VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

д( . 2 д( 2 д( ди ди дх1 дВВ)1 (12.7) Опи должны выполняться на всей свободной границе пластинки. Краевые условия (12.6), (12.7) весьма сложны. Значительно более просты случаи, когда края пластинки заделаны или опертпы. Если края пластинки заделаны (рис. 4а), то они не могут испытывать никакого вертикального смещен1ля и, сверх того, не может измениться также и направление этих краев. Угол, па который поворачивается данный участок края пластинки относительно своего первоначального положения, равен (при малых смещениях () производной а д(/дг1.

Таким образом, на заделанных краях пластинки вариации д( и 6 (д(/дг1) равны нулю, так что контурные интегралы в (12.3) исчезают тождественно. Граничные условия имек1т в этом случае простой вид: б ( = О, — ( = О. (12.8) дп Рис. 4 Первое выражает собой тот факт, что края пластинки вообще не испытывают вертикального смещения при деформации, а второе -- что направление края остается горизонтальным.

Легко определить силы реакции, действующие на пластинку со стороны опоры в точках закрепления. Эти силы равны и противоположны силам, действукпцим на опору со стороны пластинки. Как известно из механики, сила, действующая в некотором направлении, равна производной от энергии по координатам, взятой по этому направлонию. В частности, сила, с которой пластинка действует на опору, определяется производной от энергии по смещению ( края пластинки, взятой с обратным знаком, а обратная сила реакции той же производной с положительным знаком.

Но эта производная есть не что иное, как коэффициент при б( во втором интеграле в (12.3). Таким образом, сила реакции, отнесенная к единице длины контура, равна выражению, стоящему в левой части уравнения (12.6) (конечно, не равному теперь нулю), умноженному на Р. Аналогично, момент сил реакции определяется выражением, стоящим в левой 70 глпповксип стьеживя и пллстииск Гл. и части уравнения (12.7), умноженным на тот же коэффициент Р. Это следует из известного из механики обстоятельства, что момент силы равен производной от энергии по углу поворота тела.

Угол жс поворота края пластинки равен производной дг;,7дп, так что соответствующий момент сил определяется коэффициентом при б(д(/дп) в третьем интеграле в (12.3). При этом оба эти выражения (для силы и момента) ввиду условий (12.8) сильно упрощаются. Именно, поскольку ~ и дГ(дп равны нулю вдоль всего контура края пластинки, то обращаются тождественно в нуль также и их производные всех порядков по направлению касательной 1.

Учитывая это обстоятельство и переходя в (12.6) и (12.7) от производных по х и у к производным в направлениях п и 1, получим следующие простые выражения для силы г и момента ЛХ реакции опоры: (12.9) ЛХ =.Р дп2 (12.10) Другой важный случай -" опертая пластинка (рис. 4 б), у которой края только опираются на неподвижную опору, но не закреплены в ней. В таком случае на контуре пластинки (т. е. на линии, по которой пластинка опирается па опору) вертикальное смещение по-прежнему отсутствует, но направление отнюдь не остается неизменным.

Соответственно этому в (12.3) в интеграле по контуру К=О, но д'~ Нд д~ — + с — — = О. дп2 Л дп (12.11) ~=0, Поэтому из двух условий (12.6), (12.7) остается только второе. Выражение же, стоящее в левой части (12.6), определяет, как и в предыдущем случае, силу реакции, действующую в точках опоры пластинки (момент же этих сил равен теперь в равновесии нулю).

Граничное условие (12.7) упрощается, если перейти к производным по направлениям и и 1, причем учесть, что в силу равенства ~ = 0 на всем контуре обращаются в нуль также и производные д~/д1 и дз~/д1з. В результате получим граничные условия в виде 71 12 УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНКИ Задачи 1. Определить деформацию круглой пластинки 1радиуса В) с заделанными краями, расположенной горизонтально в поле тяжести. Решение. Выбираем полярные координаты с начююм в центре пластинки. Сила, действукнцая на единицу плошади поверхности пластинки, равна Р = рййл Уравнение 112.5) приобретает вид г1 (= ба, 16ЬэЕ (положительные ( соответствуют смещению по направлению действия силы тяжести). Поскольку ( есть функция татько от т, то для л5 в полярных 1л1/ координатах надо писать г5 = — — 1 т — (.

Общий интеграл этого уравнения т Нт Мт есть э г ( = Я -~-ат -1-Ьз-сг 1п — -1-61в —. В й т В данном случае надо положить д = О, так как 1в — обращается при т = 0 в В бесконечность, а также с = О, так как этот член приводит к особой точке у л5( при т = 0 1это соответствовало бы силе, приложенной к центру пластинки, -- см. задачу 3).

Постоянные а и Ь определяются из граничных условий ( = О, — = 0 при т = Л. В результате находим Йт (=)1(11э - ')'. 2. То же для пластинки с опертыми краялли. Ре~пение. Граничные условия 112,11) в случае круглой пластинки приобретают вид (=О, — -~ — — =О. г1( и с)( л1т тй Решение аналогично решению задачи 1 и приводит к результату (5э'-а э э) л,14-а 3. Определить деформацию круглой пластинки с заделанными краями, к центру которой приложена сила 7". Решение. Везде, кроме начала координат, имеет место уравнение Интегрируя, нахОдим ( = ат + Ь + гг 1и— э т Я 1член с!в т опять опускаем). Полная сила, действующая на пластинку, равна силе )', приложенной к ее центру; поэтоллу интеграл от слэ( по поверхности пластинки должен быть равен в 2х) РЫ( Ог = —.

о ГЭ глвповкс:ик стввжнвй и пластинок Гл. 1! Отсюда получается с = 1)(8яР). Постоянные а и Ь определяются из граничных условий, и в результате находим ~1 г г, В1 — — (Я вЂ” г) — г 1и— 8ггР ~2 г! 4. То же для пластинки с опертылги краями. Решение. 16кР л1 -1- а г ! 5. Определить деформацию круглой пластинки, подвешенной в своем центре и находящейся в поле тяжести. Решение. Уравнение для с и его общее репление -- такие же, как в задаче 1. Поскольку в центре смещение Л = О, то с = О. Постоянные а, Ь определяются из граничных условий (12.6) и (122.7), имеющих при круговой симмЕтрии вид Иг~ а д~ —,, т — — =О. ггг г ггг В результате находим Л =,Зг [с~+ 82л~!п — -Ь 2В ! 6. От тела отрывается тонкий слой (толщиной Ь) приложенными к нему внешними силами, действующими против сил поверхностного натяжения иа поверхности отрыва.

При заданных внешних силах устанавливается равновесие с определенными величиной поверхности отрыва и формой отрываемой пластинки (рис. 5). Вывести формулу, связывающую величину поверхностного натяжения с формой отрываемой пластинки. Решение. Отрываемый слой рассматриваем как пластинку, один из краев которой (гглгния отрыва) заделал.

Изгибающий момент, действующий у этого края, определяется формулой Ь (12.10); работа, производимая этим моментом при удлинении области отрыва на бх, равна Ы =Мах =Р( бх (1) дх дхг дхг Рис. 5 (работа же изгибшощей силы Е являет- ся малой величиной второго порядка). Условие равновесия состоит в равенстве этой работы изменению энергии системы. Пос.теднее складывается из двух частей: изменения поверхностной энергии и иэмененгля упругой энергии отрываемой пластинки за счет удлинения ее изогнутой части. Первая равна 2пдх, где о коэффициент поверхностного натяжения, а множитель 2 учитывает возникновение при отрыве двух свободных поверхностей.

Вторая же часть равна ~ '"-'.- 1('.")'' (энергия (11.6), приходящаяся на длину Ьх пластинки), т. е. составляет половину работы (1). Таким образом. получим 73 ПРОДОЛ1 ИЫС ДИФОРХ1АЦИИ ПЛАСТИНОК 3 13. Продольные деформации пластинок 1Х и„= — — (их~+пру), ихх = ир, = О. 113.1) 1 — 1Т Подставив их в общие формулы (5.13), получаем отличные от нуля компоненты тензора напряжений в виде Е Пхх = (11хх + О арр), 1 — ау Е Пр1у — (11ру + 1Т11хх)1 „г Е Сгр= и„. 1 Ч- х Следует обратить внимание на то, что путем формальной замены Š— у, и — у— (13.3) 1 — о эти выражения переходят в формулы, определяющие связь меж- ДУ НаПРЯжЕНИЯМИ СХ „,, и „, П1 И ДЕфОРМаЦИЯМИ их, ир,, ихх ПРИ плоской деформации (формулы (5.13) с и„= О). (13.2) Особым видом деформаций тонких пластинок являются продольные деформации, происходящие в самой плоскости пластинки и не сопровождающиеся ее изгибом.

Выведем уравнения равновесия, описывающие такие деформации. Е1ьти пластинка достаточно тонка, то деформацию можно считать однородной по ее толщине. Тензор деформации является при этом функцией только от т и у (плоскость ху выбрана в плоскости пластинки) и нс зависит от ж Продольные деформации пластинки вызываются обычно либо силами, приложенными к ее краям, либо действующими в плоскости пластинки объемными силами.

Граничные условия на обеих поверхностях пластинки гласят при этом: о;ьпь = О, или, поскольку вектор нормали направлен по оси ж О;, = О, т. е. Пхх = Схр = Охх = О. Следует, однако, заметить, что в излагаемой ниже приближенной теории эти условия остаются в силе и в том случае, когда растягивающие внешние силы приложены непосредственно к поверхностям пластинки, так как эти силы все равно будут малыми по сравнению с возникающими в пластинке продольными внутренними напряжениями (пхх, арр, и р). Будучи равными нулю на гРаниЦах, величины 1т „схр„пхх бУДУТ малыми и на всем протяжении малой толщины пластинки, в силу чего мы можем приближенно считать их равными нулю во всем объеме пластинки. Приравнивая нулю выражения (11.2), получим следующие соотношения: гявповвс;ив сткежнвй и пластинок Гл.

и После того как мы таким образом исключили вовсе смещение ию мы можем рассматривать пластинку просто как некоторую двумерную среду (рпр)угпя плоскость), не. обладакпцую толщиной, и говорить о векторе доформации п как о двумерном векторе с двумя коьшонентами и и ир. Коли Р, Рр компоненты внешней объемной силы, отнесенной к единице площади пластинки, то общие уравнения равновесия гласят: (, Подставляя сюда выражения (13.2), получаем уравнения равно- весия в виде 1 дои„. 1 ди, 1 диг1 ае дхе 2(1+а) дуе 2(1 — а) дхдр~ +Р. =О, 1— ! 1 д'и„ 1 д'иг 1 д'и 1 — аз дрз 2(1-ь а) дх' 2(1 — а) дхдр + Рр — — О. (13.4) Эти уравнения могут быть написаны в двумерном векторном видо 1 — а 1 — а 2 йгас) с)1к п — го1 го$ п = — Р 2 Ей (13.5) где все векторные операции понимаются как двумерные. В частности, в отсутствие объемных сил уравнение равновесия гласит: вегас) с)1к п — го1 го1 п = О.

(13.6) 2 Оно отличается лишь значением коэффициента (в соответствии с (13.3)) от уравнения равновесия для плоской деформации неограниченного вдоль оси х тела Я 7) ). Так же как и для плоской деформации, можно ввести здесь 1рупкциго напряжения, определенную соотношениями сгхх =, о ха — — —, арр —— дх дх (13.7) дуз ' дхдд' дх' ' автоматически удовлетворяющими уравнениям равновесия, на- писанным в виде да дт„ дх др дат* + дате О дх др ) Однородную вдшгь оси х деформацию, при которой во всем теле а„.„= = а„.ц — — а,, = О, иногда называют плоским напряженным сосгпоянием в отличие от плоской деформации, при которой во всем толе и„. = и,„ =и,.- =О. Равгговкоие стпгжнвй и плаотинок гл г! 1Š— значение силы, отнесенное к единице толщины пластинки). Действительно, проецируя силы внутренних напряжений на направления, параллельное и перпендикулярное к силе Е, и интегрируя по малой полуокружности с центром в начале координат (радиус которой можно представить себе стремящимся затем к нулю), получим о.„, сову г)у = — Е, ~ а„„яп усйу = О, т.