Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 10

! ) В дальнейшем будет предполагаться, что точка О, относительно которой определяется момент силы, является началом декартовой системы координат. Согласно определению векторного произведения (см. с. !2), направление момента силы перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы г и Р, и определяется правилом буравчика, а его модуль равен Могдипц, (14,2) где а - угол между векторами г и Р (рис. 25 а).

Получим еще два равноправных выражения для модуля момента силы, расположив. векторы г и р в плоскости чертежа, так что момент силы М направлен перпендикулярно плоскости чертежа на читатели и изобразится точкой (рис. 25 б). Замечав, что п и е ч о а/ силы р, т,е. кратчайшее расстояние между точкой 0 и линией нгтр. г М - нц чита/леля б) Рис. 25 44 действия силы, равно 4 гзаа, имеем Ы=Рс(, т.е. модуль момента силы равен произведению модуля силы на ее плечо.

С другой стороны, Рпла», есть модуль составляющей Р, силы г, перпендикулярной г и М (активной составляющей), так что ьу = »; », т.е. модуль момента силы равен произведению модуля ее активной составляющей )г, иа расстояние от точки 0 до точки приложения силы. Итак, г'»зю а, М = Р'»1, »,г. (14.3) Единица момента силы в СИ носит нювание "джоуль": ! Дж=) Н 1 м. Аналогично определяется момент импульса 1 материальной точки относительно точки (полюса) 0: 1 = '(г, р), (14.4) где р - импульс материальной точки, г — ее ркциус-вектор атносительноточки 0(рис. 2б). Моментом им пуль с а Е системы материальных точек относительн о т о ч к и называется сумма моментов импульса всех точек системы: Рнс. 24 (14.5) (14.б) Записав закон (!4.б) для всех»/ материальных точек системы и просуммировав правые н левые части уравнений, получим: — М, сй, Ф вЂ” = ля 'йн так что момент импульса по определению величина ацлитивная.

Найдем закон, которому подчиняется момент импульса, сначала - для одной материальной точки. Дифференцируя формулу (!4.4) по времени и учитывая, что дяя векторного произведения справедливо то же правило дифференцирования, как н для обычного произведения (см. (М.28)), имеем: Ы1/с!г ='(ог/й, р~+(г, ф/41~. Первое слагаемое в правой части равно нулю, так как равен нулю угол а между перемножаемымн векторами Ыг/оу = г и р = юг . Во втором слагаемом, воспользовавшись вторым законом Ньютона в форме (! 3.5), заменим производную импульса на рюультнрующую силу, действующую на материальную точку: ф/сй = г", тогда сй/ш' = '(г, г)' .

Стоящее справа выражение представляет собой момент М результирующей силы г" и закон изменения момента импульса материальной точки принимает вид: 45 стоит производная момента импульса системы; 'з сй,)пу = Ы® /йг = Ж~еу . В сумме моментов всех сил в правой части (14.7] выделим сумму моментов внутренник снл ~ М„, где Ма - момент силыге, действующей на 1-ю точку со стороны )с-й, и сумму ,з ! моментов внешних сил ~М; " — = ХМа- ХМ™ ль (14.8) Докажем, что вследствие третьего закона Ньютона сумма моментов внутренних сил равна нулю. Действительно, моменты М„и Мй сил взаимодействия га и (м равны по модулю, так как зти силы равны по модулю уа = Уь и имеют общее плечо з( (рис.

27): Ма = 1, и'=,Г Ы= М„, и имеют противоположные направления, в чем легко убедиться, используя правило буравчика (на рис. 27 радиусы-векторы г, и г„тачек и силы Га ига, лежат в плоскости чертежа; моменты Ма и Мн сил направлены, соответственно, за чертеж и на читателя и изображены крестом и точкой). Таким образом, М, = -Мв для каждой пары сил взаимодействия н моменты внутренних снл при сложении попарно взаимно уничтожаются. Итак, и!1 Омн- .« о Мй ° зи харменс Рис. 27 (14.9) -п о во ая по в смени момента импч ьса системы ма и ь ых ~очек а на же точки ейств ю их на с м моментов внешн х си относит о систему, Этотзаконназывают законом изменения момента импульса.

Из формулы (14.9) следует, что если ',Г М,' '" = О, то Ж/Ф = О и, следовательно, Е= сошы ~М; =О -+ А =сошс (14.10) закона сохранения момента импульса. Момент импульса и момент силы можно представить в виде суммы их составляющих вдаль координатных осей. Е = (., + Х., ч-уз, М = М„+ М, ч М, (14.11) (см. рис28 лля момента силы). Ортогональные составляющие М„Мз,М, называются м о и е н т а и и с и л ы . а У.„(з, Ь„-м о м е н т а и н и м и у л ь с а о т н о с и т с л ь н о Сумма производных равна производной суммы, так что в левой части формулы (14.7) 46 со о та етс та ую щ и х осей Ох. Оу, Ог.

Чтобы получить формулу для момента М, силы относительно оси Ог, риложим векторы г и г на две составляющие - парал- лельную и перпендикулярную оси Ох: г = г, +г, Р= Р+Р как показано на рис. 29 (составляющая г„параллельно перенесена так, что оказывается проведенной от оси Ох, перпендикулярно ей, в точку приложения силы: этот вектор г, выделенный жирной линией, естественно назвать радиусом-вектором относительно оси Ог). Тогда М =[г, Р~=[(г ьг ) (г;+ Г )) =[г, Е~+[г, Г)+[г, Р )+[г, Р ~ В этой сумме лишь последний вектор [г„РД направлен вдоль оси Ох (второй и третий лежат в плоскости кбу, а первый равен нулю). Следовательно, он и является перпендикулярной составляющей М, момента силы М в рюложении (14.11): Рис. 28 М, = [гз, )г ) .

(14.12) Таким образом момент силы М, относительно оси Ог определяется формулой того же вида, что и момент относительно начало координат(14.1), в которой однако вместо радиуса-вектора г и силы Г' стоят их ортогональные составляющие г и р лежащие в плоскосзи, нертнднкулярногб оси Оз. Для модуля момента М, очевидно справедливы формулы (14.3), в которых зеперь и - угол между векторами г, и гы в г и р следует заменить на г, и г, . днаиьн~)льса материальной точки относительно Рнс.

29 логичной формулой выражается момент оси Ол 1, =[с,)э ] (14.13) (см. рис.29, подразумевая под векторам г" вектор р), а полный момент импульса системы материальных точек относительно оси Ох определяется суммой б ='Г)оа (14. 14) Подставляя разложения (14.11) в закон излзенения момента импульса (14.9), позу ~им: (14.15) и два аналогичных уравнения для моментов импульса б и б относительно осей Ох и О). Уравнение (1415) представляет собой з акоп из не н е н и я м о мента и мпульса относительно оси Ог. Если сумма моментов внешних сил относительно оси Ог равна нулю, то согласно (14.15) г)тз(пу = 0 и, следовательно.

(э = сот!: 47 ;Г М;„," = О -+ Зз = сощг (14.16) держание закона сохранения момента импульса относительно о с н. Типичный пример сохранения момента импульса дает шг система материальных точек, находящаяся в центральном "з поле снл, когда все внеюние силы направлены радиально к 1 Р одной точке О (центру) или от пес (рнс. ЗО). При этом р г момент каждой внешней силы р, относительно центра равен нулю (поскольку угол а, между радиусом-вектороьз г, и силой Р, равен нулю или 180', так что в формуле (14.2) вша= О ) и, следовательно, момент импульса системы относительно центра сохраняется.

кз щз Рис. 30 бак»жем, что прямым следствием закан» сохранения момент» импульса является нзвсствмй закан площ»дей Кеплер», сага»спо которому р»дауа.вектор планеты, провеленнын нз центр» Со»нц», покрыюег з» пенис промежутки времени равные площади (ом. Рис 3 К н» котором мм танис площ»лн з»штрихованы). За малый промежуток времени Ы планета соверш»ст палое щрсмещсние Ьг =»Ьг и площаль Ь5, опис»нпщ радиусов-вектором г равна площ»ди заштрихованного треугольимка, т.е.

половине площ»»п пар»ллелограми», построенного и» вектор»х г и Ьг (изображен на рис.з ~ зтушсгпрпой линией). К»к покещнс в математическом введен»и (см. М.27), площадь п»р»ллелограмм», построен. нога н» лвух вектор»л, равна модулю их в«кторнсго произ»слепня.

Таким образом, имеем: Ь5 = (г, Ьг]1772 = 1(г, »ЬГ]172 . чтобы под знаком моду»я отаял момент импульс» па»неть~ относи. тольао центр» Сеяны~ 1 = (г, тг], умнолнм и разделим вектор» ЬГ (г) н» массу па»нсзы щ и вынесем иножвзещ Ьг(т за знак векторного вроизведспня (см. Мдб). Ь5 = 1~~», гпг]1ЬГ (2т = ]11Ьг/2т . Момент импульса пв»неп» относительно центра Солнца сохр»няещя (! = союз), так как сила тяготения, действующая иа планету со стороны Солнц», цеюральп»я (воздебсгвне других пл»нет пренебрежимо м»яо). Следовательно, ллопоздь, пакриваеввя радиусом.вектором планеты в »данилу времени ЬЗ/ЬГ, являс~тя постоянной величавой: ЬБ(Ьг = от = сопзг . Рнс. 31 б 15. Закон изменения н сохранения механической энергии Работа.

Пусть на материальную точку (она может в частности представлять собой малый элемент тела) действует сила Г. Разобьем траекторию точки на участки столь малой длины. чтобы их можно было приближенно считать прямопннейнымн, а силу в пределах участка-постоянной (рис. 32). Работой ЬА сил ы Р н а м ало м п е р с и ею е н и и Ь1 называется скалярное произведение силы на перемещение: ЬА =(Р,Ь() . (15.1) По определению (см.

М.22) скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов н косинуса угла между ними, так что ЬА=РЬ(ооза . где а- угол между направлениями силы и перемещения. С учетом (М.23) выражение для малой работы можно записать в виде ЬА = к Ь( или ЬА = ГЬ(» где г; = Гсоза есть 48 Р Ы сова, Р; О1, Р' Ы„, Р; Л» + Г, Лу + Р; Дх. (15.2) Рнс. 32 Наиболее часто будет использоваться второе выражение, которое подчеркивает, что для работы важна составляющая силы в направлении перемещения. Если угол а между направлениями силы и перемещения острый, как на рис. 32, то сова> О и ЛА > О - сила совершает положительную работу; в случае тупого угла сова<0 и работа отрицательная: ЬА <О; работа равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению.