VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 49

(47.5) В реальных смектиках величины В и С обычно малы по сравнению с А. В этих условиях, которые мы и бу.дем предполагать, природа обеих акустических ветвей в смсктиках становится более наглядной. Если пренебречь в уравнениях движения всеми членами, содержащими малые коэффициенты В и С, то они сведутся к уравпениям движения обычной жидкости с уравнением состояния р' = Ар', т. е. с сжимасмостью (др'/др'), = А. Соответствующие этому случаю колебания представляют собой обычные звуковые волны --. продольные волны сжатия и расширения среды.

Скорость их распространения 256 |'|| ч| мехАникА |кидких кгистлллов Зависимость смещения и от координаты 2 означает, что меняются расстояния а между соседними шюями: ба = (д11||дя)а, сама же величина б = дп||дв дает относительное изменение этого расстояния. Таким образом, уравнение (47.8) описывает распространение поперечной (1сч = О) волны, в которой испытывают колебания расстояния между слоями прн постоянной плотности. Для плоской волны, в которой б ехр(,2|сг — всЛ), из (47.8) имеем 2А|2 В~ 2 е|2 откуда находим скорость с2 = В' в112ОсовО, П2 (47.

9) где О угол между (с и осью ш Эта скорость анизотропна| причем обращается в нуль для распространения как вдоль оси в (О = О), так и в плоскости шу (О = 2г/2). При углах, близких к этим значениям, возрастает роль диссипативных эффектов.

(См. задачи 2 и 3 к этому параграфу.) Задачи 1. Найти фвзовые скорости акустических волн в смектиках при произвольном соотношении между модулями А, В, С. Решение. Продифферепцировав уравнение (47.3) по С и исключив производные др'/дг и дн/дг с пол|ощью (47.Ц, (47.2), получим уравнение д ч ди. ( д д и,) = Ат7 с(1ч ч — СT —" 4- и ~ — С вЂ” |йч ч -> В д12 дв ~ дв двв ~ Для плоской волны, в которой ч Р2 ехр(2(сг — кЛ), зто уравнение сводится к соотношению -|и ч = -Ак(кч) -1- Скк,и.- + п(С(с,(кч) — Вк~и.]. (1) пусть волновой вектор 1| расположен в плоскости тв. тогда из (1) следует, что и скорость ч находится в той же плоскости, а х- и 2-компоненты дают систему двух уравнений и.

(св — (А Р — 2С) сов| д) -Р и (С вЂ” А) вш д сов д = О, и,(С вЂ” А) в|и дсовд -Р и,,(с — Ав(п д) = О, где с = ы7к — скорость волны, а д — угол между к и осью 2. Приравняв нулю определитель этой системы, получим дисперсионное уравнение с — с (А 4- ( — 2С) сов д) -1- (А — Св) в1п' д сов д = О. Ан' при с| = (А -1-  — 2С)'|~ при д =х/2, д = О. Скорость же с2 в этих направлениях обращается в нуль. Болыпий и меньший корни этого квадратного (по св) уравнения определяют скорости с| и с|. Б частности 257 1 47 3Вук В смектиклх 2.

С учетом диссипации определить закон дисперсии второй акустической ветви при распространении в плоскости слоев (и = я7'2). Решение. В условиях задачи скорость ч направлена по оси з, а все величины зависят от к.Проецируя уравнение (46.13) на ось -,получаем — 1е ре = — Кзй и 4- 11зп„, 4 (2) С помощью (41.7) находим 1к9з и с. 2 Легко проверить, что ввиду малости параметра Кзр/Лзз (ср. с (42.7)) можно пренебречь левой частью (2), а эффекты просачивания при малых й несущественны, так что ь' = — 1зои.

Окончательно получаем закон дисперсии: 2Кз 1то = цз 3. ЧЪ же для распространения перпендикулярно плоскости слоев (д = = 0). Решение. Условие несжимаемости приводит в этом шзучае к тому, что т = 0 и движение смоктика происходит только путом просачивания. Из (46.5) и (46.14) имеем тогда ди да или гш = Л„рВЙ . У1ы пренебрегли в (46.14) членом с градиентом температуры. Это возможно, если температура релаксирует быстрее, чем смещение и, т.

е. если уйз » ЛгрВ. В этом случае, однако, нужно понимать под В изотермический модуль упругости. 9 Л. Д. Ландау, Е.Л4. Лифшиц, том УВ ПРЕДМЕТНЫЙ з7КАЗАТЕЛЬ ') Коэффициент всестороннего сжатия 24 — Пуассона 26 — — смектика 244 — теплового расширения 29, 59 Коэффициенты Лама 22 Вигармоническое уравнение 32, 38 Бесстолкновительная ударная волна 189 Вектор Бюргерса 158 — директора нематика 200 — — смектика 243 смещения 9 Волны изгиба 146 Релея 140 — сдввговыо 230 Геликоидальная структура 236 Грина тензор 43, 45 — — смактика 245 Групповая скорость 138 Нематиков кручение 202 — поперечный изгиб 202 — продольный изгиб 202 Нейтральная поверхность 63, 98 Неустойчивость упругая 88, 112, 125 — — смектика 247 Одностороннее сжатие 28 Отражение звука 133 и далее 2Кесткость крутильная 95 — при изгибе 68, 116 - цилиндрическая 68 Индекс Франка 207, 215 Клиновидная пластинка 76 Комбинационные частоты 153 Контактная задача 46 -- для цилиндров 52 Концентрация напряжений 40, 78 ы ) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его.

В указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в оглавлении. Деформация дигка 75 и далее — цилиндра 35 и далее -- шара 34 и далее Дисклинаций устойчивость 214, 217 Дислокаций плотность 173 - потока 176 Дислокационная поляризация 177 Дислокационный момент 162, 176 Дислокация винтовая 158, 163, 164, 172, 258 краевая 157, 172, 165, 258 Диссипатнвная функция 187, 188, 221, 224, 253 Дисторсии тензор 159, 174 Максвелловская жидкость 198 Мембрана 83, 85, 150 Модули адиабатические 30, 204, 237 всестороннего сжатия 22 — изотермические 29, 204, 237 — растяжения (Юнга) 26 — сдвига 22 упругости кристаллов 53 — — нематиков (Франка) 201 — — смоктиков 242, 243, 246 Молекулярное поле 203 Параметр, пространство вырождения 216 Переползание 170 Пластическая деформация 19, 169, 174 Плоская деформация 32 Плоское напряженное состояние 74 Плоскость скольжения 168, 176 Поверхностное натяжение 72 Поверхность скольжения 168 Принцип Онсагера 188, 227, 238, 253 259 пгвдыетный тказатель Просачивание 239, 250, 252, 257 Простое натяжение 25 Сдвиг 22 Сила перерезывающагг 116 — трения дисклинации 229 Скорость звука 132, 230, 255 Собственные колебания мембраны 150 — — пластинки 150 — — полости 136 — — стержня 148 шара 136 Столкновение шаров 52 Терыодинамические потоки и силы 227, 238, 253 Тождества для тензора дефорлгации 38 Упругая линия 101 - .

нить 114 †. плоскость 74 — струна 119 Упругие деформации 19 Функция кручения 92 — напряжений 33, 38, 74 Энергия взаимодействия дислокаций 172 — дисклинации 213 — дислокации 164 Учебное издание ЛАНДАУ Лев Давидович ЛИФШИЦ Евгений Михайлович ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ (Серия: «Теоретическая физика», том ЪП) Редакгор: Д.

А. Миртова Оригинал-макет: Ст. Ю. Мельников ИР №071930 от 06.07.99 Подписано в печать 10.07.01. Формат ббх90 Не Бумага офсетная № 1. Печать офсетная Уел. печ. л. 16,5. Уч.-изд. л. 15,3. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117864 Москва, Профсоюзная ул., 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист». 160001, г.

Вологда, ул. Челюскинцев, 3. Тела (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс 18172) 72-60-72. Е-та11: 1огт.р1рйгосе1.гп Ьсср:Ожич«.то!абба/ р1рт тези 5 -9221 -0122 -6 785922 101226 .