицательными бесконечными десятичными дробями и обозначим через хе наименьшую из целых частей этик дробей, через х1 — наименьший из первых десятичных знаков тех дробей, целая часть которых равна хо, через ха — наименьший из вторых десятичных знаков тех дробей, целая часть и первый десятичный знак которых соответственно равны хо и х1 и т.

д. Таким образом мы определим неположительное число х= — х,х х ° ..х„.... В полной аналогии со случаем 1' доказывается, что это число х является точной верхней гранью множества (х), т. е. доказывается справедливость утверждений 1) и 2), сформулированных при рассмотрении случая 1'. Теорема доказана. 44 Гл.

2. Вещественные чнсла ф 3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Докажем три леммы о приближении чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рациональными числами. Сначала убедимся в том, что произвольное число а, представимое бесконечной десятичной дробью, можно с наперед заданной точностью приблизить рациональными числами.

Ради определенности будем считать а неотрицательным и представим его дробью а=во, а1аг ... а„..., Обрывая указанную дробь на я-м знаке после запятой, мы получим рациональное число ао, а1аг...а„, причем из правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, сразу же вытекает, что ао, а1аг-..ав~а. Увеличив указанное рациональное число на 10 ", мы получим другое рациональное число ао, а1аг .а„+10 — ", которое (в силу правила упорядочения) обязано удовлетворять неравенству а~ао, а1аг ... а„+10-". Итак, для любого номера н мы нашли два рациональных числа а~=ао, а1аг...а„н аг — — ао, айаг...а„+10-е такие, что а1 <а<аг и аг — а1 — — 1О-". Убедимся в том, что для любого наперед взятого положительного рационального числа е, начиная с некоторого номера», справедливо неравенство 10-"<е.

В самом деле, в силу аксиомы Архимеда найдется лишь конечное число натуральных чисел, не превосходящих чисел 1/е. Значит, лишь для конечного числа номеров я справедливо неравенство 1О" <1/е, или 10 ">е. Для всех остальных номеров я справедливо противоположное неравенство !О-"<е, что и требовалось доказать.

Мы приходим к следующему утверждению. Л е м м а 1. Для любого представимого бесконечной десятичной дробью числа а и любого наперед взятого положительного рационального числа е найдутся два рациональных числа а~ и аг такие, что а~ <а(аг и аг — а,<е. Докажем еще две леммы, характеризующие густоту распределения рациональных чисел среди произвольных чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Л е м м а 2.