VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

Искомая система уравнений содержит наряду с зремя у'равнЕпиями =О (1) дхг„. еще уравнения, являющиеся следствием того факта, что шесть различных компонент и,л. не яюляются независимыми величинами. Для вывода этих уравнений пишем спасала систему дифференциальных соотношений, которым удовлетворяют компоненты тензора и,л.. Легко видеть, что величины 38 ОСНОВИЫВ УРЛВГ2ВНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ г'л. ! Подставляя сюда и,ь, выраженное через с~,ь согласно (5.12), и учитывая (1), получим искомые уравнения (1+ п)2хп,е + = О. Ж дх, дхь Эти уравнения остаются в силе и при наличии постоянных вдоль тела внешних обьемных сил.

Упростив уравнение (3) по индексам г, к, найдем, что гэпгг = О, т. е. пп - . гармоническая функция. Применив же теперь к этому уравнению операцию Ь,найдем,что гз2эсг,е = О, т. е. компоненты п,е -- бигармонические функции; эти результаты следуют, впрочем, уже непосредственно из (7.6) и (7,7) вви,лу линейной связи между ам и и,е. 10. Выразить общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объемных сил) через произвольный бигармонический вектор (Б.П Галеркин, 1930). Решение. Естественгго искать решение уравнения (7.4) в виде п = 222"-Р Абгас) ЖУК. Отсюда г))уп = (1+ А) г1п 2эг. Подставляя это в (7.4), получим (1 — 2п)гагаг -Р )2(1 — о)А Р 1) ягаг) О)у 2аг = О.

Отсюда видно, что если à — произвольный бигармонический вектор 2з2у Г = О, го 1 П = 2ЭГ— бгас) с1В Г. 2(1 — и) 11. Выразить напряжения и„, ПРР, п, при плоской деформации (22 полярных коордглнатах г, уг) в виде производных от функции напряжений. Р е ш е н и е. Поскольку искомые выражения не могут зависеть от выбора начала отсчета полярного угла Эг, то они ие содержат его явным образом. Поэтому можно применить следующий прием: преобразуем декартовы производные (7.10) в производные по переменным г, х, после чего замечаем, что гг,т = и„, сгяг = ггэю пг„= гг„„пРи Зг = 0 (угол лг отсчитывается от оси х). Таким образом, получим 1дх 1 д-'х д-'х д /1дх У п,„= — — -Р— ГГР гд,,2дЗ,2' Р дг2' " д, 1,, д,р) 12.

Определить распределение напряжений в неограниченной упругой среде с шаровой полостью, подвергаемой (на бесконечности) однородной деформации. Решение, Общая однородная деформация может быть представлена в виде наложения однородного всестороннего растяжения (или сжатия) и однородного сдвига. Первое было рассмотрено в задаче 2, так что достаточно рассмотреть однородный сдвиг. уРАВнения РАВИОВеоия изОтРОпиых тел Подставив это выражение в уравнение (7.4), получим П вЂ” 2а), -Р— — = 12(1 — 211)с -Р (А Р 2с))аы — — — О, д'и, д ди1 (о1 д 1 дхз дх, дх1 дх, дхо дх1 т откуда А = — 4С(1 — 1т). Еще два соотношения между постоянными А, В, С получаются из условия на границе полости: а, +а,,)тщ=О при Р=Л (' ') 1о> <ц1 (зь -- радиус полости, начало координат выбрано в ее центре, и -- единич- ный вектор в направлении г), Довольно длинное вычисление с помощью П) приводит к следуЮщим значениям: отдз11 с, ) 2Е(7 — 5а) СВ' Окончательное выражение для распрсдоления напряжений гласит: Ю вЂ 1 )(Л) 3 (Я) ~ 1о> + ~ — ) а — ) — ) (а,1 поп1 + а,1 п1п,) + 7 — 5о хт) ~ 'хт) ) + — — 5+ 7 — а, п1и,„п,и1,.

+ 2(7 — 5а) хт) ~ ~,т) ) " (5)'~ -"-(-")'~ --"-- Для того чтобы получить распродолоние напряжений при произвольных 1о> 1о> <о~ (не чисто сдвиговых) а, надо заменить в этом выражении а, на а, Пусть а,„— однородное поле напряжений, которое имело бы место во 1о1 1о1 всем пространстве при отсутствии полости; при чистом сдвиге ао = О. Соответствующий вектор смещения обозначаем как И1~1 и ищем искомое решение в виде и = п1~1-Р ИО1, где обусловленная наличием полости функция пд1 исчезает на бесконечности. Всякое решение бигармопичоского уравнения может быть написано в виде линейной комбинации центрально-симметрических решений и их производных различных 1юрядков по координатам, Независимыми центрально- симметрическими решениями являются тз, т, 1/т, 1.

Поэтому наиболее общий вид, который может иметь би1армонический вектор ИО1, зависящий, 1о1 как от параметров, только от компонент постоянного тснзора а~„~ и обращающийся в нуль на бесконечности, есть дз дз и) ~ = Аа~ ~ — + Вао,~ — + Са~,,~ т. (1) дхо т ' дх,дхсдх1т ' дх,дхьдх1 ОСИОВИЫВ УРЛВПЕИИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Г'Л ! — — д,> и и прибавить выражение 1 1а1 3 — и ~5,Р-Р— (5,ь-зп,пь)], 1 .о.1 Ла 3 1 '2тз соответствующее равномерному однородному растяжению на бесконечности (ср. задачу 2). Выпишем здесь результат, получщощийся в общем случае для напряжений на границе полости: о,г = (1 — о)(о,„— ои п>пь — оы щп,) + а >ипо,п,пав 15 1 1о1 1о1 1о1 <ох 7 — 5о ( 1о1 5о — 1 1о1 — оо> п>п,об,ь+ >тп (д,ь — п,пь)~. 10 Вблизи отверстия напряжения значительно превышают напряжения на бесконечности, причем это увеличение напряжений имеет резко выраженный местный характер, быстро убывая с расстоянием (так называемая концентрация напряжений у отверстия).

Так, если среда подвергается простому <о1 однородному растяжению (отлично от пуля только а~,~), то наибольшие напряжения будут иметь место на экваторе полости, причем здесь 27 — 15п 1о1 и и,, 2(7 — бп) 8 8. Равновесие упругой среды, ограниченной плоскостью Рассмотрим упругую среду, заполняющую бесконечное полу- пространство, т. е. ограниченную с одной стороны бесконечной плоскостью. Определим дефортиаци>о среды под влиянием сил, приложенных к ее свободной поверхности ' ).

Распределение этих сил должно удовлетворять только одному условии>: они должны исчезать на, бесконечности так, чтобы на бесконечности деформация отсутствовала. Для такого случая уравнения равновесия могут быть проиптегрированы в общем виде (Х Воиззгт>сзг7, 1885). Во всем объеме, занимаемом средой, имеет место уравнение равновесия (7.4) (8.1) йгадейуп+ (1 — 2ст)Ьп = О. Будем искать решение этого уравнения в виде (8.2) и = 1'+ (77>, > Наиболее прямой и стандартный метод решения поставленной задачи заключается в применении к уравнению (8.Ц метода Фурье. При этом, однако, прихозщтся вычислять довольно сложные интегралы.

Излагаемый ниже метод, основанный на применении ряда искусственных приемов, связан с более простыми вычислениями. 1 8 елвиоввсив тгвигон стелы, огглпичвиной плоскостью 41 где 1о некоторый скаляр, а вектор 1 удовлетворяет уравнению Лапласа (8.3) Подстановка (8.2) в (8.1) приводит тогда к следующему уравнению для ~р: 2(1 — о)Ьр = — йт Г. (8.4) Выберем свободную поверхность упругой среды в качестве плоскости хр; области среды соответствуют положительные в. Напишем функции 7 и 4п в виде производных по и от некоторых фУпкции 8и и Яу.

д~„ (8.5) дв ' Поскольку 7 и Д - гармонические функции, то можно всегда выбрать функции 8„, иа так, чтобы и они удовлетворяли уравнению Лапласа: дв Л8, =0, Л8„=0. (8.6) Уравнение (8.4) принимает теперь вид 2(1 — о)Ь~р = — — ( — '+ — "+ (; ~Я„ д ( д д Имея в виду, что нт, д,„, (; - - гармонические функции, легко убе- диться в том, что удовлетворяющая этому уравнению функция у может быть написана как К.. + Ку 4(1 — а) 1 дх ди,/ (8.7) где ~)~ опять гармоническая функция: (8.8) Таким образом, задача об определении деформации н сведена к нахождению фУнкций 8т, 8ю („ф, котоРые все УдовлетвоРЯют уравнению Лапласа. Выпишем теперь граничные условия, которые должны выполняться на свободной поверхности среды (на плоскости и = 0).

Поскольку единичный вектор внешней нормали и направлен в отрицательном направ.пении оси г, то, согласно общей формуле (2.9), должно быть о1, = — Р,. Воспользовавшись для е,ь общим выражением (5.11) и выражая компоненты вектора н через вспомогательные величины 8 ., 8к, („ф, полУчим после пРостого !'Л. ! ОСНОВИЫВ УРЛВПВИИИ ТЕОРИИ УПРУ!'ОСТИ вычисления граничные условия в следуюплезл виде: , о дх '1211 — ) 2(1 — ) л,дх ду( дх)!, о 2(1 -ь о ) Р Е (8.9) — — ~*+:У +2 — ' 2 дау + дх' с=о 2(1-Ь !Х) Р у ".