ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 3

Кроме того, в систематическом курсе будет доказана непрерывность функции у=1од,х в каждой точке к>0 и, в частности, в точке х=е. Но тогда из существования равного е предела (1.9) будет следовать, что 1пп 1ой, ((1+ !) ' ] = 1оя, е. г- э Последнее соотношение и соотношение (1.8) позволяют утверждать, что предел (1.7) равен ~жа(»+а») — ырра» ! 11гп — 1ой, е. а»-+з !»» » Таким образом, после того как будет вычислен второй замечательный предел и установлена -непрерывность функции у= =1од„х в точке е, мы сможем строго утверждать, что логарифмическая функция имеет производную, причем (1оя,х)'= — 1од,е при 0( а-,ь 1, х) О.

» 5. В курсе средней школы кроме двух рассмотренных нами функций у=з(пх и у=!ой,х изучались еще следующие функции: у=сов», у=1ц», у=с18к, у=» (а — вещественное число), у= =а" (0<аФ1), у=агсз)пх, у=агссозх, у=агс1п», д=агсс15х.

Все перечисленные функции принято называть простейшими элем ен та р ны ми. Замечательным является тот факт, что при вычислении производных всех простейших элементарных функций не возникает никаких новых трудностей, кроме тех, с которыми мы встретились прн вычислении производных функций у=з(их и у=!од,х. Не- Гл. !. Основные понятия математического анализа 1б трудно проверить, что для вычисления производных всех простейших элементарных функций требуются лишь арифметические свойства операции предельного перехода, два замечательных предела и факт непрерывности каждой из этих функций в точках областей их задания.

Отмеченное обстоятельство дает нам право без дальнейших разъяснений привести таблицу производных всех простейших элементарных функций. 1'. (х")'=ах'-' (х>0, а — вещественное число). 2'. (1од, х)'= — 1одие (О( а-~-1, х > 0). В частности, при а=е (1од,х)' = —, 3. (а')'=а" 1одеа (0(а~1). В частности„при а=е (ех)'= ех 4'. (з(пх)' созх. 5'.

(созх)'= — зшх. 6. (1йх)'= ~х~ — +птт, где а=О, 1-1, ~2, ...). осе х 7'. (с(цх)'= — —, (хвате, где а=О, ~1, -1-2,...). Мп' х 8'. (агсзшх)' = —, (1х! ( 1). 9. (агссозх)',,= — —, (!х! < 1). 1О'. (агс 1я х) ' =— 1+ хе 11 . (агсс(ях)'= —— ! + хе Строгое обоснование приведенной таблицы является одной из важных задач той части математического анализа, которую принято называть'дифференциальным исчислением. Традиционной задачей классического дифференциального исчисления является и несколько более общая задача — вычисление производной любой функции !(х), которая получается из перечисленных выше простейших элементарных функций путем конечного числа суперпозиций и конечного числа четырех арифметических действий (сложения, умножения, вычитания н деления). Такую функцию 1(х) принято называть просто элементарной.

Итак„эл е м е н т а р ной называется функция, которая получается из простейших элементарных функций путем конечного числа суперпозиций н четырех арифметических действий. 17 Примером элементарной функции может служить функция ~х+1 1 ('(х) =-2 "+з~. Для вычисления производной любой элементарной функции следует присоединить к выписанной нами таблице производных простейших элементарных функций два правила: 1) правило дифференцирования сложной функции, 2) правило дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций. Правило дифференцирования сложной функции у=)(и), где и=я~(х), имеет следующий вид: если функция и= р(х) имеет производную в данной точке хм а функция у=[(и) имеет производную в соответствующей точке ии=~р(хз), то сложная функция у=[[~р(х)] имеет производную в точке хз, причем эта производная (обозначим ее через у') равна й' =1 [Ч>(ха)]~у (хо), (1.10) т.

е. равна произведению производной функции у=1(и) в точке из — — ~р(хз) на производную функции и=хр(х) в точке хи. Справедливость для производной сложной функции формулы (1.!О) легко оправдать с помощью наводящих соображений, но строгий вывод формулы (1.10) не является простым и будет приведен в систематическом курсе математического анализа.

Гораздо проще устанавливаются правила диф:реренцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, которые имеют вид [и(х) +.о(х)]'=и'(х) =~о'(х), [и(х) о(х)]'=и'(х)о(х)+и(х) о'(х), и(х) 1' и'(х)и(х) — и(х)и'(х) и (х) и~ (х) (в последней формуле требуется необращение в нуль функции о(х) в рассматриваемой точке х). Подводя итог, мы можем заключить, что одной из важных задач части математического анализа, называемой дифференциальным исчислением, является строгое обоснование таблицы производных простейших элементарных функций и правил дифференцирования сложной функции, а также суммы, разности, произведения и частного функций.

Это обоснование позволит вычислить производную любой элементарной функции ((х), т. е. любой функции 1(х), получающейся нз простейших элементарных путем конечного числа супер- позиций и четырех арифметических действий. При этом оказывается, что производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, т. е. операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. Гл. 1. Основные понятия математического анализа Отмеченное обстоятельство оправдывает введение класса элементарных функций как традиционного объекта классического анализа. 6. Еще раз обратимся к рассмотрению механической задачи о движении материальной точки вдоль прямой линии — оси Оу, но на этот раз предположим, что для любого момента времени х мам задана мгновенная скорость 1(х) движущейся точки и требуется найти закон движения этой точки.

Поскольку мгновенная скорость 1(х) является производной функции у=г'(х), определяющей закон движения, то задача сводится к разысканию по данной функции 1(х) такой функции г(х), производная г"'(х) которой равна 1(х). Отвлекаясь от механического смысла функций 1(х) и Р(х), мы придем к математическим понятиям первообразиой и неопределенного интеграла. Первообразной функции 1(х) называется такая функция Г(х), производная которой г"'(х) равна 1(х) .

Это определение требует уточнения: следует четко оговорить, на каком множестве должно быть справедливо равенство г"'(х) = =1(х). Отмеченное обстоятельство еще раз подчеркивает необходимость развития теории множеств. Уточнение понятия первообразной будет дано в систематическом курсе. Заметим, что если функция Р(х) является первообразной функции 1(х), то и функция г (х)+С, где С вЂ” произвольная постоянная, также является первообразной функции ((х) (в силу того, что производная постоянной С равна нулю). Более трудным является обратное утверждение: любые две первообразные одной и той же функции 1(х) на интервале (а, Ь) могут отличаться лишь постоянным слагаемым, Доказательство этого утверждения требует развитого аппарата математического анализа и будет проведено в систематическом курсе анализа.

Опираясь на указанное утверждение, мы можем констатировать следующий факт: если функция Г(х) является одной нз первообразных функции (('х), то любая первообразная функции 1(х) имеет вид Р(х)+С, где С вЂ” постоянная. Совокупность всех первообразных данной функции г(х) называется неопределенным интегралом от функции 1(х) .и обозначается символом ) 1(х)йх, Только что отмеченный нами факт позволяет утверждать, что если г" (х) — одна из первообразных функции 1(х), то неопределенный интеграл от функции 1(х) равен ~((х) йх=Р(х)+С, где С вЂ” любая постоянная.

Возвратимся к поставленной нами задаче об отыскании закона движения материальной точки вдоль оси Оу по известной мгновенной скорости 1(х) этой точки. Мы теперь можем утверждать, что искомый закон движения определяется функцией у=- =Г(х)+С, где г'(х) — любая первообразная функция 1(х), а С— постоянная. Как мы видим, без дополнительных условий закон. движения по мгновенной скорости определяется неоднозначно: с точностью до постоянного слагаемого С. Для определения постоянной С должно быть привлечено дополнительное условие, обычно заключающееся в задании координаты уз движущейся точки в некоторый момент времени хо.

Используя это условие, мы пйлучим соотношение уз=а(хо)+С, из которого С=уз — г (хь), так что окончательно искомый закон движения имеет вид у=г(х)+уз — г (хо). 1. Рассмотрим вопрос об отыскании первообразных н неопределенных интегралов от некоторых элементарных функций. Так как функция 1(х) =сов х является производной функции г (х) = =ь)пх, то функция г"(х) =ь(их является одной из первообразных функции 1(х) =соьх, и потому любая первообразиая функции )(х) =сов х имеет внд ь!их+С, где С вЂ” постоянная. Таким образом, соь хйх =- ь1п х+ С. Только что проведенное рассуждение имеет общий характер.

Можно утверждать, что любая формула дифференциального исчисления г'(х) =1(х), утверждающая, что функция 1(х) является производной функции г" (х), порождает эквивалентную ей формулу интегрального исчисления )((х)дх=-Г(х)+С, утверждающую„ что неопределенный интеграл от функции 1(х) равен г (х)+С,, где С вЂ” любая постоянная.