VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

Обозначим через Р,(х, у) давление между обоими сдавленными телал1и в точках их соприкосновения (вне области соприкосновения, разумеется, Р, = 0). При определении зависимости между. Р, и смещениями и„и1, можно с достаточной точностью рассматривать поверхности тел как плоские и воспользоваться полученными в предыдущем параграфе формулами. Согласно третьей из формул (8.19) (учитывая также (8.14)) смещение и, гюд влиянием нормальных сил Р,(х1 у) определяется выражени- ями 1- ' ~(Р,('',.у') 4,) 1)Е // г 1 — 4т'~ ГГ Р,(х',у') ВЕ' // г (9.5) ствами (9.1) и (9.2). Как непосредственно видно нз рисунка, во всех точках области соприкосновения имеет место равенство л'л.

! ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (а, о' и Е, Е' коэффициенты Пуассона и модули растяжения обоих тел):, поскольку вне области соприкосновения Р, = О, то интегрирование производится здесь только лло этой области. 2 2 Заметим, что из этих формул следует, что отношение и,2 и2 постоянно и равно Н, (1 — Н )Е' (9 6) н'„(1 — а")Е Соотношения (9.4) и (9.6) вместе непосредственно определяют распределение деформации и„и', по области соприкосновения (сами же формулы (9.5) и (9.6) относятся, конечно, и к точкам вне этой области). Подставив выражения (9.5) в (9.4), получим Это интегральное уравнение определяет распределение давления Р, по области соприкосновения. Его решение может быть наллдено из аналогии со следующими ллзвестными из теорилл потенциала соотношеллиялли.

На мысль воспользоваться этой аналогией наводглт тот факт, что, во-первых, интеграл, стоящий в левой части уравнения (9.7), типа обычных в теории глотенциала интегралов, определяющих потенциал, создаваемый некоторым распределением зарядов, и, во-вторых, что потенциал поля внутри равномерно заряженного эллипсоида есть квадратичная функция координат.

Если по объему трехосного эллипсоида равномерно распределен заряд (с постоянной обьемной плотностью 22), то потенциал поля внутри эллипсонда определяется выражением ~Ф21л В) = = лгРаЬС 1— 2 2 2 2 2 ) О В предельном случае сильно уплощенного (в направлении оси В) эллипсоида, что соответствует с — Р О, получим отсюда 2 2 РН1 ~~, О СОИРИИОСИСВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ (при переходе к пределу с — + О надо, разумеется, положить рав- ной нулю также и координату е точек внутри эллипсоида). С другой стороны, потенциал 122(хг у, е) может быть написан в виде интеграла р11х'11у'аг' ~ ./ (х — х')2 + (У вЂ” У')2 -Р ( — ')2 где интегрирование производится по объелгу эллипсоида. Переходя здесь к пределу с — 2 О, мы должны положить под корнем е = е' = О:, производя интегрирование по сЬ' в пределах между 12Х Пе хс (1 — — — — ), г1олучим х у аг 2,2 г~ ~ !2 12 1р(х,д) = 2рс /Г ~™ 1 — —, — Уг где интегрирование производится по площади внутри эллипса х'з/аз + у'2,162 = 1.

Приравнивая оба выражения для уг(х1у), получим следующее тождество: У 1 У = "ВЬ ~1 У ~С (98) 1 1 Р 1 ь 11 ДЗРВ12~Я' о 2 и что функция Рг(хгу) должна быть вида (9.9) Р,(хгу) = сопв1 1 — — — —. х у аг Выбирая сопвФ так, чтобы интеграл ЦР, дхдр по области соприкосновения был равен заданной полной силе Г, с которой Сравнивая это соотношение с уравнением (9.7), мы видим, чтО в их правых чаетях СтОят квадратичныЕ функции От Х и 12 одинакового вида, а в левых интегралы одинакового типа. Поэтому мы можем сразу заключить, что область соприкосновения тел (т. е.

область интегрирования в интеграле в (9.7)) ограничена эллипсом вида 50 гл. ! ОСИОВИЫЕ УРЛВИЕИИИ ТЕОРИИ УПРУ!'ОСТИ сдавливаются оба тела, получим ЗР и Н (9.10) 2ИВЬ В' Эта формула определяет закон распределения давления по площади области соприкосновения. Отметим, что давление в центре области в полтора раза превьппаст среднее давление ГДлаб). Подставив (9.10) в уравнение (9.7) и заменив получающийся в нем интеграл его выражением согласно (9.8), получим где ВЗ(1 — аВ1 — а') Это равенство должно выполняться тождественно при всех значениях х, у (внутри эллипса (9.9)); поэтому должны быть попарно равны в отдельности коэффициенты при гв и у и свободные члены в обеих частях.

Отсюда находим стедунпцие соотношения; й=гв 1 41 У) ) ))))) ~)))' О (9.11) (9.12) О Уравнения (9.12) определяют полуоси а и б области соприкосновения по заданной силе г (А и В .- известные для данных тел величины). После этого соотношение (9.1Ц определит зависимость между силой Г и вызываемым ею сближением тел Ги ГГптегралы, стоящие в правых частях этих уравнений, эллиптические.

Таким образом, задачу о соприкосновении тел можно считать полностью решенной. Форма поверхности тел (т. е. смещения и„и',) вне области соприкосновения определяется теми же формулами (9.5), (9.10), причем значения интегралов можно сразу определить, исходя из аналогии с потенциалом поля заряженного эллипсоида, — на этот раз вне его. Наконец, по формулам 51 ООИРИКОСИОВВИИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ предыдущего параграфа можно было бы определить также и распределение деформации по обьему тел (но, конечно, лишь на расстояниях, малых по сравнению с размерами тела).

Пр1лменим полученные формулы к соприкосновению двух и|аров с радиусами Л и Л'. Здесь из соображений симметрии ясно, что будет и а = 6, т. е. область соприкосновения есть круг. Из (9.12) получим для радиуса а области соприкосновения значение .~,1З ( йй' ) 1 19.13) В данном случае 6 есть разность между суммой Л + Л' и рас- стоянием между центрами шаров. Из 19.10) получим следующее соотношение между Л и 6; Л2/3 [В2 ( 1 + 1 )] 19.14) ОР1 65/2 з ( лй' ) 19.15) Наконец, укажем, что зависимость вида 6 = сопв1 Л 1'', Г = сопв$ 6 1 имеет место не только для шаров, но и при соприкосновении других тел конечных размеров. В этом легко убедиться из соображений подобия.

Если произвести замену а~ — ~ 1та~, Ь~ — ~ сто~, г' — ~а 1 г', где а произвольная постоянная, то уравнения (9.12) останутся неизменными. В уравнении же 19.11) правая часть умножится на с1, и для того чтобы опо осталось неизменным, надо заменить 6 на а6. Отсюда и следует, что Р должно быть пропорционально Ьз1~. Отметим, что 6 пропорционально степени г'~1~ сдавливающей силы; обратно, сила Л пропорциональна степени 6з~е производимого ею сближения тел. Напишем еще потенциальную энергию У соприкасающихся шаров. Замечая, что должно быть ( — Г) = — дГ/д6, получим ОСНОВИЫВ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУ!'ОСТИ !'л ! Задачи 1.

Определить время, в течеяие которого соприкасалотся два сталкивающихся упругих шара. Решение. В системе отсчета, в которой центр инерции обоих шаров покоится, энергия шаров до столкновения равна кинетической энергии относительно движения дг'л!2, где г — относительная скорость сталкивающихся шаров, а лл = шлтаел'1т! -~- гпл) — их приведенная масса. В течение столкновения полная энергия равна сумме кинетической энергии, которую можно написать в виде 1лй~лл2, и Лютенцнальной энергии 19.15).

В силу закона сохранения энергии имеем (НЬ)2 4 ( ! )ЛЛе Максимальное сближение шаров бо соответствует моменту, когда их отно- сительная скорость )! обращается в нуль, и равно 1 (/л) Лгл Время т, в течение которого длится столкновение 1Л! е. )л меняется от 0 до ло и обратно до пуля), равно т — 2, — 2! — ) т=2/ =2~ — ! о о или 4ут Р12)б) (др) (до) Пользуясь прн решении этой задачи полученными в тексте статическими формулами, мы тем самым пренебрегаем уцругнми колебаниями шара, возникающими при столкновении.

Возможность такого пренебрежения требует. чтобы скорость о была достаточно мала по сравнению со скоростью звука. Фактически, однако, применимость этой теории ограничивается еще раньше благодаря тому, что возникающие при столкновении деформации переходят за предел упругости вещества. 2. Определить размеры области соприкосновения и распределение давления в ней при сдавливании двух цилиндров вдоль их образующих. Решение.

Область соприкосновения представляет собой в этом случае узкую полоску вдоль длины цилиндров. Ес ширину 2а и распределение давления в ней можно найти из полученных в тексте формул путем предельного перехода Ь,ла -! ОО. Распределение давления будет функцией вида Р,1в) = согэ! ~)1 —— ае !я -- координата вдоль ширины полосы соарнкосновения); нормируя ее на отнесенную к единице длины цилиндров сдавливающую силу Г, получим у!гРугив сВОйстВА КРисгАЛЛОВ Подставляя зто выражение в !9.7) и производя интегрирование с помощью 19.8), имеем 41>Е /' г16 87УГ Зя / (а +б)з7г< Зяо о Один из радиусов кривизны цилиндрической поверхности бесконечен, а другой совпадает с радиусом цилиндра; поэтому в данном случае А=-( — -ь — ), В=б.

Окончательно находим для искомой щирины полосы соприкосновения: 161!с ЛЛ' ) ~ а= Зя Л+ Л' =( 10. Упругие свойства кристаллов Изменение свободной энергии при изотермическом сжатии кристалла является, как и у изотропных тел, квадратичной функцией тензора деформации. В противоположность тому, что имело место для изотропных тел, эта функция содержит теперь не два, а болыпее чисто независимых коэффициентов. Общий вид свободной энергии деформированного кристалла есть Г = — Лгып,агап!юг 110.1) 2 где Л,Р1, есть некоторый тснзор 4-го ранга, называемый те!!- зоролг модулей упругости. Поскольку тензор деформации симметричен, то произведение гчгьп! „не меняется при перестановке индексов 4 с 1с, 1 с гп или пары 4, и с !Тарой 1, т. Очевидно поэтому, что и тензор Л,ь! может быть определен так, чтобы оп обладал такими же свойствами симметрии по отноп!ению к перестановке индексов: Лмя =Л„, =Л„,=Л,,„.

110.2) Путем простого подсчета можно убедиться в том, что число различных компонент тензора 4-го ранга, обладающего такими свойствами симметрии, равно в общем случае 211). Соответственно выражению 110.1) для свободной энергии зависимость тензора напряжений от тензора деформации имеет в кристаллах вид 1ср. также сноску на с.