Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 4

Но основная причина, обуславливающая исключительную роль механики материальной точки, состоит в том, что любое макроскопическос тело и любая среда могут рассматриваться как совокупность своих малых взаимодействующих элементов, т.е. как частный случай системы материальных точек. !7 Зтим продиктовано такое построение курса механики: от механики материальной точки (главы ! и П) к механике системы материальных точек (глава П!) и далее к механике твердого тела (глава 1У) и сред (главы У и У1). Специальные главы посвящены законам механики в неинерциальных системах отсчета (глава УП) и изучению механических колебаний (глава УПП) и упругих волн (глава 1Х). 2-4467 1 ЛАВА! КИНЕМАТИКА ТОЧКИ б 1.

Система отсчета, Траекторвя. Путь. Перемешенпе Прежде чем рассматривать законы, которым полчиняется лвижеиие материальной точки (д и н а м и к а), необходимо научиться описывать ее движение, введя соответствующие понятия и физические величины (к и н е м а т и к а). При описании конкретного движения точки необходимо четко условиться. относительно какой с и с т си ы о т с ч е т а (СО) оно рассматривается. Пол системой отсчета в ньютоновской меканике понимается тело о т с ч е та -твердое тело, мысленно распространенное на все пространство, точки которого пронумерованы, т.е. на котором введена та или иная с н с те и а ко о р д и и а т. Простейшей системой координат является д е к арто в а и ря м о угол ь н а я система координат: на теле отсчета выбирается точка 0- начало координат и в трех взаимно перпендикулярных направлениях проводятся координатные оси Ох.Оу.Ох (рис 1).

Положение материальной точки описывается р а д и у с о м - в е к т о р о м г, проведенным в иее из начала координат. Как и всякий вектор, радиус- вектОр точки можно записать в виде г = ха Ьуу+зй (см. формулу (М.16)). Здесь 1,ЛД- орты, т.е, тройка единичных (11( = (у~ = (й( =!) взаимна перпендикулярных векторов. направленных вдоль координатных осей Ох,Оу.Ох. а проекции радиуса-вектора: хмг, =гааза., у вг, = гсоаа,, =мг, =гсоза, (а„а„а, - углы, которые он составляет с направРис. 1 лением координатных осей), являются декартовыми коорлинатами точки. Линия, по которой движется материальная точка, т.е. которую описывает конец ее радиуса-вектора, называется т р а е к т о р и е й.

Как и всякую кривую, траекторию можно математически описать, задав два соотношения между координатами х,у,с. Плоская траектория, которая при надлежащем выборе системы координат лежит в плоскости хОу, определяется одной формулой, например зависимостью уф Р(х). Такое задание траектории определяет лишь ее форму. но ничего не говорит о том, как движется точка по данной траектории. Можно задать траекторию иначе. при помощи формул, выра'кающих зависимость координат точки от времени: х= х(г), у б и(1), = =с(г) . (1. 2) Эти формулы называют кинем а тически м з а к оно м дв имен на, а с математической точки зрения они представляют собой уравнение траектории в параметрической форме, где роль параметра играет время.

Кинематический закон движения не только определяет форму траектории (уравнения траектории в виде связей между координатами получаются из (1.2) исключением времени: достаточно выразить вре- 19 -+ г = г(«), и подставить в два других), ходится в тот или иной момент времени показано ниже, дифференцированием и ускорения точки (см. формулы (2.4) и движения точки дает исчерпывающую мя из одного уравнения, например из ««(Г) на и показывает, в какой точке траектории на движущаяся материальная точка.

Как будет формул (!.2) можно найти проекции скорости (3.4)). Таким образом, кинечатический закон информацию о ее движении. Длина 5я участка траектории между точками ! и 2, в которых движущаяся точка находится соответственно в моменты времени ц и Гз йазывается пройденным п у т е и, а вектор г,, поведенный нз начальной е конечную ~очку, называется п е р е м е щ е н ив м (Рис. 2). Таким обРазом го =г(з,)-г(1,), т.е, перемещение равно приращению радиуса- вектора точки. При криволинейном движении путь больше модуля перемещения; 5ч>га.

Однако длина достаточно малого участка кривой приближенно равна длине стягивающей этот участок хорды, поэтому для маяого участка траектории Лб ч Ьг. б 2. Скорость Зададимся целью ввести физическую величину, которая характеризовала бы быстроту движения точки. Если путь 5л движущаяся точка проходит за время зн =г,-г,, ЬЯ сб г(Г) = Бш — =— в сйс лу (2 !) О Рис. 3 Определение скорости будет более информативным, если в формуле (2.!) вместо малых путей дЯ взять малые приращения радиуса-вектора Ьг = г(!+ бг) — г(1) (рис. 3): то, разделив путь на время, найдем величину с р е д н е й с к о р о с тн К на Участке 1-2 тРаектоРии: г.„м Яи /Гя. Она хаРактеРизУет лишь темп двнжеина в сРеДнем на пути Яи, не давая представления о быстроте движения точки на промежуточных участках этого пути.

Полную информацию о быстроте движения точки по траектории получим, разбивая путь на малые участки брю проходимые за отрезки времени Лг,, затем вычисляя величину средней скорости Лунд!, на каждом из них и перехода к пределу при Ы, -+О. 11усть к моменту времени г точка прошла путь Я(г), отсчитываелзый от некоторой точки траектории, а за последующий малый промежуток времени Лг - малый путь оо" = 3(1+бг)-3(1) (рис. 3), так что Ьо)з)1 - величина средней скорости точки на этом малом пути. уменьшая величину Пг, получим последовательность средних скоростей точки на все более малых участках траектории в окрестности рассматриваемой точки. Переходя к пределу при ог->О, по- с(р лучаем величину мгновенной скорости точки (илн скорости в гз данной точке траектории, или скорости в данный момент времени), которая тем самым является производной пути по времени: ) 20 О» й» »= Бш — = —. ь ой» с»» (2.2) Формула (2.2) определяет скорость как вектор, являющийся производной радиуса-вектора точки по времени (см.

М.ЗО). Модуль вектора скорости определяется формулой (2.1): »1=1с»/чз,'='уз»уса=451»У и, следовательно, характеризует быстроту движения точки. Направление вектора скорости укюыеает, куда в данный момент»виже»се точка. Действительно, согласно (2.2) вектор» направлен туда же, куда направлен вектор Ь» е пределе при О» -+ О, т.е. по касательной к траектории. Дифференцируя формулу (1,1) и учитывая постоянство ортов 1,3)/с (см. '(М.З1)), находим: с» Й, пу»6 » = — = — »'ч — )+ — й. 41 »О »О Й (2.3) Множители перед ортами в выражении для вектора предстазлщот собой его декартовы проекции, так что с(х»(у ~й — »„= —, з,= —. дз' " 4»* * »й (2.4) Декартовы проекции вектора однозначно определяют его модуль н ориентацию (см. (М.20) и (М.21)): Гз з» »= (», ьт„ь», еаза,= — ", сова, = — ", соза, = — ' » » (2.5) где а„,а„а, - углы между направлением вектора » и направлениями координатных осей.

Таким образом, зная кинематический закон движения (1.2), можно па формулам (2.3) - (2.5) рассчитать скорость точки. Единицей скорости в СИ, как следует из (2.1), Аяляется 1м/с, ОЗ.У о Введем физическую величину, которая характеризует быстроту изменения скорости к пусть»(») и»(1) -значения рхдиуса-вектора и скоросги точки в момент времени 1, а »(г+ Л») и»(»+ О») - их значения по прошествии Л» секунд (рис. 4).

Отношение приращения скорости Ь»= »(»+О») — »(») к ум характеризует среднюю быстроту изменения скорости н определяет среднее ускорение а =О»/О» иа рассматриваемом промежутке времени О». Переходя к пределу при ОЗ-»0, получим по определению мгновенное ускорение (или ускорение в данной точке траектории, или ускорение в данный момент времени): Ь» с(» а= Вш — = —, (3.1) О в абг с(» которое нззывают просто у с к о р е н и е м Рис. 4 точки. Таким образом, ускорение точки есть производная скорости по времени илн с учетом (2.2) - вторая производная раднусавектора точки по времени; Выражая скоросп* черю орты «=«,1+«,у+»,й и дифференцируя по времени, находим с учетом (2.4): о(» по» оу«со«о)ох о)оу с»ох о+ .1+ й ооо оу+ ой еу о)! о(Г со! о р Ж' о)г' (3.3) откуда озо«соох о)»» о»о~у оу«о)~в (3.4) )го Модуль и направляющие косинусы ускорения выражаются черен декартовы проекции ускорения стандартными формулами (М.20) и (М.21); а = а„+а, -»а,, сова, - "— *, сова, = — ", сова, = — '.

л, а„ а, (3.5) Формулы (3.2) - (3.5) позволяют рассчитать ускорение по заданному кииематнческому закону движения (! .2). Единицей ускорения в СИ, как видно, например, из (3.4), являет- ся 1м/сз. $4. Разложение ускорения на нормальное и таигенциальное (4.1) а=а,+а„, причем тангеициальнае ускорение обусловлено только изменением модуля скорости, а нормальное - только изменением направления скорости, Пусть «(г) и «(г+дг) - скорости точки в моменты времени г и г«Д», причем для конкретности рассмотрим случай ускоренного движения, когда «(г«Дг) > «(!) (Рис. 4). Отложим на векторе «(! »Дг) отрезок, равный )«(г)(, и представим приращение скорости Д» = «(!+ Дг) — «(1) в виде суммы двух векторов Д«, и Д«„, как это изображено на рис.

4; д« = Д«, + Д«„. Разделив обе части равенства на Дг и переходя к пределу при Дг -+ 0 получим: Д« . Д»„ а= йш — с+ йш —" о »ДГ о »ДГ (4.2) Первое слагаемое в правой части равенства есть, по определению, т а н г е н ц и Д« !!Д»,!! аль нос ускорение: а, = йш — о. Его модуль ~а,)= йю' — '-', но !Д»„! па построению о оДГ о о Д! При движении точки ее скорость в общем случае изменяется как по модулю, так и по направлению, н оба зги фактора дают вклад в ускорение. Покажем, что ускорение точки можно представить как сумму двух ускорений - тангенциального, т.е. касательного к траектории, а, и нормального, т.е. перпендикунярного траектории, а„: оы равен приращению модуля о скорости: ~Ьы,)= Пы, поэтому ~а,,'= Ыш — = — Нар(г правлен вектор а, туда же, куда вектор аы, в пределе при пр -+ О, т.е.