ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 8

Число )а( всегда является неотрицательным, Рассмотрим отдельно три возможных случая: 1) случай, когда а и Ь оба неотрицательны; 2) случай, когда оба числа а и Ь от- рицательны; 3) случай, когда одно нз чисел а н Ь неотрнцательно, а другое отрицательно. 1) Пусть сначала а и Ь оба неотрицательны и имеют представления а=ао,а|аг ..., Ь=Ьо, Ь!Ьг .... Так как числа а и Ь не являются равными, то нарушается хотя бы одно из равенств (2.4). Обозначим через (г наименьший из номеров и, для которого нарушается равенство а~=Ь„, т. е, предположим, что ао=Ьо, а|=Ьь ...,ад | =Ьд |, ад~Ьд. й 1, Множество чисел, представимых бесконечными дробями 37 Тогда мы будем считать, что а>Ь, если аь>Ьь, и будем считать, что а<Ь, если ак<Ьь. 2) Пусть теперь о б а числа а и Ь о т р и ц а т е л ь н ы.

Тогда мы будем считать, что а>Ь, если )Ь)))а(, и а<Ь, если )Ь)(' ((а( *. 3) Пусть, наконец, одно число (например, а) неотрицательно, а другое число (Ь) отрицательно. Тогда, естественно, мы будем считать„что а> Ь. Итак, мы полностью сформулировали и р а в ил о у по р ядоч е н и я чисел, представимых бесконечнымн десятичными дробя ми. Чтобы сделать. сформулированное правило безупречным с логической точки зрения (или, как говорят в математике, корректным), докажем следующую лемму. Лемма. Если а=по,а,ая....а,...— произвольное неотрицательное число, а Ь'=Ьо, Ь!Ьт ... Ь„|Ь„ООО... и Ь"=Ьо, Ь!Ь-...

... Ь„| (܄— 1) 999... при Ь„'>Π— два различных представления одного и того же райионального числа Ьо, Ь|Ья ... Ь, то условие а<Ь' эквивалентно условию а(Ь", а условие а)Ь' эквивалентно условию а)Ь'. Эта лемма позволяет при упорядочении двух неравных чисел не заботиться о том, какое из двух возможных представлений в виде бесконечной десятичной дроби взято для числа, представимого конечной десятичной дробью. До к аз а тельство. Для полного доказательства леммы следует доказать четыре утверждения: 1) из а<Ь' вытекает а<Ь"; 2) из а<Ь" вытекает а<Ь'; 3) нз а>Ь' вытекает а>Ь"; 4) нз а)Ь" вытекает а>Ь'. Мы ограничимся доказательством утверждений 1) и 2), ибо утверждения 3) и 4) доказываются аналогично. Пусть а(Ь'. Тогда по правилу упорядочения найдется номер й такой, что ао=Ьо, а|=Ь~,...,а|, |=Ьр, |, аь<Ьь (2.5) (в этих соотношениях следует считать все Ь„,|, Ь„ья, ... равными нулю) .

Сразу же заметим, что й <и, ибо прн й>п неравенство аь(Ьь не может выполняться, так как 0<ах(9, а ЬЬ=О. Если при этом й<п, то, поскольку прн А<п все десятичные знаки до порядка )1 у Ь' и Ь" совпадают, условия а<Ь' н а<Ь", очевидно, эквивалентны. Остается рассмотреть случай й =и. В этом случае соотношения (25) принимают внд ао=Ьо, а|=Ь|,...,ан |=Ь |, а„<Ь,. Самое последнее неравенство эквивалентно неравенству а <Ь вЂ” 1. Если прн этом а„<Ь, — 1, то по правилу упорядочения а<Ь". * При этом мы учитываем, что для неотрицательных о и Ь правило упорядочения уже определено (см.

случай 1)). Гл. 2. Вещественные числа Если же в указанном последнем неравенстве а„=܄— 1, то все десятичные знаки у чисел а и Ь" до порядка и совпадают. Поскольку у числа Ь" все десятичные знаки порядка, большего и, равны девяти, то и в этом случае а<Ь", ибо у числа а все деся- тичные знаки порядка, ббльшего л, не могут быть равны девяти (в силу того, что а не равно Ь'). Итак, утверждение 1) доказано. Перейдем к доказательству утверждения 2).

Предположим, что а<Ь". Договоримся о следующих обозначениях бесконечных десятичных дробей, представляющих числа Ь' и Ь". Ь'= Ьо', Ь~'Ьо' ... Ьа', Ь".= Ьо", Ь! "Ь,",. Ь " „, В этих представлениях Ь,'=Ьо"=Ьо Ь,'=Ь,"=Ь, Ь'„,=Ь"„, =Ь„ь Ь„'=Ь„, Ь„"=Ьп — 1. Иными словами, справедлива цепочка соотношений Ь,'=Ь,", Ь|'=Ь,",„.,Ь', ~=Ь"„ь Ьн'>Ь ".

С другой стороны, поскольку а<Ь", найдется номер Ь такой, что справедлива цепочка соотношений по= Ьо", щ —— Ь!", ..., ад 1=Ь"д ь ад<Ьд". Обозначим через ги н а и м е н ь ш и й из двух номеров и и Й и сопоставим между собой две последние цепочки соотношений. Используя свойства транзитивности знаков > и = для целых чисел, мы получим при этом следующую цепочку соотношений: ао —— Ьо', а~=Ь1', ...,а ~=Ь' ь а <Ь' Полученные соотношения на основании правила упорядочения вещественных чисел устанавливают справедливость неравенства а<Ь'. Тем самым утверждение 2) также доказано.

Еще раз подчеркнем, что доказанная лемма позволяет при упорядочении двух чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, пользоваться любым из двух представлений в виде бесконечной десятичной дроби для рациональных чисел, представимых конечной десятичной дробью. Легко убедиться в том, что сформулированное правило упорядочения в применении к двум рациональным числам, представленным в виде бесконечных десятичных дробей, приводит к тому же результату, что и прежнее правило упорядочения рациональных чисел, представленных в виде отношения двух целых чисел. В самом деле, достаточно рассмотреть случай двух н е о тр и ц а т е л ь н ы х рациональных чисел а и Ь.

Пусть а) Ь согласно прежнему правилу упорядочения рациональных чисел, н пусть а=по, а~по ... а„,..; Ь=Ь,, Ь,Ь, ... Ьд .... Отложив рациональные числа а н Ь на числовой оси, мы получим отвечающие й 1. Множество чисел, представимых бесковечными дробями 39 им точки М| и Мв причем, поскольку а>Ь, отрезок ОМ~ больше отрезка ОМь Из описанного в и. 2 процесса измерения отрезка числовой оси вытекает, что целое число аоа1ао...ад показывает, сколько раз 1О д часть масштабного отрезка ОЕ укладывается в отрезке ОМы а целое число ЬоЬ1Ьо,.

Ь„показывает, сколько раз 10 " часть ОЕ укладывается в отрезке ОМь Поскольку отрезок ОМс больше отрезка ОМм то найдется номер й такой, что аоа1 ...ад — 1=ЬоЬ1...Ьд ь а аоа, ...ад)ЬоЬ1: Ьы но это и означает, что а>Ь согласно правилу упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Докажем теперь, что для сформулированного нами правила упорядочения чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, остается справедливым свойство 4', приведенное в п. 1 для рациональных чисел, т. е.

докажем, что для любых трех чисел а, Ь и с, представимьсх бесконечными десятичными дробями, из справедливости неравенств а>Ь и Ь)с вытекает справедливость неравенства а)е (свойство транзигивности знака )), а из справедливости равенств а=Ь и Ь=с вытекает справедливость равенства а=с (свойство транзитивности знака = ). Свойство транзитивностн знака = сразу же вытекает из справедливости соответствующего свойства для целых чисел. Докажем свойство транзитивностн знака ). Пусть а>Ь, Ь>с. Требуется доказать, что а>с.

Рассмотрим трн возможных случая: 1) е неотрицательно; 2) с отрицательно, а неотрицательно; 3) с отрицательно и а отрицательно. 1) Пусть сначала с неотрицательно. Тогда Ь также неотрнцательно, ибо если бы Ь было отрицательно, то в силу правила упорядочения мы получили бы, что с)Ь, и это противоречило бы условию Ь>с. Далее, повторяя те же рассуждения, мы получим, что и а неотрицательно (ибо в противном случае мы получили бы, что Ь>а, и это противоречило бы условию а>Ь). Итак, в рассматриваемом случае все три числа а, Ь н с неотрицательны.

Записав представления этих чисел бесконечными десятичными дробями а=ао,а а,...; Ь=Ьо, Ь|Ье..., с=с„ссо..., мы получим, что в силу условия а)Ь найдется номер й такой, что ао=Ьо, а1=Ьь ...,ад 1=Ьд ь а„>Ьд. (2.б) Аналогично в силу условия Ь>с найдется номер р такой, что Ьо со Ь1 с1 ... Ьр ~=ср 1 Ьп)с (2.7) Обозначим через т наименьший из двух номеров й и р Тогда, очевидно, нз соотношений (2.6) и (2.7) и из справедливости свойства транзитивности знаков > и = для целых чисел вытекает, что ао=со, а,=сп ..., а,=с„ы а )сев а это и означает (по правилу упорядочения), что а)с.

40 Га. 2. Вещественные чнсаа 2) Пусть теперь с отрицательно, а неотрицательно. Тогда (независимое от знака числа Ь) неравенство а>с справедливо в силу правила упорядочения. 3) Рассмотрим, наконец, случай, когда оба числе а и с отрицательны. Заметим, что в этом случае и Ь отрицательно (ибо в противном случае мы получили бы из правила упорядочения, что Ь>а, и это противоречило бы условию а>Ь). Итак, в рассматриваемом случае все три числа а, Ь н с отрицательны. Но в таком случае (в силу правила упорядочения) неавенства а>Ь, Ь>с эквивалентны неравенствам (Ь)>)а( и с)>~Ь|.

Иэ последних двух неравенств (в силу свойства транзитивиости знака >, уже доказанного нами в случае 1) для неотрицательных чисел) вытекает, что 1с)>1а~, а это и означает (в силу правила упорядочения отрицательных чисел а и с), что а>с. Тем самым доказательство свойства транзитивности знака > полностью завершено. й а. ОГРАНИЧЕННЫЕ СВЕРХУ (ИЛИ СНИЗУ) МНОЖЕСТВА Ч!4СЕЛ, ПРЕДСТАВИМЫХ БЕСКОНЕЧНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ 1. Основные понятия.

Рассмотрим совершенно произвольное множество (х) чисел, представимых бесконечными десятичными дробями. Отдельные числа, входяшие в состав множества (х), мы будем называть элементами этого множества. Всюду в этом параграфе мы будем требовать, чтобы рассматриваемое множество (х) содержало хотя бы один элемент (такое множество принято называть н е п у с т ы м). Введем важное понятие ограниченности множества сверху (или соответственно снизу). Определение 1.

Множество (х) чисел, представимых бескоиечньики десятичными дробями, называется о г р а н и ч е и и и м сверху (соответственно ограниченным снизу), если существует такое представимое бесконечной десятичной дробью число М (соответственно такое представимое бесконечной десятичной дробью число т), что каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х(М (соответственно х>т). (2.8) При этом число М (число т) называется верхней гранью (нижней грань ю) множества (х). Конечно, любое ограниченное сверху множество (х) имеет бесконечно много верхних граней.

В самом деле, если число М вЂ” одна из верхних граней множества (х), то л1обое число М', большее числа М, также является верхней гранью множества (х) (ибо из й 2. Ограниченные множества справедливости неравенства (2.8) будет следовать, что х(М'). Аналогичное замечание можно сделать в отношении нижних граней ограниченного снизу множества (х). Так, например, множество всех представимых бесконечными десятичными дробями отрицательных чисел ограничено сверху.

В качестве верхней грани М такого множества можно взять любое неотрицательное число. Множество всех целых положительных чисел 1, 2, 3, ... ограничено снизу. В качестве нижней грани' этого множества можно взять любое число гп, удовлетворяющее неравенству гп(1. Естественно, возникает вопрос о существовании наименыпей из верхних граней ограниченного сверху множества и наибольшей из нижних граней ограниченного снизу множества. О п р е д е л е н и е 2, Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества (х) называется конной верхн е й г р а н ь ю этого множества и обозначается символом х= =зп!э (х) Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества (х) называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом х=!п1(х) '*.