Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 6

Таким образом, для нахождения всего класса инерцнальных СО достаточно найти одну из них; инерциальными будут те и только те СО, которые движутся относительно нее равномерно и прямолинейно, а все прочие будут неинерциальными. Эксперименты, и прежде всего астрономические наблюдения, показывают, что с высокой степенью точности инерциальной является г ел и о ц ел тр н ч е с к а я СО, у которой начало координат находится в центре Солнца, а оси направлены на "неподвижные" звюды. Любая СО, связанная с Землей (ге сцен тр ич с с к а я с началом координат в центре Земли. л а б о р а т о р н а я с началом координат вблизи поверхности Земли н др.), не являются строго инерциальными главным образом вследствие вращения Земли относительно собственной оси (некоторые эффекты, обусловленные неииерциальностью этих СО, обсуждаются в главе )71!, 6 33].

Залетим в 'заключение, что ньютоновская иешника не применима Ла» решения кссмслсгичссквх проблем, кегле речь влет аб аблесшх пространства, размеры «старых сравнимы с ршмерси иссеелованной чесал Вселенная. Согласно абшсв теории стноситеаьнасти Эввлгтевие пространство а «ссмсхсгичссквх масштабах нсзвхлилово (точнее - прссзранства-ереме не пссвдоэаклвлевс) и ввести прямоугольную декартову СО макло лишь приближение в малой по кссиелогическша масштабен области (пелсбиа тому, как на искривленнсп псверзнссти декартовы координаты можно ввести зшль в достаточно ивлев области, которую мелло приблишвшс счнппь плоской). й 7. Второй закон Ньютона как дифференциальное уравнение движении Согласно первому закону Ньютона материальная точка движется в инерциальной СО с постоянной скоростью, если она свободна, т.е.

на нее не действуют другие тела. Воздействие со стороны окружающих тел приводит к изменению скорости материальной точки, т.е. вызывает ускорение. В ньютоновской механике воздействия тел друг на друга удается охарактеризовать введением векторной физической величины, которая нюывается с и л о й. Измерять силу можно, например, при помощи пружинного дииамометра.

С этой целью тпчо, иа которое действует измеряемая сила Р, прикрепляют к пружине динамо метра, добиваясь, чтобы тело покоилось в инерцнальной СО. Тогда сила Г„натяжения пружины, 28 д ействующая на тело, равна по модулю и противоположна по направлению нзмеряелюй сале: Г = -Г„(рис. 10 а). Следовательно. сила Г направлена вдоль пружнны динамо- метра, а ее модуль опредтзяется показаниями шкалы дннамомегра.

Для построения шкалы дннамометра, т.е, его градунровки, необходимо иметь набор одина- Г -Г коаых дннамометров. Сначала, уравновешнвая а) поочередно каждым дннамомегром силу, принятую за единицу (Г = 1 ед. силы), наносят на шкалах метку "1". Затем црнкрепляют к телу с одной Гт0,5ед стороны один, а с другой два динамометра паб) О с! раллельно друг другу н добиваются равновесия ! О теЛа.

Когда левый динамометр показывает силу, раен>ю еднннце, каждый дннамомезр нз пары Г=) ед ! о измеряет силу, равную 0,5 единицы силы (рнс. 10 б). Когда же силу, равную единице, показывает каждый динамометр лз пары, левый дннамометр, Гт! ед в) очевидно, измерит силу в лве единицы и против его указателя ставятся метка "2" (рнс. !О в). Продолжая зту процедуру (прн необходимости Гт2ед заменяя пару динамометров на трн, четыре н тщ,), Г=) ед можно проградунровать дннамометры с любой ценой деления.

Рнс". 1О Анализируя результаты опытов н астрономических наблюдений, а также опнраясь на законы Кеплера н открытый Галилеем закон инерции, Ньютон пришел к заюпоченню, что ускорение, приобретаемое материальной точкой относнтельно инерцнальной СО, пропорционально действующей на нее результирующей силе: (7.1) Результирующая сила есть сумма всех снл У;, действующих на материальную точку со стороны окружающих тел: Г= ~„Р; Скалярная положительная фнзнческая величина та, = Г„, та, = Г,, та =Г,, (7.2) т, являющаяся козффициентом пропорциональности не кду силой н ускорением, нюывается м а с с о й материальной точки, а формула (7.!) является выражением в т ар о го з а к он а Ньютон а.

Как следует из (7.1), материальная точка с большей массой приобретает под действием данной снлм меньшее ускоренне, т.е. меньше меняет свою скорость, следовательно, масса характеризует инертные свойства, являясь тем самым мерой инерции материальной точки. Единица юмерення массы в СИ - 1 кг.

Масса наряду с длиной н временем является основной величиной в механике, и, соответственно. основными единицами в СИ служат ! метр, 1 секунда, ! килограмм. Единица измерения онлы в СИ называется н ь ю то н; согласно(7.1) ! Н = ! кг 1 м/1 сз. Второй закон Ньютона носит векторный характер, однако при решенин задач предпочитают иметь дело со скалярными величинами - проекциями векторов, и второй закон Ньютона записывают в проекции на те нлн иные направления, выбор которых диктуется характером задачи. Во многих задачах удобно использовать его в проекцнн на оси декартовой прямоугольной снстемы координат; 29 где а„а„а, и г„г„г, - соответственно, проекции ускорения и результирующей силы на осн Ох.

Оу. Ог (см. (М.18)). Уравнения, даваемые вторым законом Ньютона, позволяют решить целый ряд задач. Важнейшей является о с н о в н а я, илн п р я и а я задача динамики материальной точки, состоящая в том, чтобы в каждом конкретном случае уметь находить ее кннемаэнческнй закон движения (!.2). Для решения этой задачи помимо массы т точки должны быть известны формулы для всех действующих на нее сил (о силах, изучаемых в механике, и закономерностях, которым они подчиняются, см. Э 1О). Однако и прн наличии такой информации уравнения (7.2), записанные как алгебраические соотношения между силой и ускорением, дают возможность регпнть прямую задачу динамики по существу лишь для равнопеременного (а = соля!) движении, которое происходит под действием постоянной силы (г" = соля!).

В этом случае кннематическнй закон движения дается известными из школьного курса физики формулами: к(г) = х, 4 э ! ча„гэ/2 (н аналогичными для у(г) и з(г)), в которых проекции ускорения определяются из уравнений (72), а начальные координаты х, = х(0), у, =у(0), с, =з(0) н проекции скорости э„= э,(0), э„= с,(0), г„= г,(0) точки предполагаются заданными. Для решения прямой задачи в общем случае второй закон Ньютона, пользуясь определением ускорения (3.2), записывают в дифференциальной форме: л у м — =Г л!' (7.3) или в проекции на оси координат с учетом (3.4)! Ых м — =Р;, э(ээ ееу ю — =г Пг» и'"з т==Р,. лу (7.4) Эти уравнения называются ур ав не н ил ми движения материальной точки; они представляют собой систему грех дифференциальных уравнений ллл трех неизвестных функций времени х(г), у(г), з(г), В математике уравнение называется дифференциальным, если в него наряду с неизвестной функцией входя~ также ее производные.

Высший порядок производных, входящих в уравнение, называется п о р я д к о и дифференциального уравнения, и посколысу в формулы для сил ве входят производные координат выше первого порядка (см. далее 'формулы (! О.З), (10.10), (1ОЛ3), (!034), (!ОЛ б)), то каждое из трех уравнений в (7.4) - второго порядка. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что формула, представляющая общее решение дифференциального уравнения второго порядка, т.е, заключающая в себе все решения этого уравнения, содержкт две произвольные постоянные.

Соответственно, общее решение системы (7.4) содержит шесть произвольных постоянных С,, ..., С,: х(г, С„...,С ), у(г, Со...,С ), (г, С„...,С ). Это означает, что материальная точка данной массы под действием данных сил может двигаться по одной из бесчисленного множества траекторий, каждой нз которых соответствуют свои значения КОНСтаят Со...,С, .

ЧтОбЫ ОПрЕдЕЛИтЬ траЕКтсрИЮ ОдНОЗНаЧНО, НЕОбХОдИМО Запаха шесть дополнительных условий, которым должна удовлетворять траектория. В качестветаких условий обычно задаются н ач аль н ы е ус»о в и я, или начальные данные, т.е. значения координат и проекций скорости в начальный момент времени )=0: х(0)=к, у(О)=у,, я(О)=з,; »,(О)=»„, » (0)=»,, П(0)», . Потребовав, чтобы искоиая траектория удовлетворяла начальным условиям, имеем шесть уравнений: х(О,С„.,С,)=х,, ., »,(О,С„,С,)=» р, из которых находятся конкретные значения постоянных С,, ..., С,, выраженные через начальные данные. Таким образом задание начальных условий выделяет иэ множества траекторий, удовлетворяющих данным уравнениям движения, единственную, которая удовлетворяет этим условиям.

(Для закрепления материала рекомендуем сразу жс обратиться к у 36, где описанная процедура применяется для нахождения кинематического закона движения в случае свободных гармонических колебаний.) К еааащнию найти точное решение уравнений движения удается лишь в редких игучаях, ногд» формула для силы имеет достаточно простой вид. Поэтому прямая залача динамики обычно решаетс» приближенными назонами. Ощлнем простейшую процедуру приближенного расчета траектории материальной точки, предложенную щмим Ньютоном.

Двию:иие разбив»ется по времени иа этапм (шаги) валов длительности б) каждый, и тржжтория »сюзан»вливается поэтапно. Пусть в начальный мо. мент времени ) = 0 раацус-вектор точки и ее скорость равны, соответепннна: г(0) = г н»(07 = »р . Малое пеРемещение бг точки на пеРвом этапе согласно (2.2 ) пРиближенно Равно Лг = »з 2)), так что в колце первого этап» ее р»днуе щктор з; = ар +»з б! (ем. рис. П), Скаросп точки на первом этапе пажчит лриразпение, которое согласно !3 2) приближенна равно Л» = аз бх, н от»негр»аной в конце первого этап»», = »„+изб! . Ускорение лена первом этапе мащю считать лостоялным и определить его щ второго закона Ньютон»: а = г (гэ,зэ)(лз, используя значение силы в начале этапа Г(ге же ) (в Улучшенных методах Ус. корвине на этапе вычисляется цри помощи более утонченной аропедуры).