ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 5

Простейший способ приближенного вычисления определенного интеграла (так называемый метод прямоугольников) ь основан на замене вычисляемого интеграла ~ 7(х) т(х интегральа ной суммой, стоящей в правой части (1.!2), у которой все точки лиза им легко придать строгий характер и строго доказать, что у любой функции Г(х), только непрерывной в каждой точке х, существует первообразная (а значит, и неопределенный интеграл), причем любая первообразная этой функции определяется равенство м (1, 17) .

Равенство (1.17), в свою очередь, позволяет установить связь. ь между определенным интегралом ) т" (х)ь(х и любой первообраз- а 25 й» являются серединами соответствующих сегментов [х» ь х»), а длины всех указанных сегментов, т. е. все числа Лх»=х» — х». ь равны друг другу. В систематическом курсе анализа будет доказано, что при определенных требованиях на функцию )(х) ошибка, совершаеь мая при замене интеграла ~ ) (х)сЬ указанной спепиальной интел .гральной суммой, имеет порядок а — ', где и — число частичных сегментов.

Замечательным является то обстоятельство, что метод прямоугольников (как и многие другие методы приближенного вычисления определенного интеграла) допускает удобную реализацию на ЭВМ. Это обстоятельство и равенство (1.17) делают эти методы эффективным средством вычисления первообразных и неопределенных интегралов. Ниже мы приводим результат вычисления на ЭВМ по методу прямоугольников так называемого и н т е г р а л а П у а с с о н а Е(х)= ~ е х г(! о для значения х из сегмента 0(ха-'1. Результаты вычислений собраны нами в табл. 1, в которой в первой колонке стоит аргумент х интеграла Пуассона, во второй колонке указана длина Ь частичного сегмента (или шага), в третьей колонке приведен результат вычисления, а в четвертой колонке указано чйсло и частичных сегментов *.

Таким образом, для интеграла Пуассона, не являющегося, как указано выше, элементарной функцией, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов без труда могут быть составлены таблицы его значений, делающие использование этого интеграла столь же доступным, как и использование любой элементарной функции. 1!. Наряду с приближенными методами вычисления интегралов важную роль в современной математике играют приближенные методы отыскания корней различных уравнений.

Рассмотрим простейшее уравнение 1(х) =О. (1.20) В систематическом курсе анализа будет доказано, что при опре- " Прв этом следует учитывать ошибки округления, возиикаюшие прв переводе чисел, взятых в десятвчвой системе счисления, в двоичную систему ЭВМ в обратном переводе чисел, полученных в двоичвой системе счисления, в десятичную.

Вследствие указанных ошибок округления из десяти выппсавпых после запятой десятичных звакав мошко гарантировать правильность первых шести знаков (остальиые четыре знака в табл. 1 взяты в скобки). Гл. 1, Основные понятия математического анализа Таблица 1 деленных требованиях, налагаемых на функцию 7(х), корень х= =с уравнения (1,20) может быть найден как предел последовательности итераций х„(а=-1, 2, 3, ...), первая нз которых х! берется из некоторого достаточно широкого диапазона, а все последующие шаг за шагом определяются по формуле хз+!=хе (а=1 2 3. ° ° .).

(1. 21) ) (тн) Указанный метод приближенного вычисления корня уравнения (1.20) называется методом Нь!отона (или методом касательных). Этот метод допускает очень удобную реализацию на ЭВМ, В качестве конкретного примера рассмотрим уравнение (1.20) с функцией 7(х) вида )(х) =хе — а, где а — положительное вещественное число, а й= 2 — целое положительное число. Для такой функции )(х) положительным корнем уравнения (1.20) будет являться число у' а (т. е. корень степени й нз положительного вещественного числа а).

Формула (1.21), определяющая последовательные приближения метода Ньютона, на этот раз принимает вид х„.~!=-:х„+ — (п=1,2, 3, ...). (1.22) е — 1 кл (Чтобы убедиться в этом, достаточно учесть, что 7'(х) =йх"-'.) 0,0999999642 0,1999999285 0,2999998927 0,3999998569 0,4999998212 0,5999997854 0,6999997497 0,7999997139 0,8999996781 0,9999996424 0,0999999642 0,1999999285 0,2999998927 0,3999998569 0,4999998212 0,5999997854 0,6999997497 0,7999997139 0,899999678! 0,9999996424 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0099999964 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,0009999996 0,039827 (9885) 0,079260 (0074) 0,117911 (8581) 0,155422 (3028) 0,191463 (13!9) 0,225747 (6439) 0,258037 (1805) 0,288!45 (4843) 0,315940 (7870) 0,341345 (6679) 0,039827 (8248) 0,079259 (6848) 0,11791! (3851) 0,15542! (6952) 0,191462 (4058) 0,225746 (8192) 0,258036 (2789) 0,288144 (5284) 0,315939 (7992) 0,341344 (6698) 10 20 ЗО 40 50 60 70 80 90 100 100 200 ЗОО 400 500 600 700 800 900 1000 Тзблииз 2 2 2 2 5 5 5 1О 1О 1О 1,41423181 1,732049942 1,999999046 1,148697853 1,245730400 1,3 19507599 1,071773529 1,116123199 1,148697853 12.

Мы рассмотрели постановку важнейших задач математического анализа, отправляясь от простейшей механической модели — движения материальной точки вдоль прямой линии. Такая модель естественно привела нас к необходимости построения дифференциального и интегрального исчисления функция 7(х) оди о й независимой переменной, При описании более сложных задач естествознания возникает понятие функции н е с к о л ь к и х независимых переменных хь х„...,х„,. Так, например, температура и нагреваемого тела представляет собой функцию четырех независимых переменных: трех координат хь хз, хз точки этого тела и времени й Эту функцию естественно обозначить символом и=)(хь хъ хз, 1).

Для функции нескольких независимых переменных естественно ввести понятие производной по каждой из переменных (такую производную называют частной производной по данной переменной). Формула (1.22) представляет собой эффективный легко реализуемый на ЭВМ алгоритм вычисления корня степени й из положительного числа а. Приведем пример вычислений, проведенных на ЭВМ по этой -фор муле. Всякое положительное вещественное число а представимо (и притом единственным способом) в виде а=2'х, где 1 — целое число, а х удовлетворяет неравенствам 1/2(х(1. Будем каждчяй раз выбирать за первое приближение х~ число х~=21пз1, где й— степень извлекаемого корня, а символ [1/Ц обозначает целую часть числа 1/й. Результаты вычислений собраны нами в приводимую ниже табл. 2, в которой в первой колонке стоят числа а, из которых извлекается корень, во второй колонке указаны степени й извлекаемых корней, в третьей колонке приведен результат вычислений, а в четвертой колонке указано число сделанных итераций.

зз Гл. 1. Основные понятия математического анализа Важной задачей для последующего развития математического анализа является построение дифференциального и интегрального исчислений функций нескольких переменных. Наконец, математический анализ, понимаемый в совсем широком смысле, включает в себя теорию так называемых дифференциальных уравнений (т. е. уравнений, содержащих искомые функции под знаками производных). В последние десятилетия широкое развитие получили теории, исходящие из обобщенной трактовки самого понятия функции, понятия производной и понятия решения дифференциального уравнения, связывающего производные функции.

Создание математического анализа является одним из величайших достижений человеческого разума. Оно позволило от рассмотрения отдельных разрозненных физических и геометрических задач (такнх, как падение тела под действием силы тяжести, вычисление площади, лежащей под параболой) перейти к развитию общих методов решения больших классов задач. Развитие математического анализа, в свою очередь, оказало огромное влияние на прогресс науки и техники.

Классический математический анализ представляет собой очень удобную идеализированную модель, основанную на том, что мы располагаем точными значениями всех исходных величин и можем найти точные значения всех вычисляемых величин. Заметим вместе с тем, что, отправляясь от этой модели, мы, как правило, можем оценить погрешность, возникающую вследствие того, что исходные величины заданы нам с некоторой ошибкой и все вычисления могут быть проведены лишь с определенной точностью.

Таким образом, аппарат математического анализа может быть использован для построения численных методов и оценки погрешностей. Подводя итог, систематизируем первоочередные н наиболее важные проблемы, выявившиеся в результате проведенного нами предварительного рассмотрения. 1. Уточнение понятий вещественного числа, множества и функции.