ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 6

2. Развитие теории пределов и связанного с этой теорией понятия непрерывности функции. 3. Построение аппарата дифференциального н интегрального исчислений. 4. Построение теории определенного интеграла как предела сумм специального вида. 5. Развитие приближенных методов вычисления определенных интегралов и приближенных методов решения уравнений. 6.

Выяснение некоторых геометрических понятий (таких, как площадь плоской фигуры, длина дуги). Глава 2 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В предыдущей главе мы убедились в том, что развитие теории вещественных* чисел необходимо для строгого и последовательного изучения понятия предела, являющегося одним из важнейших понятий математического анализа.

Необходимая нам теория вещественных чисел, излагаемая в,. этой главе, включает в себя определение операций упорядочения сложения и умножения этих чисел и установление основных свойств указанных операций, а также доказательство существования точных граней у множеств чисел, ограниченных сверху илге снизу. В конце главы дается представление о дополнительных вопросах теории вещественных чисел, не являющихся необходимыми для построения теории пределов и вообще курса математического анализа (полнота множества вещественных чисел в смысле Гиль- берта, аксиоматическое построение теории вещественных чисел, связь между различными способами введения вещественных чисел). Самый последний параграф главы посвящен элементарным вопросам теории множеств, близко примыкающих к теории вещественных чисел.

й Е МНОЖЕСТВО ЧИСЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ, И ЕГО УПОРЯДОЧЕНИЕ 1. Свойства рациональных чисел. Понятие рационального числа и основные свойства рациональных чисел известны из курса средней школы. В настоящем пункте мы даем систематизацию. хорошо известных из курса средней школы вопросов теории рациональных чисел. Р а ц и о н а л ь н ы м называется число, представимое (хотя бы одним способом) в виде отношения двух целых чисел, т. е.

в" виде дроби тп/и, где пт и и — целые числа и пчьО, «Вместо термина «аещестаенное число» часто употребляют термин «дей— стаительное число». Гл. х. Вещественные числа Рациональные числа обладают следующими 16 основными .свойствами*. (При формулировке этих свойств мы вместо термина «рациональное число» употребляем более краткий термин ичисло».) 1'. Любые два числа а и Ь связаны одним и только одним из трех знаков ), < или =, причем если а)Ь, то Ь(а. Иными словами, существует правило, позволяющее установить, каким нз указанных трех знаков связаны два данных числа. Это правило называется правилом упорядочения **. 2'.

Существует правило, посредством которого любым числам чз и Ь ставится в соответствие третье число с, называемое их с у м м о й и обозначаемое символом с = а+ Ь ***. Операция нахождения суммы называется сложением. 3'. Существует правило, посредством которого любым числам чт и Ь ставится в соответствие третье число с, называемое их произведением и обозначаемое символом с=а Ь**'", Операция нахождения произведения называется умножение м.

Правило упорядочения обладает следующим свойством: 4'. Из а>Ь и Ь>с вытекает, что а)с (свойство транзнтивно-сти знака >); из а=Ь н Ьг а вытекает, что аг и (свойство транзитивности знака =). Операция сложения обладает следующими четырьмя свойствами: 5'. а+Ь = Ь+а (коммутативность или перестановочное свойство). 6'. (а+Ь)+с = а+ (Ь+с) (ассоциативность или сочетательное свойство).

7'. Существует число 0 такое, что а+О=а для любого числа а (особая роль нуля). 8'. Для каждого числа а существует противоположное ему чи. ело а' такое, что а+а'=О. Аналогичными четырьмя свойствами обладает операция умножения: * Все приводимые нами свойства рациональных чисел могут быть получены нз свойств целых чисел.

'* Правило упорядочения рациональных чисел формулируется тзк: двз неотрицзтельных числа а=т,/л, и Ь=тз/лг, у которых л,)0 и лз О, связаны тем же знаком, что и двз целых числа т,.л, н т, лп двз неположительных числа а и Ь связаны тем же знаком, что н двв неотрицзтельиых числа )Ь! и (а); если а неотрицвтельно, з Ь отрицательно, то а>Ь "* Правило обрззовзния суммы двух рациональных чисел а=т,/л, и т„т, т,.ля+ тз.лз .Ь=тз/лз определяется равенством — + — = , которое л, л, л, лз получается с помощью известного приема приведения к общему знвмензтелю. *'** Правило образования произведения двух рациональных чисел а= тз т, ты те =т1/л~ н Ь=тз/лз определяется равенством лг лз гн лз' $1. Множество чисел, представимых бесконечными дробями 3$ 9'.

а Ь=Ь.а (коммутативность). 10'. (а.Ь) с=а (Ь с) (ассоциативность). 11'. Существует число 1 такое, что а 1=а для любого числа а «особая роль единицы), 12'. Для каждого числа аФО существует обратное ему число а' такое, что а а'=1. Операции сложения н умножения связаны следующим свойством: 13'. (а+Ь) с=а.с+Ь.с (днстрибутивность или распределительное свойство умножения относительно суммы). Следующие два свойства связывают операцию упорядочения с операцией сложения или соответственно умножения: 14'. Из а)Ь вытекает, что а+с>Ь+с. 15'. Из а>Ь и с)0 вытекает, что а.с>Ь с.

Особая роль принадлежит последнему свойству. 16'. Каково бы нн было число а, можно число 1 повторить слагаемым столь раз, что сумма превзойдет а е. Перечисленные 16 свойств называют о с н о в и ы м и потому, что все другие алгебраические свойства, относящиеся к операциям сложения и умножения н к сочетанию равенств н неравенств, могут быть извлечены как логические следствия нз указанных 16 свойств.

Так, например, из основных свойств вытекает следующее часто используемое в дальнейшем свойство, позволяющее почленно складывать неравенства одного знака: если а>Ь и с)д, то а+с) Ь+й. В самом деле, из неравенств а>Ь и с>с( и из свойств 14' н 5' вытекает, что а+с>Ь+с и Ь+с)Ь+с(, а из двух последних неравенств и свойства 4' вытекает, что а+с>Ь+й.

2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси, Договоримся называть числовой осью прямую, на которой выбраны определенная точка О (начало отсчета), масштабный отрезок ОЕ, длину которого мы принимаем равной единице, и положительное направление (обычно от О к Е), Очевидно, каждому рациональному числу соответствует на числовой оси определенная точка. В самом деле, из курса средней школы известно, как построить отрезок, длина которого составляет 11п часть длины масштабного отрезка ОЕ (п — любое целое положительное число).

Следовательно, мы можем построить и отрезок, длина которого относится к длине масштабного отрезка как тп/п, где пт и и — любые целые положительные числа. Отложив такой отрезок вправо (влево) от точки О, мы получим точку М1 (Ма), соответствуюшую рациональному числу т/п ( — т/и) (рис. 2.1). * Это свойство часто называют аксиомой Архимеда. Гл. 2. Вещественные числа Заметим теперь, что не каждой точке М числовой осн соответ. ствует рациональное число. Так, например, если точка М выбрана так, что длина отрезка ОМ равна диагонали квадрата, стороной которого служит масштабный отрезок ОЕ, то поскольку длина масштабного отрезка ОЕ равна единице, по теореме Пифаго,ра длина х отрезка ОМ является корнем уравнения ха=2 и, как показано в курсах средней школы, не является рациональным числом. Но это и означает, что указанной точке М не соответствует рациональное число.

и, а, й с ж гогг, Рис. 2.2 %ф и Е Убф Рис. 2 1 " В силу аксиомы Архимеда для отрезка, каковы бы ни были два отрезка 4В и Сгг, повторив один из этих отрезков слагаемым достаточно большое число раз, мы получим отрезок, длина которого превосходит длину второго ° отрезка. Естественно, возникает потребность расширить множество ра.циональных чисел и ввести в рассмотрение более широкое множество чисел так, чтобы каждой точке числовой оси соответствовало некоторое число из этого более широкого множества (или, что то же самое, чтобы с помощью этого более широкого множества чисел можно было выразить длину любого отрезка ОМ числовой оси) .

Убедимся в том, что посредством измерения отрезка ОМ каждой точке М числовой оси можно поставить в соответствие впол.не определенную бесконечную десятичную дробь. Пусть М вЂ” любая точка числовой оси. Ради определенности предположим, что точка М лежит направо от О. Проведем процесс измерения отрезка ОМ при помощи масштабного отрез. ка ОЕ. Сначала выясним, сколько раз целый масштабный отрезок уложится в отрезке ОМ *.

Могут представиться два случая: 1) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число ао раз ю некоторым остатком АгМ, меньшим ОЕ (рис. 2.2). В этом случае целое число ао представляет собой результат измерения по недостатку с точностью до числа 1. 2) Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число ао раз б е з о с т а т к а. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и целое рациональное число ао считать длиной отрезка ОМ. Формально мы можем утверждать, что в этом клучае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь .ас,000..., которая отождествляется с целым рациональным числом ао.

5 1. Множество чисел, представимых бескопсчимми дробями 33 В первом случае процесс измерения следует продолжить и выяснить, сколько раз 1/10 часть масштабного отрезка ОЕ укладывается в отрезке 7!7М (являющемся остатком измерения с помощью целого отрезка ОЕ). Снова могут представиться два случая: !) 1/1О часть ОЕ укладывается в отрезке УМ а! раз с некоторым остатком РМ, меньшим 1/10 части ОЕ (см. рис. 2.2). В этом случае рациональное число ао, а! представляет собой результат измерения ОМ по недостатку с точностью до числа 1/!О. 2) 17'10 часть ОЕ укладывается в отрезке УМ целое число а, раз б е з о с т а т к а. В этом случае процесс измерения можно считать законченным и рациональное число ао, а! считать длиной отрезка ОМ, Формально мы можем утверждать, что в этом случае точке М соответствует бесконечная десятичная дробь ао,а!000..., отождествлаемаЯ с Рациональным число ао,а!.