Д.В. Белов - Механика (DJVU), страница 9

Так, из (12.1) следует, что для системы, состоящей из двух материальных точек, е,1, +е,1, О, откуда в33, = -е,гз и 1,))з =е,,'е,, т.е. центр масс лежит иа прямой, соединяющей /, ь -. ° Е-.В) Е . С.с * . с положение центра масс ие изменится, если две материальные э очки системы с массами е, и е заменить одной, обладающей Рнс.23 суммарной массой е,+е, и расположенной в центре масс Се этих двух точек. Действительно: =Х д/Х -~( й+ ") Х д г.

- — "-л( )+Х д~ Л.,= 1 / (е,г,+е,гэ Э (е, ье,)г +~ег1/,'г е, . „.'Л мэ 3/ "„э лрб '(гс э'с с (12.3) ~,е,а, "с "с с с Лгз ~г э~ (12.4) Из (12.4) находим: е аег /агз ~Гв3а,, где е= ~в( - полная масса системы. Сумму 2,е,а,, стоящую в правой части равенства, выразим через силы, записав ураане- иия второго закона Ньютона в форме (11.1) для каждой точки системы и суммируя их: Центр масс обладает замечательным свойством: его уравнение движения имеет вкд второго закона Ньютона. Для доказательства этого утверждения получим сиачвла формулы для скорости г и ускорения ас центра масс, дифференцируя по времени выражение (! 2.э) для г 40 «ЬиГ Хз+./н+"' Ьрз жзаз уг~+Зп'- +р» злз+звз+"'~ и ",Гж,а, =;Г уе е~р, Сумма внутренних сил равна нулю: ~/„=О, так как по третьему закону Ньютона с з,р г( 'с с(г' (12.5) Это уравнение движения центра масс, действительно имеющее вид второго закона Ньютона, называют законом (теоремой) о движении центра масс: ен масс с с е ы ма иальных точек и ется ак мате ь точка в кото ой со е оточена ася масса системы ш=',Гт, и к кото ой и ожены все внешние силы Для описания движения центра масс, поскольку оно подчиняется уравнению движения, аналогичному второму закону Ньютона, в полной мере применимо все изложенное ранее о динамике материальной точки; в частности, так же ставятся и решаются прямая и обратная задачи динамики и т.п.

Если система замкнута ~~Р = О~, то \ ас = О, т.е, центр масс движется равномерно и прямолинейно или, если его начальная скорость равнялась нулю, покоится. О 13. Закон изменения и сохранения импульса И и пуп ьс о м м атер и аль ной точки называется векторная физическая величина. равная произведению массы т точки на ее скорость и (13.!) р = счт. Импульсом системы материальных точек нюываютсуммуимпульсов всех точек системы: р=,Гмд, . (13.2) Таким образом, импульс по определению величина а дд и т и в н а я. (Аддитивиой на- зывают физическую величину, значение которой для всей системы складывается из ее значений для отдельных частей системы). и при суммировании внутренние силы попарно взаимно уничтожаются, и таким образом 41 Рюделим и умножим правую часть в формуле (13.2) на массу системы лз=~лз Р= 2вз ~зцг,/~т,~ .

Выражение в скобках определяет согласно (123) скорость ! нентра масс. так что Р=юг - импульс системы материальных точек равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. ПРоднффеРенциРУем Равенство (13.3) ло вРемени: г(Р/гу! =я~ лес/о) = и Лзг /Нг' Согласно закону о движении центра масс (12.5) последнее выражение равно сумме внешних сил н таким образом аР ХР- сй (13.4) -п оиз о ая ов емени ими сасисте мате пачь тозе а нас ммевне нх сн ейств ю их на оч и слете ь Этотзакон можно назвать з а ко н он из м ен е н и я и м п у л ь с а.

Применительно к отдельной материальной точке формула (13.4) принимает вид: (13.5) и является одной из форм записи второго закона Ньютона. Если сумма внешних сил равна нулю ~ Р =О (система з а и к н у т а я), то г(Р/си =О н, следовательно, Р=сознм ~ Р =О -+ Р=сош! (13.6) -нмп лье замки ой с стем а ьных точек остае с постоянным о в еме и Таковосодержание закона сохранения импульса. В некоторых случаях система не является замкнутой, однако существует направление, например вдоль координатной оси Ох, на которое сумма проекций внешних 'сил равна нулю: э'Р =О .

Записав закон изменения импульса (13.4) в проекции на это ю направление (13.7) заключаем, что ~Г' =Π— э Р,=сошг, (13.8) аи тл. сох аняется оек ия ими льса на о нап явление на кото ое с а п оекий внешних сил а а При решении некоторых задач приравнивают значения импульса незамкнутой системы материальных точек в близкие моменты времени г и габт; Р(т) и Р(г чб!), поскольку изменением импульса за достаточно короткий промежуток времени бт оказывается возможным пренебречь.

Действительно, приближенно заменяя в законе изменения импульса ((3.4) производную импульса на отношение малых приращений импульса и времени: пР)г)т и АР! бт, получим после умножения на Ат: АР=(Р]б П ((3.9) где (Р] ° среднее значение суммарной внешней силы на интервале времени бт (произведение Рбг называется и и пуль со м сил ы). Если внешние силы неслишкоь! велики. а промежуток времени б! достаточно мал, го импульс силы (Р)бг, » следовательно и изменение импульса ЛР, могуэ оказаться пренебрежимо малыми. Ислольэовамис итога приема требует тшитсаьнои опенки вели«ииы импульси висшнеи силы Н ° пример, он правомерен а задаче о разрыве летящего он»ряд», иаглз приравниваются импульс снаряди непосредственно перед разрывом и суммарнын импульс осколка» сразу зю паоле взрыв.э.

импульс внешних сил (та»сети, сопротивления ваэлую! нал ввиду малости времени взрыв» Л! . А в задаче аб упругом саул»ренин шари с Ри Рш Ра ~) ' массивиои стенкой, если стенку с сигать внсшнии телом, пренебречь импульсом упругой силы, действующей со стороны ! Ьрюр-Рю-ДР ~ свинки иа шар, нельзя: несмотря иа малое время соудареиия, и=- и этот импульс велик, поскольку очень велика упругая сика. Зта приводит к тому, чта изменение импульс» шара в результате туда ремня ЬР па модулю вдвое превышает импульс шара ло Рис.

24 улирири. Ар = -2р„(рис. 24) дп удира лги г.эс удара Рсективмое лвнжмше. Если тела э» с ют того или иного устройств» "выбрасывает" шить сваей массы, то импульс тела изменяется са временем, так кик часть импульсе уносится атбрасьюасмои массам веществ» Движение тела, анус»аз»синае выбросом массы. ниэьюается р е а к т и в н ы и пусть тела мимы лф) движстс» са скоростью и(т), выбрасывая к»»дую секунду массу д(г) (р и ск о д м и с с ы) со скарсжтью и(т) относительна юла закон иэмсмения импульсз П3.4) для тши запишем в виде.

— = Р. пР аэ! ()Э.зо) лзэ т(!) — = Р-)эн. эй (!3.3!) где Р - импульс зел» вместе а массон, которая нихолитаи в нем и выбреаыеастся в процессе движения; Р - риэуаьтнруюшш внешних сил, дейсзвуюших на зело. Импульа Р в момент времени ! равен: Р = тл и.

В момент времени т + сй импульс системы склидывыпся ш импуаьси тела (т — даэг)(и + Ни) и импулыа ()эагт)(и+ и) выброшенной эи этрамежуток времени э(! мзюы дхй. (здесь унана, что эа врем» ий маса» тел» умсньшизась н» количество фхй выброшенной мзсеьэ, скорость тела получил» приращение й, а также то, что скорость выброшенной массы относительно СО, е «отарой решаетса задача, склилывасэея иэ скорости и этой массы ознааительио тел» и скорости и тели), таким образом, изменение »Р импульса системы эз время пу равно: йР=[(т-дсй)(»+ли)+де(г(лье)] — ти. раскрывая скобки и пренебрегая малы» слагаемым диз! с(и . находим: г(Р = тли + лис(т и уравнение ( ! 3.

! О) принимает вид: 43 что уравншие имеет вид второго закона ньютон», в катаром за счет выброс» массы к внешним силан добевлаетс» "Реактив»а» сиза" Рз = -Ди, напРавленнал в стоРонУ, цвет/юона»»витю скоР»сти и отбрасываемой массы. Еиу, в частности, подеиияешя движение ракет, у которых из сапа» езшскумдно вылетают продукты и'ар»пня топлива массой д са скоростью и. Проведя «налогичныс шва»адни, легка обобщить уравнение (13.11) на »луч»й, когда помимо выброс» массы имеет место и обратный процесс захваш массы, поступающей ь телу извмс/ м(/) — = и -р и + и/из, ) / / (13.121 где индексы 1 и 2 относятся, соответственно, к ии1ускасмай и принимвемои телом масса.

Процесс захвата м»осы принимается ва еншзанис в некоторых »странами иски» задачах, исследующих влияние на дзиаение небесных тел гесдзю/аеа н»»их космической аыш. Об// процесса одновременна происходят в возюцшачн»кчивньзх и турбо-реактивных двигателях самолетов: в иих поступает зтмасферн»Ш воз»ух ( и,; и, = -з), а выбрааывается тот же воздух вмесш с пралуктзми сгорания топлива (дби, ). Формул// 1!3.12! представляет саба» в общем вире уравнение нзнжсни» тст с переменной массой, ьотаросназьшают уравнением Мещерского. й 14.

Закон изменения и сохраненив момента импульса Для решения многих проблем существенно не только значение той нли иной физической веяичины самой по себе, но н та, как зта величина распределена в пространстве относительно некоторой точки или оси. Тогда в физических теориях появляются м о м е и т ы этих величин. В механике фигурируют моменты двух векторов ° силы и импульса, а также момент скалярной величины - массы (момент инерции, о котором речь пойдет позже). Пусть на некоторую материальную точку (или малый элемент твердого тела) действует сила Г. М о м е н т о м М с и л ы и" о т н о с и т е л ь н о т о ч к и (полюса) О называется вектор, являющийся векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку приложения силы, и силы р (рис. 25 а): (! 4.