ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 4

Таким образом, выписанная выше таблица производных простейших элементарных функций порождает эквивалентную сй таблицу важных неопределенных интегралов, которую мы приводим ниже. „а+~ хас(х = + С (а чь 11. а+1 йх — = 1оя, х+ С (х > 01. х аа пах = — + С (О ( а чь 11. 1оа8 а В частности, при а=е екДх = еа 4'. ) з(пи(х= — соьх+ С. 5'. ) соьхдх=ь(п х+С. Гл. 1. Основные понятия математичесного анализа 6'. ~ — =1йх+С 1 — — + пи< х< — +па, где а= — О, ~ 1, Г их / и Л ,) созе х г 2 -1-2,...). 7'. ~ — = — с1йх+С (як < х<п+ттп, где а=О, 1-1, 1-2, ...). ох 51пв х 8'. ( =агсз(их+С (1х:1<1). ,1 и' 1 — хв 9е. ( = агс (й х+ С. 1+ хе ) е /1х, (1.11) играющего важную роль в теории вероятностей и в других разделах точных наук.

Интеграл (1.11) служит примером интеграла от элементарной функции, не являющегося элементарной функцией. Таким образом, в отличие от операции дифференцирования, операция интегрирования выводит нас из классаэлементарных функций. Это обстоятельство подчеркивает условность самого понятия элементарной функции как традиционного объекта классического анализа. Недостаточность описанного нами аппарата ставит на повестку дня задачу о существовании и о вычислении первообразной и неопределенного интеграла от любой функции 1(х), только непрерывной в каждой точке х области своего задания.

Оказывается, такую задачу можно решить при помощи другото подхода к проблеме интегрирования функции,' к выяснению которого мы сейчас и перейдем. 8. Снова предположим, что функция ((х) представляет собой мгновенную скорость движущейся вдоль оси Оу материальной точки. Поставим цель — вычислить путь, пройденный этой точкой за промежуток времени от х=а до х=Ь. Приведенная таблица в систематическом курсе анализа будет дополнена двумя важнейшими правилами интегрирования (интегрированием посредством замены переменной и интегрированием и1о частям). Здесь мы не будем приводить формулировку этих правил, а .лишь отметим, что написанная таблица вместе с этими правилазги составляет важный вычислительный аппарат той части математического анализа, которую принято называть интегральны/мым исчислением. Следует, однако, сразу же подчеркнуть, что для вычисления многих важных неопределенных интегралов этого аппарата оказывается недостаточно.

Например, этого аппарата недостаточно для вычисления неопределенного интеграла 21 Для облегчения рассуждений будем считать, что скорость [(х) неотрицательна для всех значений времени х. Для решения поставленной задачи разобьем промежуток времени на малые промежутки, ограниченные моментами времени а=хг<х1<хг« ... х„1<х„=Ь, Естественно считать, что на каждом малом промежутке времени от хд-г до хд (Ц=1, 2,...,п) скорость Г(х) меняется мало (что заведомо будет иметь место всякий раз, когда 1(х) является непрерывной в каждой точке х). Но тогда приближенно можно считать скорость Г(х) постоянной на каждом промежутке [хг ь хд] и равной значению Г($г), где 5д — некоторое значение времени из промежутка [хг-ь хг] Таким образом, путь Я [хд ь хг], пройденный движущейся точкой за промежуток времени от хд 1 до хю приближенно можно считать равным произведению [($д) на длину Ьхг=хк — хг 1 промежутка [хг ь хг].

Итак, 3[х -ь хк] =[йг)б В таком случае путь' Я[а, Ь], пройденный материальной точкой за весь промежуток времени от х=а до х=Ь, будет приближенно равен сумме 5 [а, Ь] — ]Д~) бхай+]Яг) Лхг+...+~(я ) бх„. (1.12) Сумму, стоящую в правой части (1.12), принято называть и нтегр альной суммой. Естественно ожидать, что точное значение пути 5 [а, Ь] мы получим, переходя в интегральной сумме, стоящей в правой части (1.12), к пределу при стремлении к нулю наибольшей из длин Ьхг (при этом, конечно, общее число и частичных промежутков будет неограниченно возрастать).

Используя символ предела и обозначая через й наибольшее из чисел Ьхь Лхг, ..., Ьх„, получим, что Б [а, Ь] =1нп(Г($,) Лх, + Г Я,) ггх, + ... + ~($„) Лхл). (1.13) Разумеется, требует уточнения вопрос о том, что мы понимаем под пределом интегральной суммы, стоящим в правой части (1.13). На этот раз операция предельного перехода встречается в новой и более сложной форме, чем при вычислении обычного предела функции 11ш((х). Строгое определение и изучение свойств предела вида (1.13) будет дано в систематическом курсе анализа.

Здесь же мы укажем, что в математике предел, стоящий в правой части (1.13), Гл. 1. Осиоаные понятия математического анализа назывиетсл определенным интегралом от функции 1(х) в пределах от а до Ь и обозначается символом ь ') Г'(х) дх. » (1. 14)ь Итак, определенный интеграл (1.14) равен пути Я(а, Ь), пройденному движущейся со скоростью 1(х) материальной точкой за промежуток времени от х=а до х=Ь. Вместе с тем очевидно, что интегральная сумма, стоящая в правой части (1.12), геометрически представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых служат отрезки Лхь а высотами — отрезки длины 1($а).

Иными словами, интегральная сумма, стоящая в правой части (1.12), равна площади ступенчатой фигуры, обведенной наь и %л т»ч и» т»ч о л 4'» ч» Рис. 1 3 Рис. 12 рис. 1.2 жирной линией. Естественно ожидать, что при стремлении к нулю длины д наибольшего из чисел Лх» площадь указанной ступенчатой фигуры будет стремиться к площади криволинейной фигуры, лежащей под графиком функции у=г(х) на отрезке а~х(Ь (на рис. 1.2 эта фигура заштрихована). Эту фигуру принято называть криволинейной т р а не ц ней.

Таким образом, определенный интеграл (1.14) равен площади указанной криволинейной трапеции. Конечно, проведенные нами наглядные рассуждения требуют уточнения. В частности, в систематическом курсе анализа надлежит уточнить само понятие плошади криволинейной трапеции в вообще площади плоской фигуры. Итак, с понятием определенного интеграла (1.14) связаны две фундаментальные задачи: физическая задача о вычислении пути, пройденного движущейся со скоростью 1(х) материальной точкой за промежуток времени от х=а до х=Ь, и геометрическая задача о вычислении площади криволинейной трапеции. 9. Теперь настало время заняться вопросом о связи определенного интеграла (1.14) с введенным ранее неопределенным инте- тралом (или с первообразной), а также вопросом о способах вычисления определенного интеграла. Обозначим через Р(х) определенный интеграл от функции г(х) в пределах от а до х, где а — некоторое фиксированное значение аргумента, а х — переменное значение.

Иными словами, положим' х Р (х) = 1 ПГ) гй. О (1,45) мало отличается от высоты 1(х) указанного прямоугольника, т. е. предел при Лх — «О разностного отношения (1,16) обязан быть равен Г(х). Вместе с тем, по определению, указанный предел равен производной Р'(х).

Итак, мы убедились в том, что Р'(х) =((х), т. е. функция (1.15) является одной из первообразных функции 1(х). Но тогда любая первообразная функции г(х) равна к гр (х) = ~ г'(() г(г+ С, (1.17) а где С вЂ” постоянная. Проведенные нами рассуждения имеют предварительный характер, но прн наличии развитого аппарата математического ана- " Переменную под знаком определевного интеграла мы обозначаем через С чтобы не путать ее с верхним пределом интегрировании х. С геометрической точки зрения этот интеграл, как это показывает проведенное выше рассмотрение, равен плошади криволинейной трапеции, лежащей под графиком функции у=у(х) на сегменте (а, х1. На рис. 1.3 эта криволинейная трапеция обведена жирной линией.

Используя наглядные геометрические соображения, убедимся в том, что введенная нами функция (1.15) является одной из первообразных функции 1(х), т. е. убедимся в том, что Р'(х) = =г(х). Пусть Лх — некоторое достаточно малое приращение аргумента х. Очевидно, разность Р(х+Лх) — Р(х) представляет собой площадь «узкой» криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 1.3.

С другой стороны, если функция ((х) непрерывна в каждой точке х, т. е. если значение этой функции при малом изменении аргумента меняется мало, то указанная площадь «узкой» криволинейной трапеции мало отличается от площади г(х) Лх прямоугольника с основанием Лх и высотой г(х). Отсюда следует, что при малом Лх разностное отношение Р(х+ Ьх) — г" (х) (!.16) Лх Гл. К Основные понятия математического анализа ной Ф (х) функции 1(х) .

Для установления такой связи возьмем в равенстве (1.17) в качестве верхнего предела интегрирования сначала число Ь, а затем число а. При этом получим ь ь Ф (Ь) == ~ 1' (1) с(1+ С = ~ 7 (х) дх+ С, (1. 18) (1.19) (ибо интеграл ~ 7(1)с(1, очевидно, равен нулю).

а Вычитая из равенства (1.18) равенство (1.19), мы получим знаменитую формулу Ньютона — Лейбница ~ 7' (х) ь(х = Ф (Ь) — Ф (а), а сводящую вопрос о вычислении - определенного интеграла ь ) 7(х)н(х к вычислению разности значений любой первообразной а Ф(х) функции 1(х) в точках Ь и а. Строгое обоснование формулы Ньютона — Лейбница является одной из важных задач математического анализа. 10. Заметим, однако, что точное аналитическое выражение для первообразной можно получить лишь для узкого класса функций. Поэтому наличие формулы Ньютона — Лейбница не снимает вопроса о приближенных способах вычисления определенного интеграла.