ilin1 (Ильин, Садовничий, Сендов - Математический анализ), страница 2

Абстрагируясь от конкретного механического смысла переменных х и у н рассматривая в качестве х и у две совершенно произвольные переменные величины, мы придем к понятию функции, являющемуся одним из важнейших понятий математиче. ского анализа. Если известно правило, посредством которого каждому значению одной переменной х ставится в соответствие определенное значение другой переменной у, то говорят, что переменная у является фу и к и и е й переменной х, и пишут у=у(х) или у=Г(х). При этом переменную х называют а р г у м е н т о м нли н езависимой переменной, а переменную у — функцией аргумента х. Букву ! в записи у=!(х) обычно называют характернорис т и к о й рассматриваемой функции, а значение у= г(х) называют частным значением функции в точке х.

Совокупность всех частных значений функции принято называть о бл а с т ь ю изменения этой функции. Отметим сразу же, что приведенная формулировка понятия функции требует уточнения, ибо в этой формулировке ничего не говорится о том, из какого множества берутся значения независимой переменной х. Множество, состоящее из тех и только тех чисел, которые являются значениями независимой переменной х, обычно называют 11 о б л а с т ь ю з а д а н и я ф у н к ц и и. Описание областей задания функции требует развития теории числовых множеств. Отметим еще, что понятие функции (так же, как и понятие числа, множества и переменной величины) естественно считать начальным понятием (т.

е. таким понятием, которое можно описать, но нельзя строго определить, ибо любая попытка дать строгое определение указанного понятия неизбежно сведется к замене определяемого понятия ему эквивалентным). Таким образом, вместо термина «определение функции» естественнее упртреблять термин «понятие функции». Отметим, наконец, что для обозначения аргумента функции и ее характеристики могут употребляться различные буквы. Так, например, запись х= р(1) обозначает, что переменная х является функцией аргумента 1, причем характеристика этой функции обозначена через ч~.

При одновременном рассмотрении нескольких функций одного аргумента г для обозначения характеристик этих функций необходимо употреблять различные символы. 2. Часто приходится рассматривать такую функцию й=((х), аргумент х которой сам является функцией вида к=~у(1) некоторой новой переменной й В таком случае говорят, что переменная у представляет собой с л о ж н у ю ф у н к ц и ю аргумента 1, а переменную х называют п р о м е ж у т о ч н ы м аргументом. Указанную сложную функцию называют также су пер поз ицие й функций 1, и ~р. Для обозначения указанной сложной функции естественно использовать символ у=11р(1)). рассмотрим простой пример, иллюстрирующий возникновение понятия сложной функции. Предположим, что материальная точка М равномерно с постоянной угловой скоростью в враща- »г ется по окружности радиуса 1(.

Найдем закон движения проекции Р М' точки М на некоторую ось Оу, проходящую через центр О окруж- п»г' ности и лежащую в ее плоскости (рнс. 1.1). При этом естественно предположить, что в начальный момент времени 1=0 движущаясяточка М находилась в точке М, пересечения окружности с осью Оу. Обозначим через у координату проекции М' точки М иа ось Оу, а через х угол МООМ, на который повернется точка М за время й Очевидно, что у=»г сов х, х=а1, и мы получим, что координата у проекции М' представляет собой сложную функцию времени т вида у=Йсозх, где х=ы1.

Эту сложную функцию можно записать в виде у=)г сов ай Отметим, что движение по закону д=)( сов в1 в механике принято называть гармоническим колеба нием. Гл. 1. Основные понятия математического анализа 3. Из курса физики известно, что важной характеристикой движения материальной точки является ее мгновенная скорость в каждый момент времени х. Если материальная точка движется вдоль оси Оу по закону у=((х), то, фиксировав произвольный момент времени х и какое угодно приращение времени езх, мы можем утверждать, что в момент времени х движущаяся точка имеет координату 1(х), а в момент времени »+Ах — координату г(х+Ьх).

Таким образом, число тзу=г(х+йх) — 1(х) представляет собой путь, пройденный движущейся точкой за промежуток времени от х до »+бах. Отсюда вытекает, змо отношение А я 1(х + Лх) — 1(х) (1.1) обычно называемое разностным отношением, представляет собой с р ед н ю ю с к о р о с т ь движущейся точки за промежуток времени от х до х+сзх. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки называется предел, к которому стремится средняя скорость (1.1) при стремлении к нулю промежутка времени йх. Если использовать известный из курса средней школы символ предела, то можно записать следующее соотношение для мгновенной скорости о(х) в момент времени х: о(х) ='1пп — =!пп Ли . 1(х+ Лх) — 1(х) лхо Лх ах о Ьх (1.2) Операцию нахождения производной договоримся называть ди фф е р е н ц и р о в а н н е м.

Наше рассмотрение показывает, что при вычислении производной фундаментальную роль играет понятие предела функции. Физическое понятие мгновенной скорости приводит к фундаментальному математическому понятию производной. Абстрагируясь от механического смысла рассмотренной выше функции у= =1(х), мы назовем производной произвольной функции у= =г(х) в данной фиксированной точке х предел, стоящий в правой части (1.2) (при условии, конечно, что этот предел существует). Используя для обозначения производной функции у=!(х) в точке х символ 1'(х) или у'(х), мы можем по определению записать следующее равенство: Г' (х) =1пп — ~ =1пп Н»+ ах-о Лх ах.

о Ьх !з Предварительное представление о понятии предела функции (да и о самом понятии производной) дается в курсе средней школы. Одйако строгое и последовательное изучение понятия предела возможно лишь на базе строгой теории вещественных чисел. Так, например, без строгой теории вещественных чисел невозможно установить существование двух следующих важных пределов: 1пп — и 1нп (1+ г)н, !- о ! е- о мп— сов (х+ — ) Лу Мп(х+ йх) — в!пх Ьх Ьх Таким образом, производная функции у=в)пх в точке х по опре- делению равна пределу йх в!и— 2 1'пп сов (х + — ) йх ! пхие 2 ) (1.3) (при условии, что этот предел существует). Можно ожидать, что 1пп сов (х+ — ) = совх.

ьх т (1.4) ьх~С 2 ) Заметим, однако, что не для всякой функции 1(х) справедливо равенство 1нп ~(х+ — 1 =г(х). йх-~0 ( 2 / (1.5) Функ!(ия г(х), для которой в данной точке х справедливо равенство '(1.5), называется' чепреры вной (в точке х). Поня- неизбежно возникающих, как мы увидим ниже, при вычислении производных функций у=шпх и у=1од,х.

Итак, проведенное нами рассмотрение показывает, что вопрос о существовании и вычислении производной упирается в необходимость развития строгой теории вещественных чисел и на ее базе теории пределов. 4. Займемся теперь вычислением производных двух конкретных элементарных функций у=в!пх и у=1оК х н выясним, какие математические проблемы неизбежно возникают при этом. Сначала вычислим производную функцию у=в(п х в любой фиксированной точке х. Для этой функции разностное отношение (1.!), очевидно, имеет вид Гл.

1. Основные понятна математического анализа тие непрерывности функции является одним из важнейших математических понятий и будет основательно изучаться в систематическом курсе математического анализа. В частности, в систематическом курсе будет доказано, что функция у=созх является непрерывной в каждой точке х, т.

е. в каждой точке х справедливо равенство (1.4). Заметим теперь, что для вычисления предела (!.3) недостаточно доказать справедливость соотношения (1.4). Для этого необходимо еше вычислить следующий предел: Лх а!и— 1ип 2 дх о Лх 2 е1п 1 = 1пп— 1 о (1.6) (Лхчьб и выбирается так, что х+Лх>0). Таким образом, производная функции у=1оя,х в любой точке х>0 по определению равна пределу 1ояе (х + Лх) 1ояе х (1.7) ьх о Лх (при условии, что этот предел существует). Преобразуем дробь, стоящую в (1.7), проделав следующие операции: 1) заменим разность логарифмов логарифмом частного; 2) произведем умножение и деление на одну и ту же величину х>0; 3) внесем множитель, стоящий перед логарифмом, под знак логарифма, сделав его показателем степени.

В результате получим, что предел (1.7) равен 1(гп ~ — 1ой, ~1 + —" ) ~ =-1пп ~ — — ' 1он, (1 + — ') ~ = В систематическом курсе анализа будет строго доказано, что предел (1.6), часто называемый пер в ы м з а меч а тел ь ны м п р е д е л о м, существует и равен единице. Только после того, как будет установлена непрерывность функции у=сов х (т. е.

равенство (1.4)) и вычислен первый за. мечательный предел (1.6), мы сможем, опираясь еще на то, что предел произведения равен произведению пределов сомножителей, строго утверждать, что предел (1.3) существует и равен сов х или, что то же самое, производная функции у=з(их существует и равна сов х. Перейдем теперь к вычислению производной функции у= =1он х, считая, что 0<ачь1, н фиксировав произвольную точку х>0. Для этой функции разностное отношение (1.1) имеет вид Лу 1оуо (х+ Лх) — !оя х Лх Лх !5 = 1пп ~ — 1ой, ~ (1 + — ) а» ~ ~ = ! =1пп ~ — 1оп,] (1+!) ' ]] ~1= — -+-0), (1.8) Рассмотрим отдельно предел при 1 -0 выражения, заключенного в правой части последнего равенства в квадратные скобки! ! 11щ ((1 1 Г) ! ] (1.9) !-о Этот предел часто называют вторым з а меч а тельным пределом. В систематическом курсе анализа будет установлено, что этот предел равен иррациональному числу е, которое с точностью до пятнадцати знаков после запятой имеет вид е= =2,718281828459045...