Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 7

Такии образом удаетс» определить значеии» ркмцса-ваттор» з »а гз и с»армии», в конце первого, т.е. в начале второго, этапа и процедура может быть продолжена. Подчеркнем, что ускоремие н» каждом з -и этапе определ»ется значением силн на этом этапе. н, = Р(г, » )(Ш, поэтому лля репкзпм задачи резульпзрующа» сила Рис.!! должн» быть известна «.зк функция координат и скорости точки ва воен обыщи пространства, где мнется траекториа.

Чем меныпе временной шаг б! а описанном алгоритме, теи близи рассчитанная траекторна к истинной. Соврем»нине ЭВМ с их колоссальными памятью и быстродействием позволжот кй)активно осущестанпь расчет траектории е любой треб усмон степенью точности, "" = та'(! й б.

Принцип относительности Галилеи В механике выполняется принцип относительности, впервые высказанный Галилеем СЯ. Согласно принципу относительности Галилея кинематическнй закон движения материальной точки будет одним и тем же во всех инерциальиых СО, если опыт проводится лри одинаковых условиях, т.е. при том же расположении и движении тел, воздействующих на рассматриваемую точку, и цри тех же начальных условиях, Но кинематнческий закон движения является решением уравнений движения (7.4), представляющих собой запись второго закона Ньютона (7,1) в дифференциальной форме. Поэтому для выполнения принципа относительности Галилея необходимо, чтобы сами уравнения (7.1) имели одинаковый вид во всех инерциальных СО.

т.е. не меняли своей формы при преобразованиях Галилея (бд), Ускорение согласно (6.3) инвариантно относительно преобразований Галилея; масса и силы, изучаемые в механике, также инвариантны (см, замечание в конце 6 1О), чем и обеспечивается одинаковость формы уравнений движения материальной точки во всех инерциальных СО. В современной физике 9 9. Третий закон Ньютона Третий закон Ньютона подчеркивает, что в природе нет односторонних воздействий, а есть лишь взаимодействия тел, и уточняет основные свойства этих взаимодействий: силы эаичо ействия в х мате иальных точек ейсгв юг в ель п ямой сое и- представлены случаи, когда силы взаимодействия материальных точек ! и 2 являю~ся силами притяжения (а) и силами отталкивания (б).

Индексы у силы символизируют точки, на которую (первый индекс) и со ( Рю рм стороны которой (второй индекс) действует данная сила. Для некоторых видов взаимодействий справедливость третьего закона а) Ньютона непосредственно вытекает из конкретных законов, описывающих эти взаимодействия, например, для гравитацион- ных сил - из закона всемирного тяготения Ньютона, для электро- статических сил - из закона Кулона. В'других случаях его спра- ведливость менее очевидна и есть пример, когда он нарушается (взаимодействие движущихся зарядов при неучете импульса их Рис.

) 2 электромагнитного поля). Однако все свидетельствует о том, что в нерелятивистской механике макроскопических тел третий закон Ньютона уни- версален. Косвенным подтверждением этому служит выполнение законов сохранения импульсе и момента импульса, при выводе которых, как мы увидим, существенно ис- пользуется предположение, что любые силы взаимодействия между материальными точками механической системы подчиняются треп,ему закону Ньютона. Р)з ) 2 .Гз) б) б ЗО.

Силы в ньютоновской механике Чтобы находить результирующую силу, действующую на материальную точку, необходимо знать, ках она взаимодействует с другими телами. По современным представлениям в природе существуют четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильные, слабые, электромагнитные и гравитационные. Два первых играют существенную роль в микромире; сильные взаимодействия между нейтронами и протонами обеспечивают стабильность атомных ядер, а слабые проявляю~ себя при взаимных превращениях элементарньш частиц. Во взаимодействиях макроскопических тел, которые рассматриваются в ньютоновской меХанике, участвуют гравитационные и электромагнитные силы.

При этом последние проявляют себя во взаимодействии не только заряженных, но и нейтральных тел; межмолекулярные взаимодействия электромагнитной природы приводят к возникновению упругих сил и сил трения, которые, наряду с гравитационными, изучаются в ньютоновской механике.

Гравитационные силы. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона все тела притягиваются друг к другу, Силы взаимного гравитационного притяжения двух материальных точек. т.е. тел, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними. удовлетворяют третьему закону Ньютона. Они направлены по прямой, соединяющей точки, навстречу друг другу и имеют одинаковый модуль принцип относительности формулируется более широко: все без исключения процессы (а не только механические) протекают одинаково ва всех инерциальных СО.

При этом выяснилось, что каоряинеты точки (точнее - события) в двух инерцисльных ОО свюяиы друг о другом более сложними формулами, чем преобрвэоввнив Галилею (6. ) ) - они неэываютс» и р с ° образов»киями Л орем це. Урввисниядвижения,дев»смыв вторымзеконом Ньютона,нс сохрэняют своей формы при преобреэаевииях Лоренц», что указывает нв приближсиньш хервктср иьютомовской механики. Уравнения лвижцш» в ршхпмисгской механике, построевной в нвчвле и»- шего век» и описывающей движение метсриельной точки с любыми скоросшни вплоть до скорости светя в вякуумс, сохрвн»ют форму при преобразованиях Лшмзлм. Однако, квк было пояснсно ва введении, движение м»кроскопических тел вполне удовлешорительмо описывается «ьютоновской мех»никой и ие возникает првктичсскоИ необходимости лольэоввтьш рммтнвистскими формулами.

32 г (1О.! ) где я(,зя, - массы материальных точек, г - расстояние между ними, сг - универсальная г р а в и т а и и о н н а я п о с т о я н н а я, которая в СИ имеет величину С = 4,6720.10 ннм кге. В векторной форме обе силы взаимодействия можно выразить одной формулой: (! 0.2) если под г понимать вектор, проведенный в точку, на которую действует сила Г, нз точки, со стороны которой она действует (рис.

13). Чтобы найти силу гравитационного взаимодействия двух тел конечных размеров, необходимо мысленно разбить оба тела на малые элементарные участки, которые можно считать материальными точками, и просуммировать силы, действующие со стороны элементов одного тела на элементы другого тела. Замечательна то обстоятельство, что характеристикой тела, ответственной за его гравитационное взаимодействие с другими телами, т.е.

играющей роль "гравитационного заряда", является — масса тела (сравните закон всемирного тяготения (10.2) с законом Кулона взаимодействия точечных зарядов). По этой причине Рнс.13 нногдаразличают и пер т н у ю массу, которая фигурирует во втором законе Ньютона и характеризует инертные свойства тела, н г р а в н т а ц и о н и у ю массу, задействованную в законе всемирного тяготения и отвечающую за гравитационное взаимодействие.

Эти массы у данного тела оказываются равными (точнее - пропорциональными) друг другу. Эйнштейн усмотрел глубокий смысл в факте равенства инертной н гравитационной масс тела, положив его в основу своей знаменитой релятивистской теории тяготения, или обшей теории относительности. Для описания гравитационного взаимодействия вводится понятие п о л я т я г отен и я, нлн гр ав и та ци о н ного поля, посредством которого это взаимодействие реализуется. Тела порождают в пространстве гравитационное поле, которое в свою очередь воздействует на всякое оказавшееся в нем тело, В общем курсе физики не принята излагать всемирное тяготение в рамках теории поля отчасти по той причине, что оно обладает теми же свойствами, что и электростатическое поле, подробно изучаемое в разделе "Электростатнка". Единственное существенное различие этих полей состоит в том, что между заряженными тгламн в зависимости от знака их зарядов реализуются как силы притяжения, так н силы отталкивания, в то время как гравитационные силы всегда являются силами притяжения.

Сила )г, действующая на материальную точку, находящуются в поле тяготения, пропорциональна ее массе т . с)п В самом деле, силы Д)гз, действующие на рассматриваемую точку со стороны малых элементов ож, тел, порождающих поле (рис. 14), согласно (!0.2) пропорциональны массе т: т гзт, огз = -Сг —,' г, (га - вектор, проведенный из элемента озн, в рассматриваемую точку), и при нахождении результирующей силы она выносится за знак суммы: Рнс.14 Как показывает анализ, типичными траекториями материальной точки в центральном поле тяжести являются у 0(1(111 один из факусоа котей=-Ом',.

рых находится в центре й=- — г 1 ! шара. (Напомним, что эллипсом (и соответственно, гиперболой) называется плоская фии) Рис, !б гура, сумма (и соответственно, разность) расстояний от точек котоРой до двух фиксированных точек фокусов - есть величина постоянная:Эл- 1 липс и гипербола изображены иа рис. ! 17, где фокусы обозначены буквами Р; и Р;). Частным случаем эллипса является окружность. а переходным случаем от г2 эллипса к гиперболе - парабола; при начальной скорости, направленной ряс(2+с(2 ж солж и - Н = сопл днально, траектория прямолинейная.

1 2 Все эти кривые получаются при пересечении кругового конуса плоскостью, поэтому траектории материальной точки в центральном поле сил тяготения называют коническими сечениями. Задание скорости в данной точке данного центрального гравитационного поля однозначна определяет траекторию. Если телу сообщить начальную скорость га в направлении.

перпендикулярном его радиусу-вектору г (рис. !8), то в зависимости от величины этой скорости могут быть реализованы все перечисленные виды траекторий; М л=-С вЂ”,й )( б) Рис. !7 т, = 0 - прямал 1; 0< к <т - эллипс З! т, =т, -окружность 3 радиуса г (Ч называется круговой скоростью); з; <т, <кз - эллипс 4; т, = тз - парабола 5 (кз иазываетея параболической скоростью); т, > гз - гипербола 6.

Рис. !8 Применительно к проблеме запуска ракет илн искусствеиньж спутников Земли круговая и параболическая скорости Ч и эз имеют простой смысл. Скорость Ч необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось вокруг Земли по круговой орбите - она называется первой космической скоростью, Прнэтомускорениесвободного падения (10.7) является центростремительным ускорением (5,1): О М/гз = т,'/г. Отсюда, с учетом (10.7), Для околоземной орбиты г=/1,, где радиус Земли /1, н 6400зсэз, а 8=8(Д)м 9 8м/с, что приводит кэначению В ч7,9км/с. При сообщении телу скорости П аио будет двигаться по параболе и покинет прсдеяы земного тяготения.

Утверждение остается е силе при любом направлении скорости эз: от него зависит лишь форма параболы, которая при радиальном направлении скорости вырождается в прямую (еслн скорость направлена в сторону Земли так, что эраектория пересекает земную поверхность, тело, естественна. упадет иа Землю). Поскольку при т < т, траектория эллиптическая, это означает, что э, является минимальной скоростью, которую нужно сообщить телу, чтобы оио вышло за пределы земного притяжения. Онаиазывается второй космической скоростью иопределяется формулой: (10.9) Вторая космическая скорость в Л бояьше первой и в случае запуска с поверхности Земли имеет значение э, н 11 Зкм/с . Вывод формулы (!0 9) дается в гл Ш, 6!5, с. 58 .

Третьей косин ч вской скоростью т называется наимеиьшаяскорость, которую надо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно, преодолев силы притяжения Земли и Солнца. покинуло Солнечную систему. Эта скорость должна совпадать ло направлению со скоростью орбитального движения Земли, и, как показывает расчет, имеет величину э, ч!6 7км/с . В небольшой по сравнению с радиусом Земли области вблизи земной поверхности вектор 6 приближенна постоянен по величине и направлению: 8 = -П'~~~, й, где йединичный вектор в направлении оси Оз, направленной вертикально вверх (рис. 16 6). В этой области поле вектора 8, как и поле сил тяготения г" = шй, действующих на материальную точку массы и, можно считать однородным.