Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 5

по скорости «(р) (рис. 5 а) (это видно из рис. 4, если вторую точку неограниченно приближать к первой). Последняя формула слраведы(Г) пива н при замедленном двиы(г) л(г+кк) к(')+к)г у+)Г) женин точки, однако в этом случае вектор а, направлен против скорости (рис. 5 б), в / чем легко убедиться построением, аналогичным рис. 4. при л н ы(г+Лр)<ы(р).

В обоих случаях л и тангенциальное ускорение в замсдлеллсо движение проекции на направление скоб) рости выражается формулой: ло утлуеллок длиркеник и) Рис,5 сар а,=— (4.5) сог о р м аль нос ускорениеточки; Второе слагаемое в (4.2) есть, по определению, н бы„ а„йш — ", При выводе формулы для нормального ускорения мы вправе заменить и о аз малый участок траектории малой дугой так называемого к р у г а к р и в и з н ы, т.е. такой окружности, которая наилучшим образом аппроксимирует (приближенно заменяет) траекторию в окрестности рассматриваемой точки (рис.

6). Радиус круга кривизны л называетш р ад и у со м кр н в из вы траектории, а обратная величина 2 а„= йш — "= — Вш — =— Пг )( о кьг )) ор ор Рис.а ы йм (4.4) а=)рйо, - к р н в и з н о й траектории. На рис 6 представлены круги кривизны лля двух точек некоторой траектории: чем больше угол, на который поворачивается касательный к кривой вектор 1 прн малом смещении пз вдоль кривой в окрестности рассматриваемой точки, тем больше кривизна и, соответственно, меньше радиус кривизны кривой в этой точке.

К)рл Из подобия равнобедренных треугольников на рис. 6 (углы при вершине равны как углы с взаимно перпендикулярными сторо- К к)г нами) имеем: Ьы„/»= Пб))оо, откуда находим кр ° ор 1 Ь~ „= бр ы/Я,„. Разделив на Пг и переходя к пределу при о)з-эО, получаем формулу для модуля нормального ускорения 23 Она совпадает с формулой центростремительного ускорения точки, движущейся по ок- 2! ружности (а„= е ~'71), в которой вместо радиуса окружности стоит радиус кривизны кривой в рассматриваемой точке.

Направлено а„, как следует из определения, туда же, куда и вектор Дз„в пределе при дг-+ О, т.е перпендикулярно скорости з(г) (нормально траектории), причем в сторону вогнутости (рис. 5 а и б) (в этом легко убедиться, мысленно устремляя на рис. б вторую точку к первой). Модуль полного ускорения определится из рис. 5 по теореме Пифагора: (4.5) Тангенциальное ускорение согласно формуле (4.3) обусловлено изменением модуля скорости: при неравномерном движении (ос/с(1 мО) оио отлично от муля.

При равномерном движении (г = созид сЬ(сй = О) тангенциальное ускорение равно нулю и точка может иметь только нормальное ускорение: а = я„. Нормальное ускорение согласно (4.4) обусловлена изменением направления скорости: оно возникает при любом криволинейном движении ()с = 1/Лм и 0). Только при движении по прямолинейной траектории (Ям -+се) оно равно нулю и точка может иметь лишь тангенциапьиое ускорение: а = а, .

Полное ускорение равно нулю лишь при равномерном (а, = 0) и прямолинейном (а„= 0) движении. В 5. Кинематика движения точки по окружноспз о„, = з'1'7(. (5.1) При описании движения точки по окружности наряду с линейными скоростью з и ускорением а удобно использовать угловые скорость м и ускорение )3 . У г л о в о й скорость ю точки называют вектор м, модуль которого ю~= йш —, Д(с '-и Дг (5.2) где ДП - малый угол, описываемый радиусом-вектором )1 точки за малый промежуток времени ДГ (рис. 7 а). Следовательно, величина угловой скорости характеризует быстроту изменения угла р со временем. Упрощенно говоря, она численно равна углу, описываемому радиусом-вектором точки за единицу времени, подобно тому, как абсолютная величина линейной скорости численно равна пути, проходимому точкой за секунду.

Единицей угловой скорости в СИ является радиан/с. Направление угловой скорости определяется правилом буравчика: если расположить острие буравчика вдоль оси вращения, а его рукоятку вращать вместе с радиусом- вектором й точки, то поступательное движение буравчика определит направление Частным случаем криволинейного движения точки является движение по окружности. Рщзиус кривизны окружности равен ее радиусу Я, а нормаль направлена к пентру окружности, поэтому в этом случае нормальное ускорение называют ц е н т р о с т р е' м и тель н ы м: 24 вектора ю (рис.

7 б). Если окружность с центром в начале координат О лежит в координатной плоскости хбу правой декартовой СО и угол р, характеризующий положение радиуса-вектора точки, отсчитывается от оси Ох в направлении, согласованном с направлением оси Ог правилом буравчика (рис. 7 в и 7 г), то угловая скорость, как легко убедиться, направлена вдоль оси Оз в ее проекция ю, иа эту ось равна производной угла Зз повремени: (5.3) с) е) Рис.

7 Действительно, при движении точки в направлении отсчета угла е последний растет и гс = И(е/бг > О, т.е. вектор ю направлен по оси Оя в согласии с рис. 7 в, а ирн движении в противоположном направлении угол (с уменьшается и ю, = с(р/сй <О, т.е. угловая скорость направлена против оси Ох в согласии с рис. 7 г. У г л о е ы м у с к о р е и и е и )7 называется производная угловой скорости по времени: (5.4) с(ю Согласно (5,3) угловое ускорение также направлено вдоль оси вращения Ох: /)= — = бе ю(ггпу) Ию ~ д юП) ф, на эту ось эП) — Л вЂ” —,Л н его проекция пу А-' Ф с)ю нюх пан бг бг' (5.5) ю(з+й) Прн движении точки с возрастающей скоростью величина угловой скорости также растет, так что направления угловой скорости сз и ее приращения бю совпадают (рис.

8 а) и, как следствие (5.4), векторы и и )) сонаправлены. При замедленном вращении (рис, 8 б) векторы б) Рис. 8 )2 (7 чт)г) И й5 )( ф з5 и и )) имеют противоположные направления. Единицей углового ускОрения в Г(! является рад(с .' В заключение выпищем формулы, связывающие лзодули линейных н утловых скоростей и ускорений. Они вытекают из соотношения ЬЯ = Яйи между длиной луги Ь5.

углом Ьр и радиусом Я окружности (модулем радиуса-вектора Я точки) (рис. 7 а). Разделив обе части равенства на Лг и переходя к пределу прн ог-+ О, получим саотнонзение между модулями линейной и угловой скоростей, 'с=да, а продифференцировав еще раз по времени, найдем связь между ускорениями: а = Я,у (подчеркнем, что слева стоит не полное, а тангенциальное ускорение а =сМг(г). Выразим также цеитростре- мительное ускорение через угловую скорость; а„=з',7Я= гс')х; в векторной форме а„, = -ю'М, поскольку оно направлено против радиуса-вектора )с точки.

Итак »=йм. а,=)7)7, а„, =-юзд. (5.6) 26 ГЛАВА !1 ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ Переходим к изучению законов, управляющих движением материальной точки. В основе ньютоновской механики лежат три фундаментальных закона, носящих имя ее создателя. В общем курсе физики дается более глубокая их трактовка, чем а школьном учебниках. 6 6. Первый закон Ньютона. Преобразования )алилея Первый закон Ньютона утверждает, что счщссстатют О они называются и н е движется авионе но н п ямолинейно по инерции).

Свободной материальную точку называют в тех случаях, когда на нее не действуют другие тела (пример: комета, летящая вдали от прочих космических тел). Чтобы ответить на вопрос, как найти все инерциальные СО, выясним, как радиус- вектор г, скорость г и ускорение а материальной точки в СО К выражаются соответственно черю ее рлциус-вектор г( скорость г' н ускорение а' в СО К', движущейся относительно К поступательно, равномерно и прямолинейно (рис. 9; оси Оя и Оз' перпендикулярны у( плоскости чертежа).

Для простоты, но без ущерба для сути дела, можно считать, что в начальный К К' момент времени !=о обе СО совпадали друг с другом и скорость Р, СО К' относительно К г' направлена по оси Ох. 0 Как видно из рнс. 9, радиус-вектор точки в СО з я 0 К г= х(+уу+сй равен сумме ее радиуса вектора г 0 х' — 1,',! ' " в СО К' г'= х !' )гД .з'й' (!'=1, У=!.

й'=й) и радиуса-вектора г„начала координат 0' СО К' а СО К. который в нашем конкретном случае апреРнс. 9 делается формулой г„= )'д г': х'+)г„г г=г'+г,, или у=у' (6.1) так как прн сложении векторов суммируются их декартовы проекции на соответственные оси (см. (М.19)). Эти формулы, связывающие координата! точки в двух СО, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, называются п р е о бр аз ов а н ия м и Галилея. Дифференцируя (6.1) по времени и учитывая, что г', =сошг, находим соотношение иежду скоростями г и г'. (6.2) г= 'ьр,, или т, =г,'. Дифференцируя (6.2) по времени, имеем; 27 а, =а,', л = а', или а„ =а',, и. =а'.

(6.3) Формулы (6.2) н (6.3) показывают, как преобразуются скорость и ускорение точки, если при описании ее движения перейти от одной СО к другой, движущейся относитшгьно первой равномерно н прямолинейно. Движение точки относительно СО К можно трактовать как ршультат "сложения" двух ее движений: движения вместе с СО К', з..е движения с постоянной скоростью У', (переносное движение), и движения относительно СО К'. При этом скорости согласно (6.2) действительно складываются, а ускорение точки согласно (6.3) одинаково в обеих СО - оно и н в а р и а н т н о относительно преобразований Галилея. Инвариантно также и время, которое в ньютоновской механике считается абсолютным: показания двух одинаковых часов, сиихронизоваииых е одной точке пространства, всегда будут совпадать друг с другом нюависимо от характера движения часов (формально это можно отразить, добавив к формулам (6.!) соотношение г = 7').

Пусть СО К - инерциальная, тах что в ией ускорение свободной материальной точки равно нулю: а,„= о. Если другая СО К' движется относительно К равномерно н прямолинейно, то согласно (6.3) в ней также л,'„= О, т.е, она тоже инерциальная. Если жс К' движется относительно К с ускорением, то равенство (6.3) не выполняется и следовательно ускорение свободной материальной точки в К' отлично от нузш - такая СО называется н е и н е р ц и а л ь н о й.