VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

Таким образом, имеется всего пять модулей упругости. Свободная энергия имеет вид Р: Л гггиг + 2Л6у(ч(ГГГВ + иуу) + Лггггу[(и~~ иуу) + 4и~у) + 1 2 2 2 2 2 + 2Л~„»гигг(иии + иу, ) + 4Л~»„г(и~, + и2,). [10.9) Следует отметить, что деформация в плоскости ху (деформация с отличными от нуля и»В, иуу, и»у) определяется всего двумя упругими модулями., как и для изотропного тела:, другими словами, в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, 58 Г'Л ! ОСНОВИЫВ УРЛВПЕЧзии ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Лхххх Лзззз~ Лххзз~ Лххуу~ Лхухуз Лхзхз Повороты на 90' вокруг осей х и 9 дают соответственно преобразования х э х, 9 -э — я, я -+ у и х -+ я, д -э у, .х -э — х.

В силу них из написанных шести компонент делаются равными первая со второй, третья с четвертой и пятая с шестой. Таким образом, остается всего три различных модуля упругости. Свободная энергия кристаллов кубической системы имеет вид 1) , 2 2 2 Г = -Л„х (и +иуу+и )+Лххуу(и"хззуу+иххи,,+пули, )+ 2 + 2Л уху(и у + и„, + и„,). (10.10) Выпишем еще раз число независимых параметров (модулей упругости или углов, определяющих ориентацию осей в кристалле) для классов различных систем: 21 18 9 7 6 7 6 5 з триклинная моноклипная ромбическая тетрагопальпая (С4, Я4, См) тетрагональная (С4, ххзз, П4, 4444) ромбоэдрическая (Сз, Яз) ромбоэдрическая (Сз,э Вз., 1эзз) гексагональная кубическая Минимальное же число отличных от нуля модулей, которого можно добиться надлежащим выбором осей координат, одинаково для всех классов в каждой системе; 18 12 9 6 6 5 3 триклинная .......

моноклинная ромбическая тетрагональная ромбоэдрическая гсксагопвльная кубическая ....... ') В кубических классах Т и Тз нет осей четвертого порядка. Тот же результат получается, однако, в этих случаях путем рассмотрения осей третьего порядка, повороты вокруг которых переводят друг в друга оси второго порядка --. оси х, у, х. упругие свойства гексагонального кристалла изотропны. По этой причине выбор направлений осей в этой плоскости вообще несуществен и никак пе отражается па виде г'. Выражение (10.9) относится поэтому ко всем классам гексагональной системы. 7. Кубическая система.

Направим оси х, у, я по трем осям 4-го порядка кубической системы. Уже наличие тетрагональной симметрии (с осью 4-го порядка вдоль оси х) ограничивало число различных компонент тензора Лзьз, следующими шестью: УПРУГИВ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ Все сказанное. относится, разумеется, к монокристаллам.

Поликристаллические же тела с достаточно малыми размерами входящих в их состав кристаллитов можно рассматривать как изотропные тела 1поскольку мы интересуемся деформациями в участках, болыпих по сравнению с размерами кристаллитов). 1(ак и всякое изотропное тело, поликристалл характеризуется всего двумя модулями упругости. Можно было бы па первый взгляд подумать, что эти модули можно получить из модулей упругости отдельных кристаллитов посредством простого усреднения. В действительности, однако., это не так. Если рассматривать деформацию поликристалла как результат деформации входящих в него кристаллитов, то следовало бы в принципе решить уравнения равновесия для всех этих кристаллитов с учетом соответствующих граничных условий на поверхностях их раздела. Отсюда видно, что связь между.

упругими свойствами кристалла, рассматриваемого в целом, и свойствами составляющих его кристаллитов зависит от конкретной формы кристаллитов и от корреляции между. их взаимными ориентациями. Поэтому не существует общей зависимости между модулями упругости поли- кристаллов и монокристалла (того же вещества). Вычисление модулей изотропного поликристалла по моно- кристаллическим модулям может быть произведено со значительной точностью лишь в слу.чае слабой анизотропии упругих свойств монокристалла '). В первом приближении модули упругости поликристалла можно положить равными просто «изотроппой части» упругих модулей монокристалла. Тогда в следующем приближении появляются члены, квадратичные по малой «анизотропной части» этих модулей.

Оказывается, что эти поправочные члены не зависят от формы кристаллитов и от корреляции их ориентаций и могут быть вычислены в общем виде 3). Наконец, остановимся на тепловом расширении кристаллов. В изотропных телах тепловое расширение происходит одинаково по всем направлениям, так что тензор деформации при свободном тепловом расширении имеет вид (см. '3 б) 1 и1ь = — о(Т вЂ” То)бдь, 3 где о —. коэффициент теплового расширения. В кристаллах же надо писать 'пгь = — »(Т вЂ” То), (10.11) 3 где ст,» некоторый тензор второго ранга, симметричный по ин- ') Так, мерой анизотропни упругих свойств кубического кристалла является разность Л„„— Л„„„— 2Л,„,М ешти она равна нулю, выражение (10.10) сводится к выражению упругой энергии изотропного тела (4.3). >) См.

И.М. Лифшиц, Л.Н. Розеицеейе. // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 967. 60 ОСНОВИЫК УРЛВПВИИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1'Л ! дексам г, а. Выясним число различных независимых компонент этого тензора в кристаллах разных систем. Для этого проще всего воспользоваться известным из тензорной алгебры обстоятельством, что всякому симметричному тензору второго ранга можно привести в соответствие некоторый, как говорят, тензорный эллипсоид ').

Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что при триклинной, моноклинной и ромбической симметриях эллипсоид является, вообще говоря, трехоспым (т. е. длины всех его осей различны). Нри тетрагопальной же, ромбоэдрической и гсксагональной симметриях эллипсоид должен являться эллипсоидом вращения (с осью соответственно вдоль осей симметрии С4, Сз или Сб). Наконец, кубическая сил1метрия приводит к вырождению эллипсоида в шар. Но трехосный эллипсоид определяется тремя независимыми величинами (длинаыи осей), эллипсоид вращения двумя, а шар — всего одной (радиусом).

Таким образом, число независимых компонент тензора о,ь в кристаллах разли 1ных систем естги триклинная,моноклинпая, ромбическая ............ тетрагональиая, ромбоэдрическая, гексагональная . кубическая Кристаллы первых трех систем называются двухосными, а вторых трех одноосными. Обратим внимание на то, что тепловое расширение кристаллов кубической системы определяется всего одной величиной, т. е. что они ведут себя в отношении своего теплового расширения как изотропные тела. Задачи 1. Выразить упругую энергию гексагонального кристалла с помощью упругих модулей Л,ы в координатах т, у, я (ось т — по оси шестого порядка).

Р е ш е н и е. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать контра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров; первые преобразуются как сами координаты х' (их принято обозначать с верхними индексами), а вторые — как операторы дифференцирования д/дх' (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10.1) надо записывать при этом как ь Г = -Л,ыми' и 2 В выражениях (10.8), (10.9) компоненты и,е преобразованы как контравариантные; поэтому для установления связи между компонентами Л,Р1„, в координатах б, и, в и х, р, з их надо рассматривать как ковариаптные (в декартовых координатах те и другие компоненты, разумеется, совпадают).

Для преобразования (10.7) имеем д д д д .(д д') — = 1 1Л вЂ” — — ~ . дя дб дч 011 ~дб 00) ю ) Тензорный эллипсоид определяется уравнением а,ья,яь = 1. 11о УПРУГИВ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ Преобразуя компоненты Л,м как произведения этих операторов, найдем Л,„, =2Лш „, Л* * = Л2222 = 4Лсшп г 2лсзии Л 22 = 4лзпзз 2ЛШ гп Л: = Л22. -= 2лгп* Л..., = Л,,„. = 2Л,.„,. Свободная энергия 110.9), выраженная через эти модули, имеет вид 1 2 1 2 Г = — Л„.,„СВ„-Р и„„) -Р— Л„,,и,, Р Л„.-,ги„, -Р ии„)и,г + 2 2 2 2 1 + 2Л„,,(и.„, + ииг) + гл, — Л, 2)ги,, — и,„и„„).

2. Найти условия положительности упругой энергии кубического кристалла. Р е ш е н и е. Первые два члена в (10.10) составляют квадратичную фор- МУ ТРЕХ ПЕЗаВИСИМЫХ ПЕРЕМОНПЫХ иг.ш из„, и, УСЛОВИЯ ПОЛОжИтЕЛЬНОСтИ этой формы требуют положительности определителя ее коэффициентов, одного из его миноров и коэффициента Л,, „. Кроме того, должен бьшь положителен третий член в (10.10). Эти условия приводят к неравенствам л >о,л >о,— — <л <л., Лг 2 где обо пгачено Лг = Л, Лг = Л 2„, Лз = Л,э,э. 3. Определить зависимость модуля растяжения кубического кристалла от направления в нем. Решение.

Выбираем осн коордннел в направлениях ребер куба. Пусть ось вырозанного из кристалла стержня имеет направление одиничного вектора и. Тензор напряжений в растянутом стержне должен удовлетворять следующим условиям: должно быть о,,гггь = рп,, где р -- действующая на единицу площади оснований стержня растягивающая сила (условие на основаниях Стержня); для направлспий С, пЕрпЕндикулярных и, должнО быть а,ггь = 0 (условие на боковых сторонах стержня). Такой тензор должен иметь вида,г = рп,пь.

Вычншгив компоненгы а,ь дифференцированием выражения (10.10) ) и сравнив их с выражениями щь = рп,пгэ получим для 11 компонент тензора деформации выражения глг-г-2Л2)п, — Лг и гг„ и =р и „=р— (Л1 — Лз)(Л1 + 2Л1) 2Лз и аналогичные для остальных компонент. Ж' — 111 Относительное продольное удлинение стержня есть и =, где 111 г)г, 111' дается формулой 21.2) и — = п,.

Это дает для малых деформаций 111 11 ) если вычислять т,ь не непосредственно по формулам щг = л,гг, иг ., а путем дифференцирования конкретного выражения Г, то производные по и,г с г ф к дают удвоенные значения а,ь. Это связано с тем, что формула п,г = дГггди,г имеет по существу смысл лишь как выражающая тот факт, что гСГ = щг г)и,г; но в сумму п,г ди,г члены с диффоренциалами 21и,г каждой из компонент с г ~ 12 симметричного тензора и,г входят дважды. 62 1'Л.

1 ООИОВИЫВ УРАВИВИИЯ ТЕОРИИ УПРУГОО'ГИ и = и,гпгпг.. Модуль Юнга определяется как коэффициент пропорциональ- ности в р = Еп, и для пего находим 1 Л1+ Лз 1 2 ~ 2 1 2 э э э — — (и пэ -~- и и, -~- и и,). Е (Л1-Р2ЛеИЛ1 — Лэ) 1,Лз Л1 — Лэ/ Модуль имеет экстремальные значения в направлениях ребер (оси т, р, в) и пространственных диагоналей куба. В направлении вдоль ребер куба Е = (Л1 -Р 2Лэ) л +л При этом поперечное сжатие стержня и, = и„„= — пи,„.

= — пи, где величина н = Лэ/(Л1 -Р Лэ) играет роль коэффициента Пуассона. Согласно полученным в предыдущей задаче неравенствам: — 1 < о < 1/2. ГЛАВА П РАВНОВЕСИЕ СТЕРЖНЕЙ И ПЛАСТИНОК й 11. Энергия изогнутой пластинки В этой главе мы будем заниматься изучением некоторых частных случаев равновесия деформируемых тел и начнем с рассмотрения деформаций тонких пластинок. Когда мы говорим, что пластинка является тонкой, то подразумевается, что ее толщина мала по сравнению с размерами в двух других направлениях. Сами деформации по-прежнему считаются малыми.