ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 10

Каковы бы ни бсчли два представимьсх бесконечными десятичными дробями числа а и Ь такие, что а>Ь, найдется рациональное число а, заключенное между ними, т. е. такое, что а>а>Ь 1а следовательно, найдется и бесконечное множество различных рациональных чисел, заключенных между а и Ь). 5 3.

Приближение чисел Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь неотрица тельны, ибо случай, когда а и Ь неположительны, сводится к указанному случаю посредством перехода к модулям, а случай, когда Ь отрицательно, а а положительно, тривиален (в качестве а можно взять нуль). Итак, пусть а)Ь и оба числа а и Ь неотрицательны. Предположим, что а=ае, а1ае...а„...; Ь=Ье, Ь,Ьл.,Ь„..., причем в случае, если а является рациональным числом, представимым конечной десятичной дробью, договоримся брать представление а десятичной дробью, заканчивающейся бесконечным числом девяток. Так как а)Ь, то найдется номер й такой, что ае — — Ьь, а1=Ьь ..., а,,=Ь„ь а,>Ьл.

В силу принятой нами договоренности все десятичные знаки а„ при п>й не могут быть равны нулю. Обозначим через р наименьший из номеров и, ббльших (г, для которых а„ФО. Тогда число а можно записать в виде а=ае, а,аи „, ае00 ... Оар... (ар>0), С помощью правила упорядочения легко проверить, что рациональное число а = а„абае ... ил00 ...

О (а,— ! ) 999 ... удовлетворяет неравенствам и)а)Ь. Лемма доказана. Л ем и а 3. Пусть х1 и хе — два заданных числа, представимых бесконечными десятичнььми дробями. Пусть далее для любого положительного рационального числа и найдутся два рациональных числа ч1 и уе такие, что у1~х1~ум т~ <хе<уз' уе — у1<е.

Тогда числа х1 и хл равны. Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим, что х~Фхь Не ограничивая обшности, будем считать, что х1<хт. В силу леммы 2 найдутся два рациональных числа' а~ и ае такие, что х1 <а1 <не<хг. Пусть теперь у1 и у, — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам т1(х|ч,ть у~~хе~ть Из написанных выше неравенств и свойства транзитивности знаков > и = получим у1<а~<ат<уь Но тогда те — у,>ал — аь что противоречит тому, что разность уе — у, может быть сделана меньше любого наперед взятого положительного рационального числа в.

Лемма доказана. Гл. 2. Вещественные числа ф 4. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ Н УМНОЖЕНИЯ. ОПИСАНИЕ МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 1. Определение операций сложения и умножения. Описание понятия вещественных чисел. Хорошо известно, как складывают два числа, представимых бесконечными десятичными дробями, когда требуется вычислить их сумму на практике. Для того чтобы сложить два таких числа а и Ь, заменяют их с требуемой точностью рациональными числами и за приближенное значение суммы чисел а и Ь берут сумму указанных рациональных чисел.

При этом совершенно не заботятся о том, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают а и Ь. Фактически указанный практический способ сложения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, предполагает„ что чем точнее рациональные числа а и р приближают (с любой стороны) числа а и Ь соответственно, тем точнее сумма а+р приближает то представимое бесконечной десятичной дробью число„ которое должно являться суммой чисел а и Ь. Желание оправдать указанный практический способ сложения естественно приводит к следующему определению. Определение !. Суммой двух представимых бесконечньы ми десятичными дробями.

чисел а и Ь называется такое представимое бесконечной десятичной дробью число х„которое для любых рациональных чисел аь аь рь рь удовлетворяющих соотношениялв а1<а«аь р1<Ь«рь удовлетворяет неравенствам а~+Р, <х<ат+Р.. Это число х обозначают символом а+Ь.

В п. 2 будет доказано, что такое число х существует и притом только одно. Там же будет установлено, что таким числом является точная верхняя грань множества (а1+р1) сумм всех рациональных чисел а1 и рь удовлетворяющих неравенствам а1<а„ ~~ <Ь, или точная нижняя грань множества (ас+~т) сумм всех рациональных чисел ав и р„удовлетворяющих неравенствам а <а,, Ь~рь В п. 2 будет доказано также, что в применении к двум рациональным числам данное нами определение приводит к тому же результату, что и старое определение суммы рациональных чисел, Перейдем теперь к определению произведения двух чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Сначала определим произведение двух положительных чисел а н Ь. Определение 2. Произведением двух представимььх полохсительными бесконечными десятичными дробями чисел а и Ь называется такое представимое бесконечной десятичной дробью число х, которое для любых рациональных чисел аь аь 'рь ры Ч 4. Операции сложения и умножения удовлетворяющих соотношениям 0<а~<а<аж 0<~1<.Ь<5п, удовлетворяет неравенствам ас.111~х(ап.)1п.

Это число х обозначают символом а Ь. В п. 2 будет установлено, что такое число х существует и притом только одно. Таким числом х является точная верхняя грань множества (а~.)11) произведений всех рациональных чисел а1 и бь удовлетворяющих неравенствам 0(а~ ~а, 0(Д~.сЬ, или точная нижняя грань множества (ап.рп) произведений всех рациональных чисел ая и рь удовлетворяющих неравенствам а~аж Ь~рп. Произведение чисел любого знака определяется по следуюпгему правилу: 1) для любого представимого бесконечной десятичной дробью числа а полагают, что а 0=0 а=0; 2) для произвольных отличных от нуля и представимых бесконечными десятичными дробями чисел а и Ь полагают )а! )Ь!, если а и Ь одного знака, а.Ь= — (а) ° ) Ь), если а и Ь разных знаков.

В п. 2 будет установлено, что в применении к двум рациональным числам данное нами определение произведения приводит к гому же результату, что и прежнее определение произведения рациональных чисел. Теперь мы располагаем всем тем, что необходимо для опнсання понятия вещественных чисел, Договоримся называто вещественными числа, представи. мые бесконечными десятичньсми дробями, при условии, что для этих чисел указанным выше способом определены три операции: упорядочения, сложения и умножения. Так как все изложенное в ~ 2 и 3 (и, в частности, основная теорема 2.1 и леммы 1 — 3) справедливо для произвольных чисел, представимых бесконечными дробями, для которых определена только одна операция упорядочения, то все изложенное в этих параграфах справедливо и для произвольных вещественных чисел.

В дальнейшем будут рассматриваться числа, представимые бесконечными десятичными дробями, для которых кроме операции упорядочения определены также и операции сложения и умножения. Такие числа в соответствии со сформулированным нами понятием мы в дальнейшем будем называть вещественными. 2. Существование н единственность суммы и произведения вещественных чисел.

Теорема о существовании суммы вещественн ы х ч и с е л. Для любых вещественных чисел а и Ь существует вещественное число х, являющееся их суммой. Гл. 2. Вешествевные числа (2.12) Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные рациональные числа ае и рь удовлетворяющие неравенствам а<аь Ь<рь и рассмотрим всевозможные рациональные числа а1 и рь удовлетворяющие неравенствам а1 <а, (1~<Ь. Убедимся в том, что множество (а1+(11) всех сумм а~+~и отвечающих указанным выше всевозможным рациональным ат и ограничено сверху.

В силу свойства транзитивности знаков ) и = из неравенств а<ае и а1<а вытекает, что а~<ам а из неравенств Ь ре и (1,<Ь вытекает, что й1<~)ь Но два неравенства а1<ае и р1<ре одного знака, связывающие рациональные числа, можно складывать почленно (см. конец п. 1 $ 1). Значит, справедливо неравенство а1+ р1 < ае+ (1ь которое и доказывает ограниченность множества (а1+р1) сверху н тот факт, что число аа+(1а является одной из верхних граней этого множества. По основной теореме 2.1 (см.

5 2) у множества (а~+~Д существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через х. Остается убедиться в том, что это вещественное число х и является суммой чисел а и Ь, т. е. удовлетворяет неравенствам а1+(1~» <х<ае+рь Справедливость левого неравенства а1+р1 <х вытекает из того, что х является верхней гранью множества (а1+(11), а справедливость правого неравенства х<ае+ре вытекает из того, что число аа+(1а является одной из верхних граней множества (а1+р1), а число х является точной, т. е. наименьшей, верхней гранью этого множества, Теорема доказана. Аналогично можно было бы доказать, что в качестве х можно взять точную нижнюю грань множества (аз+()а) сумм ае+(1е всевозможных рациональных чисел аа и ре, удовлетворяющих веравенствам а<ам Ь<рь Теорема единственности суммы двух веществен н н ых чисел.