VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 12

В данном случае критерием малости деформации является малость смещений точек пластинки по сравнению с ее толщиной. При применении к тонким пластинкам общие уравнения равновесия значительно упрощаются. Удобнее, однако, выводить эти упрощенные уравнения не непосредственно из общих уравнений, а вычислять заново свободную энергию изогнутой пластинки и затем проварьировать эту энергию. При сгибании пластинки внутри нее в некоторых местах возникают растяжения, в других — сжатия.

Именно, на выпуклой стороне пластинки происходит растяжение; по мере же углу.бления в толщу пластинки это растяжение постепенно уменыпается, достигая в конце концов нуля, вслед за чем в дальнейших слоях начинается постепенно увеличивающееся сжатие. Таким образом, внутри пластинки имеется нетпральнал поеерхностпь, на которой растяжение вообще отсутствует, а по двум сторонам ее деформация имеет противоположный знак. Очевидно, что эта поверхность расположена по середине толщины пластинки.

Выберем систему координат с началом в какой-нибудь точке нейтральной поверхности и осью л, направленной по нормали к ней. Плоскость ху совпадает с плоскостью недеформированной пластинки. Обозначим вертикальное смещение точек нейтральной поверхности, т.

е. их л-координату, буквой ~ (рис. 2). Что касается компонент смещений этих точек в плоскости ху, то они являются, очевидно, величинами второго порядка малости по сравнению с ~ и потому могут быть положены равными нулю. Таким образом, вектор смещения точек нейтральной поверхности: п(0) „(0) й и~~ 1 = ~(х, д). (11.1) Для дальнейших вычислений необходимо сделать следующее замечание относительно напряжений, действующих в деформи- елпповвс;пп стввжнвя и пллстипок ГЛ. 1! Е Е стгх = игхг огу = и„, 1-~-сг 1-тгт ст = [[1 — п)игг + о[и + ттуу)) [1 -ь ст) [1 — 2гт) [11. 2) Приравнивая эти выражения нулю, находим ди„диг — = — — и,„= — — [ихх + иуу). дг ду 1 — гт ди ди, д.

д' В первые два уравнения можно для и, с достаточной точностью подставить с,[лгу); диг дс дг дх ди, аС дг ду' откуда иу = — х —. дс [11. 3) ду' Постоянные интегрирования положены равными нулю так, чтобы при х = О имело место их = иу = О. Зссая их и пу, можно определить все компоненты тензора деформации; их = — х— дс дх' дгс и„„= — х —, ду" дтпл их, = — х дхду' дгс и„ дх' [11.4) (д г дг)1 их, =иу, — — О, рованной пластинке.

Поскольку пластинка тонкая, то для того чтобы изогнуть ее требуется приложить к ее поверхности сравнительно небольшие силы. Эти силы во всяком случае будут значительно меньше, чем те внутренние напряжения, которые возникают внутри деформированной пластинки благодаря имеющим в ней место растяжениям и сжатиям. Поэтому в граничных условиях [2.9) можно пренебречь силами Рб так что остается стсьтсь = О. Поскольку пластинка слабо изогнута, то можно считать, что вектор нормали п направлен по оси х.

Таким образом, т на обеих поверхностях пластинки должно быть — [==- „ стх, = сту, —— о.„= О. Но поскольку тслщина пластинки мала, то из равенства этих величин нулю па двух стороРис. 2 нах пластинки следует, что они малы и внутри нее. Таким образом, мы приходим к выводу, что во всей пластинке компоненты сг „пу„гтгг малы по сравнению с остальными компонентами тензора напряжений. На этом осповшсии мы можем положить их равными нулю и определить компоненты тензора деформации из этого условия.

Согласно общим формулам [5.13) имеем 65 ИРАВнение РАВнОВВсия И.ЯАстинки Теперь уже можно вычислить, воспользовавшись общей формулой (5.10)) свободную энергию Г единицы обьема пластинки. Простое вычиссление приводит к выражению (21) — ))д д 1) ()дад) д* ди)) 111.5) Полная свободная энергия пластинки получится отсюда интегрированием по всему ее об ьему. Интегрирование по х производится в пределах от — 11))2 до +6/2, где Ь, - толщина пластинки) а по х, у по всс.й поверхности пластинки. В результате находим полнУю свободнУю энеРгию Х'„л = ) Гсс"Р' дефоРмиРованной пластинки в виде ~~(~ддс Фс)1 (для элемента поверхности можно ввиду малости деформации писать с достаточной точностью просто 11х 11у). После того как получено выражение для свободной энергии, можно рассматривать пластинку как не обладающую толпщной, т. е.

как геометрическую поверхность, поскольку нас интересует только форма, принимаемая ею под влиянием приложенных сил) а нс", распределение деформаций внутри самой пластинки. Величина )', является тогда смещением точек пластинки, рассматриваемой как поверхность, при ее изгибании. й 12. Уравнение равновесия пластинки Уравнение равновесия пластинки мы выведем из условия минимума ее свободной энергии. Для этого надо вычислить вариацию выражения (11.6). Разобьем стоящий в (11.6) интеграл на сумму двух интегралов и будем варьировать каждый из них в отдельности.

Первый интеграл можно написать в виде ) (~0еФ где с11" = )1хс))у элемент поверхности, а Ь = д~/дхэ + с) /дуэ обозначает здесь (и везде в З 12 — 14) двумерный оператор Лапласа. Варьируя этот интеграл, имеем б- / 1Ь),) 111" = ~ Ь),ЬБс, с11' = ~ Ьс, с1Ыйгас) бс, 111' = с11ц(Ь~~75~) с(1' — ~ ~У5~TЬ~ ф'. 3 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, дом 1)11 гл. и РЛВПОВВСИВ СТЕРЖНВЙ И ПЛЛСТИПОК Все векторные операции производятся здесь, конечно, в двух- мерной системе координат ху.

Первый интеграл справа преоб- разуем в интеграл по замкнутому контуру, охватывающему пла- стинку ): ф бб (ь(чб(ббб = фа(( бт бб(б 11 = 1 ь(б б(бб, / ~ДСT,~~С(фф = ~ ~(дС~~С) (фф ~ дС~2С фф = ф б( ( Чб Ь(бб - ф б(Ь ( бб = У б( — "'( Э - ф б(Ь ( бб. Подставляя полученные результаты, получаем б-'ф(ь(бгбб = фб(ь( б — фбб(м((1 буба(~~(1. (111б Преобразование вариации второго интеграла в 111.6) несколько более длинно. Это преобразование удобнее производить пе в векторном виде, а в компонентах. Имеем б — С вЂ” (бф" = д'С д'6С д'бС д'С \ (фф . д.' др.

дх. др.)' ) 2 д'С О' С ) Охдд Охду э Подынтегрш(ьное выражение здесь можно написать в виде О дбС О'С ОбС О'С + д дбС ОвС дбС деС дх ду дхду дх две ду дх дхду др дх' т. е. как двумерную дивергепцию некоторого вектора. Поэтому. ') Форлбула преобразования двумерных интегралов в точности аналогична трехмерной формуле. Роль элемента объема Л' играет теперь элемент поверхности (бф (рассматриваемый как скаляр), а вместо элемента поверхности ((1 стоит элемент длины контура (д, умноженный на вектор и внешней нормали к контуру. Преобразование интеграла по (бф в интеграл по об осуп(ествляется заменой оператора дф д/дх, на величину и, (бй Так, если (э есть некоторый скаляр, то ьт(э(бф = 1 (эп(бб'. где дфдп означает дифференцирование по направлению внешней нормали к контуру.

Во втором интеграле применяем такое же преобразование и получаем 12 УРАВНЕНИЕ РАИНОНИСИЯ ПЛАСТИНКИ можно переписать вариацию в виде интеграла по контуру б ( ( абб )' ааб ааа ( „ ~ „,, ( ааб а б абб а б ( „ 1 ду дхду дх ду21' угол между осью х и нормалью п к контуру (рис. 3). ПрОиЗвОдныЕ От бб', пО Х и у выраЗим чЕрЕЗ производные по направлению нормали и к кон"туру и по направлению касательной 1 к нему согласно форлбулам где 0 — = совд — — япд —, д д . д дх да д1 — = япд — + совд —.

д . д д ду дп д1 Тогда интегралы в формуле (12.2) приобретают следующий вид; К )б= аб1 ~2вшдсовд — вш 0 — сов 0 — ~+ дб( ( . д~ . 2 д21, 2 ~9~) д ~ д,ду дха ду2 + у Ж вЂ” ~ вшдсоад( —, — — ) + (сов 0 — яп 0) Г д~С ( . Г,~'С ~~'С'л 2 . 2 д'С \ У д1 ~' ' ~ дуа дха ) ' ' ' д ду ) ' Второй интеграл можно вычислить, взяв его по частям. Поскольку он берется по замкнутому контуру, то пределы интегрирования сливаются в одну точку, и потому мы получаем просто — а11 б~ — ~вшдсоад( —, — ) + (сов 0 — вш 0) д1 ~ дуа дха дхду) Сводя все полученные выражения вместе и написав перед ними коэффициенты согласно формуле (11.6), получаем окончательно следующее выражение для вариации свободной энергии; бв„, =л(1 А бббвб — 1 бббб( —, а[а — )а(.

вч-в(а ба — аб)ах..'в —.Ыа) аб )) а + ~> — бУ ~Ь1.'+ (1 — т)(2япдсои0 ( дбс / дал дп дх ду — вш 0 — — сов 0 — ), (12.3) 2 д~ 2 д~1 дх2 д„) 68 гьвповвоив стнижнвй и пластинок гл. и где ~се 12(1 — пз) (12.4) 2г ля того чтобы получить отсюда уравнение равновесия пластинки, надо приравнять пулго су.мму вариации дР и вариации осГ потенциальной энергии пластинки, связанной с наличием действующих на пее внешних сил.

Эта последняя вариация равна взятой с обратным знаком работе внешних сил при смещении пластинки. Пусть Р есть действующая на пластинку внешняя сила, отнесенная к единице площади ее поверхности ) и направленная по нормали к ней. Тогда работа, произведенная силами при смещении точек пластинки на б~, равна )' Рб~д1'. Таким образом, имеем в качестве условия минимальности полной свободной энергии пластинки уравнение В левой части этого равенства стоят как интегралы по поверхности, так и интегралы по контуру. Поверхностный интеграл есть Вариация б~ в нем произвольна. Поэтому интеграл равен пулю, если РЬ~~ = Р. (12.5) ') Сила Р может являться здесь результатом действия об ьемных сил (например, силы тяжести) и равна тогда интегралу от последней по тплпдине пластинки.

Это . — уравнение равновесия пластинки, изгибаемой действующими на нсо внешними силами. Коэффициент в этом уравнении называют огсесткостью пластинки при изгибе или цилиндрической оюссгпкосивью. Граничные условия для этого уравнения получаются из равенства нулю контурных интегралов в (12.3). При этом следует рассмотреть несколько различных частных случаев. Предположим, что часть края пластинки свободна, т. е.

на нее не действуют никакие внешние силы. Тогда вариации дг, и б (дг',(дп) на ней произвольны и должны быть равными нулю коэффициенты при этих вариациях в интегралах по контуру. Это ИРАВиьииь РАВВОВВсия В.ВАстиики приводит к уравнениям — + (1 — 1т) — ~ совдвшд( — — )+ д1А( ди а~ (диг д 1) 2 + (вш2 0 — сов2 О) = О, (12.6) додд ) Ь(+ (1 — с1) 2вшдсовд — вш 0 — сов 0 — ~ = О.