Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 2

Дифференциал функции нескольких переменных складывается из частных дифференцвалов функцни по всем переменным: Относительный вклад второго слагаемого о(бх) в приращение функции неограниченно уменьшаегся прн Ьх-эо, так что при достаточно малом бх истинное приращение функции можно с хорошей степенью точности заменить ее дифференциалом: 2. Интеграл Интегрирование (взятие н е о п р е д е л е н н о г о Неап еленный инте ял.

и н те г р ел а ] с (х)с(т от 4сункции у=с(х)), -операция, обратная дифференцированию (взятию производной). Следовательно, ]„Г(х) с(х = Ф(х) ч-сащс (М.!3) означает. что ссФ/с(с=у(х) . Функция Ф(х) называется перв собр а з ной функции у= с"(х); она определена с точностью до произвольной постоянной. тск к,ск с((Ф+сассзс)/с(с =с(Ф/с(х =у(т). Для нашего курса достаточно сн сть формулы неопределенных интегралов от элементарных функций. которые можно найти а справочниках, и два правила интегрировании: постоянный множитель выносится за знак интеграла и интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой отдельной функции; ~а/(х)ах =а] /(х)сй, ] (/ (х).ьус(х))ах=~,у(х)с(сь ] Се(х)с(х.

Опумзылеенндйинмгйвя. Определенным интегралом ] /(х)ох оз )у(х)с/с= йпз ~ с(х,)дх (М.!3) Здесь Дх, - один из малых интернатов изиенения аргумента х, на которые рюбивается интервал (х„хс]; „/(хс) - значение функции у= /(х) в какой-либо точке интервала дт, (рис. 11). Сумма в формуле (М.!3) представляет собой площадь фигуры. ограниченной на рис. 11 жирными линиями, которая в пределе прн бх, -ь 0 переходит в площадь криволинейной трапеции, у=//х/ образованной кривой у = С(х), отрезком х,х, и ордннатами у, =с(хс) и у, = с(х,) - таков геометрический смысл определенного интеграла.

Доказывается, чта определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем х = х, и нижнем х = х, пределах интегрирования: х, х, л, Рис. 11 ] у(х) Ыс = Ф(х,)- Ф(х,) (М.)4) В физических теориях встречаются интегралы, взятые вдоль кривой В: ] у"(/) сс(: по с поверхности 5: ] /(и,г) Ы! по объему Р: ] /(туз) ссу. Для нашего курса достаточно с г понимать их сМьссл как предела соответствующей интегральной суммы, а вычисляются они во всех встречающихся в курсе задачах сведением к определенному интегралу вида (М.14) от функции одной переменной.

функции у = у'(х) на интервале значений аргумента от х = х, до х = х, называется предел суммы !О 3. О векторных физических величинах Кроме с к а числом или одной векторные величины. В е к т о р н а я физическая величина характеризуется абсолютной величиной, или и о д ух е и, и направлением. Символически вектор обозначается жирной буквой (г,г,«и т.д.) или буквой со стрелкой над ней, а его модуль обозначается той же нежирной буквой без стрелки: !г! в В. На рисунках векторная физическая величина изображается стрелкой, начало которой находится в точке, где оиа определена (например, в случае силы г - в тачке приложения силы), а длина которой в выбранном масштабе равна модулю вектора (егли условиться силу в 1Н изображать стрелкой длиной 1см., то сила величиной в ЗН изобразится стрелкой длиной Зсм.).

При любых операциях вектор можно переносить параллельно самому себе, т.к, при атом не изменяются ни его модуль, ни ориентация. П р о е к ц и е й А, вектора А на некоторое направление ") " (обозиачается нежирной буквой той же. что и вектор, с индексом, символизирующим направление) называется произведение модуля А вектора на косинус угла а межау направлением вектора А и зтим направлением: А и) А,>0 А 6) А,<0 А)=0 Рнс.

1И В А+В и) А (М.!5) А, = А соха Проекция вектора - скалярная величина, которая может быть положительной (а< к)2, аоза>О, рис. РП а), отрицательной (а> я)2, сова < О, рис. 1П б) и равной нулю (а = я)2, сова= О, рис. П! в). Для векторов определены следующие операции сложения и умножения на число: !). Сложение двух векторов определяется правилом параллелограмма (или треугольника), как показано иа рис. 1Ч а и рис, !Ч б. При сложении нескольких векторов А„...,А„ удобно расположить их цепочкой (начало последующего к концу предыдущего); пользуясь правилом треугольника при прибавлении каждого последующего вектора, заключаем, что суммарный вектор соединяет начало первого вектора с концом последнего (рис. 1Ч в).

2). Умножение вектора А на число а ( О дает вектор В = аА, модуль которого асО В=)з!А, а направление совпадает с направлением вектора А в случае а > О и про- ВмаА тивоположно ему в случае а < О (рис. Ч). Этн правила позволяют представить каждый вектор А в виде: Ч А, е) А, Аз Рлс. !Ч А —; '.:х Вх аАх Рнс л я р н ы х физических величин. которые характеризуются одним функцией каких-либо параметров, в физических теориях фигурируют А= А,!+А,!";Аьй .

Здесь з,уй - о р т ы, т.е, три взаимно ортогональных единичных Щ = Ц = !й~ = 1) вектора, направленные вдоль координатных осей От, Оу, Оя (рис. Ч!). Векторы А„А,,А, в формуле(М.10) являются ар гоген ал ьными составляющими вектора А вдолькоордннатных осей. Каждый из них представляет собой прсизведение орта на проекцию вектора на соответствующую ось: (М. 16) А,=А/, Аз=А/, А,=Ай (М.17) где А, = А сова„.

А„= Асоза„. А, = Асояа . Косинусы Рис. Ч1 углов а„,а„о,, образуемых вектором с направлением координатных осей, называют направляющими косинусами. у При умножении вектора на число его проекции умножаются на зто число, как показано на рис. Ч для проекции на координатную ось Ох: аА = (аА„)з+ (а4„) /+(аА )й (М.18) При сложении векторов их проекции складываются (рис. ЧП); Р .Чп А+В=(А,ьВ„)(т(А,,ьВ,)у+(А +В)й (М19) Проекции А„А„А полностью характеризуют вектор А, определяя, как видно из рис. Ч1, его модуль: А = А'+А'+А' (М.

20) и ориентацию: А, А„ А, сова, = *, сова,= " . сова, = ' . (М.21) А'+А'+А' ' А'+А'+А' * А*еАз ьлз А- символическое обозначение векторной физической величины; А„- составляющая вектора А вдоль оси Ох; А„- проекция вектора А на ось Ох; А и 1А - модуль вектора А, У векторных физических величин принято наименование (размерность) приписывать проекциям вектора, а орты считаются бюразмерными величинами. Еще раз обращаем внимание на обозначения, которых мы строго придерживаемся в тексте; !2 Векторы можно умножать друг на друга, причем в отличие от произведения скалярных величин здесь вводят два вида произведений: а) с кап яр н ы м произведением векторовА ив(обозначается(А, В) или .4.В) по определению является произведение модулей А и В векторов и косинуса угла и между ними: (А, В) = АВ соха .

(М.22) (А,В) = А,В= АВ„ (М. 23) Легко доказать также справедливость следующей формулы: (А В)=А В+А В +АВ,. (М. 24) б) векторны и произведением векторов АиВ(обозначается [А В] или А х В) называется вектор С, модуль которого равен произведению модулей перемиожаемых векторов и синуса угла а между ними; С=Авиа .25 (М ) а направление определяется правилом буравчика: если расположить острие буравчика перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы А и В, совместить его рукоятку с первым вектором и поворачивать ее ко второму век!ору по кратчайшему углу, то поступательное движение буравчика определит направление векторного произведения С=[А,В] (рис.

У!!1). Отметим два свойства векторного произведения: !). В отличие от произведения чисел векторное произведение некоммутатнвно: прн изменении порядка сомножителей оио меняет знак; Рнс, хг!!! [А,В] = -[В,А] (М.2б) В 2). Модуль векторного произведения равен площади В;па параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах: рз а А [А,В]~ = у„, (М .27) Действительно, высота параллелограмма уз = Вмп а (рис. И), так Рнс.!Х что [А,В](= АВ зт а= Ал 5 Скалярное и векторное произведения обладают основными свойствами обычного произведения, в частности: [А,(В+С)]=[А,В]+[А С) (дистрибутивность), [аА, В] = а[А.В], (М.

28) с( — [А(х), В(х)] = ~ —, В~ + ~ А,— ~ (о производной вектора см, ниже). Это скалярная величина, причем (А,В) > О, если а< к!2 (ссза>0), (А,В) «О, если а> л72 (еаза<0), н (А,В) =О, если векторы взаимно перпендикулярны (а= л72, сова=0). Так как Асоза=А, и Ввоза= В„, то скалярное пронзведение можно записать в виде: Производная векторной функции А(г)скалярногоаргументас (например, времени !) определяется аналогично производной скалярной функции: АА . ЛА — = йщ —, Аз з снг (М. 29) где бА - приращение вектора А, обусловленное приращением бз аргумента: бА= А(гз бг)-А(г) (рис. Х а). Согласно этому определению производная вектора сама является векторной величиной. Ее проекции на направления координатных осей Ох.

Оу, Ог получим, дифференцируя выражение вектора, записанное в форме (М.!б), с учетом постоянства ортов: ФА ~И„ . АА„ . АА — = — "!+ —" г+ — '-(с (М.ЗО) Аг Аг г(г Аг Таким образом, проекциями производной векб) тора являются производные его проекции: (АА/Аг) =АА„/з(г нт.п.. Малое приращение вектора А можно представить как сумму приращений ЬА!з и бА направленных, соответственно, вдоль вектора А и перпендикулярно ему(рис. Х б): бА = йА +бАы Первое вызывает изменение модуля, второе - изменение направления вектора. Если малые приращения ЬА, а, следовательно, и производная пА/Аг, все время перпендикулярны вектору А(г) (ЛАзз=о, ЛАжбА ), то модуль вектора остается постоянным, а изменяется только его ориентация.