VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

На боковой поверхности стержня внешние силы отсутствуют, отКуда СЛЕдуЕт, ЧтО ОРВГ1Ь = О. ПОСКОЛЬКУ ЕдИНИЧНЫй ВЕКтОр и На боковой поверхности перпендикулярен к оси в, т. е. имеет только компоненты и, пю то отсюда следует, что все компоненты о,;~, за исключением только ок„равны нулю. На поверхности концов стержня имеем и,;т11 = р, откуда о„= р. Из общего выражения 14.8), связывающего компоненты те~- зоров деформации и напряжений, мы видим, что все компоненты и,ь С 1 ~ Й РаВНЫ НУЛЮ. ДЛЯ ОСтаЛЬНЫХ КОМПОНЕНТ НаХОДИМ и = и,„= — — ( — — — ) р, и„= — ( — + — ) р.

15.1) 11 1 компоненты тензора деформации как функции координат не являются вполне независимыми величинами, поскш1ьку шесть различных компонент н,ь выражаются чорез производные всего трех независимых функций — компонент вектора и 1см. задачу 9 З 7). Но шесть постоянных величин в,г могут быть в принципе заданы произвольным образом. ОСИОВИЫВ УРХВГГВНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ г'л. ! Компонента и„определяет относительное удлинение стержня вдоль оси ю Коэффициент при р называют коэффициентом растяжения, а обратную величину - модулем растяжения (или модулем Юнга) Е: (5.2) где Е= (5.3) ЗК-Уд Компоненты и и и„„определяют относительное сжатие стержня в поперечном направлении.

Отношение поперечного сжатия к продольному растяжению называют коэффициентом 11уассонаст ); где 1ЗК вЂ” 2д (5.5) 2 Зй-~й Поскольку К и сс всегда положительны, то коэффициент Пуассона может меняться для различных веществ только в пределах от — 1 (при К = О) до 1с2 (при сс = О). Таким образом г), — 1(сг( —. (5.6) 2 Наконец, относитс".льнов увеличение объема стержня при его растяжении равно (5 7) Свободную энергию растянутого стержня можно написать, воспользовавпгись непосредственно формулой (4.10). Поскольку от нуля отлична только компонента сг„г то 1 Е= — „и„= Р 2 2Е (5.8) В дальнейшем мы будем пользоваться, как это обычно принято, величинами Е и и вместо модулей К и йе Эти последние, ') Обозначение коэффициента Пуассона через о, а компонент тензора напряжений через сг,ь не может привести к недоразумению, поскольку последние, в отличие от первого, всегда имеют индексы.

) Фактически коэффициент Пуассона меняется только в пределах от О до 1гг2. В насгоащее вРемЯ неизвестны тела, У котоРых было бы о < О., т, е. которые бы утолщались при продольном растяжении. Укажем также, что неравенству гг > О отвечает Л > О; другими словами, всегда положительны оба члена не только в выражении (4.3), но и в (4.1), хотя это и не требуется тормодинамикой. Близкие к 1/2 значения и (например, у резины) соответствуют модулю сдвига, малому по сравнению с модулем сжатия. Од!!ОРОдиык дяФОРмации а также второй коэффициент Ламэ Л выражаются через Ь и п формулами Л = , )х = , Л = . (5.9) (1 — 2ст)(1 -~- сг) 2(1 -~-а) 3(1 — 2сг) Выпишем здесь общие формулы предыдущего параграфа с коэффициентами, выраженными через Е и п.

Для свободной энергии имеем Г = (и;~+ и~~) . (5.10) 2(1 + и) 1 ' 1 — 2сг Тензор напряжений выражается через тензор деформации согласно п,в = игв + инбгьт1 . (5.11) 1Ьсг ' ' 1 — 2п Обратно игв = — ((1 + п)пгь — ппссбгь1 1 (5.12) Е Поскольку формулами (5.11) и (5.12) приходится постоянно пользоваться, выпишем их здесь для удобства в расписанном по компонентам виде: — п)и,х + ст(ирр + ихг Я, Е Е Охг ихгг Орг— 1+и ' 1+и и обратные формулы; 1 Š— (п — п(прр + о„)1, 1 Š— (прр — п(п + пхх)), 1 — (п — п(п + прр)), Е 1-Р и 1+ сг ихг Е " Е стх, и„,= о,.

игх = ир„= (5.14) 1-~- и ихр Е стхр г Рассмотрим теперь сжатие стержня, боковые стороны которого закреплены так, что его поперечные размеры не могут меняться. Внешние силы., производящие сжатие стержня, приложены к его основаниям и действуют вдоль его длины, которую мы Е (1+ П1 Е (1-Р п)(1 Е (1+ Н1 Е ох = — их р ' рг ((1 — 2сг) Н1 — 2сг) ((1 — 2п) — п)ирр + п(и + и„)), (5.13) — п)и„+ п(ихх + ирр))г 28 л'л ! ОСЛЛОВНЫЕ УРЛВЛЛЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Егг Е(1 — лг) гтии = Гттуу гтгт = игл (1 -~- гт) (1 — 2гт) (1 -~- лг)(1 — 2гт) Обозначая опять сжимающую силу через р (лт„= р, р отрица- тельно при сжатии), имеем (1 + гтН1 — 2лг) и„= р Е(1 — гг) (5.15) Коэффициент при р называется коэффициентом одностороннего сжатлия.

Для напряжений, возникающих в поперечном направле- нии, имеем Н лт =о„=р 1 — лг Наконец, для свободной энергии стержня имеем (5.16) 2 (1 + гт)(1 — 2гт) Р=р 2Е(1 — т) (5.17) 8 6. Деформации с изменением температуры Рассмотрим теперь деформации, сопровождающиеся изменением температуры тела; изменение температуры может происходить как в результате самого процесса деформирования, так и по посторонним причинам. Будем считать недеформированным состояние тела при отсутствии внешних сил при некоторой заданной теушературе ТО.

Если тело находится при температуре Т, отличной от Тд, то даже при отсутствии внешних сил оно будет, .вообще говоря, деформировано в связи с наличием телллового расширения. Поэтому в разложение свободной энергии Г(Т) будут входить не только квадратичные, но и линейные по тензору деформации члены. Из компонент тензора второго ранга и,ь можно составить всего только одну линейную скалярную величину .

сумму ав его диагональных компонент. Далее мы будем предполагать., что сопровождающее деформацию изменение Т вЂ” То температуры мало. Тогда можно считать, что коэффициент при итт в разложении Р (который должен обращаться в нуль при Т = То) просто пропорционален разности Т вЂ” То. Таким образом, получим для свободной энергии следующую формулу (заьленяющую (4.3)): Р(Т) = Ро(Т) — Ко(Т вЂ” Тв)ип+ р (иль — — бльплл) + — илл, (6.1) опять выберем в качестве оси ж Такую деформацию называют односторонним сжатием.

Поскольку стержень деформируется только вдоль оси г, то из всех компонент ить от пуля отлична только и„. Из (5.13) имеем теперь ДЕФОРМАЦИИ С ИЗУ!ИИИИИЕМ '!'ЕМПЕРАРУРЫ где коэффициент при Т вЂ” То написан в виде — Хсс Величины 1!, Л, сг надо считать здесь постоянными; учет их зависимости от температуры привел бы к величинам высшего порядка а!алости. ДнффЕРЕНЦИРУЯ Р' ПО игю ПОЛУ ЧИМ тЕНЗОР НаПРЯжЕНИй. Имеем !!1, = — Ксг(Т вЂ” То)дгь + Кг!нгггь + 2р(иь — -6ьи! г (62) 1- 3 ' Первый член здесь представляет собой дополнительные напряжения, связанные с изменением температуры тела. При свободном тепловом расширении тела (при отсутствии внешних сил) внутренние напряжения должны отсутствовать.

Приравнивая о,ь нулю, найдем, что иш имеет вид: сопвс бгъг причем ии = о(Т вЂ” То). Я(Т) = $о(Т) + Ксгин. (6.4) Приравняв это выражение постоянной, можно определить изме- пение температуры при деформации, которое оказывается про- порциональным ин! — "(Т вЂ” То) = — Л с!и!!. С,. т. (6.5) Подставив это выражение в (6.2), получим для о,ь выражение обычного типа 1 огв = Кгг!ипгУгь + 21! (игь дгьин) (6.6) с тем же модулем сдвига, но с другим модулом сжатия Кю!. Связь адиабатического модуля Л„д с обычныы, изотермическим Но глн представляет собой относительное изменение объема при деформации. Таким образом, гт является нс чем иным, как коэффициентом теплового расширения тела.

Среди различных (в термодинамическом смысле) типов деформаций существенны изотермические и адиабатические деформации. При изотерыических деформациях температура тела не меняется. Соответственно этому в (6.1) надо положить 7" = 7о, и мы возвращаемся к обычным формулам:, коэффициенты К и р, можно поэтому назвать изотерлгическими модулями.

Адиабатическими являются деформации, при которых не происходит обмена теплом между различными участками тела, а также, конечно, и между телом и окружающей средой. Энтропия Я остается при этом постоянной. Как известно, энтропия равна производной — дР(дТ ог свободной энергии по температуре. Дифференцируя выражение (6.1) г находим с точностью до членов первого порядка по и,Р г'л. ! ОСНОВИЫН УРЛВПВНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Кад 2 / 1 Е = — и11 + )г ~ и,ь — -ии1,И1 2 3 16.10) ') Длн того чтобы получить зти формулы из 19.5), 1б.б), надо было бы использовать егде и известную термодинамическую формулу Ср — С„= ТоаК. модулем Х можно, однако, найти и непосредственно по общей термодинамической формуле ( — „').=( ). —:,( Г), 1Ср теплоемкость при постоянном давлении, отнесенная к еди- нице объема тела). Если понимать под 1г объем, занимаемый ве- ществом, находившимся до деформации в единице обьема тела, то производные д1'/дТ и д1'/др определяют относительные из- менения объема соответственно при нагревании и при сжатии.

Другими словами, Таким образом, получаем для связи между адиабатическими и изотермическими модулями ) То' — — — рад = р. 16.7) Кад К Ср Для адиабатическии модуля растяжения и коэффициента Пуассона легко получаем следующие соотношения: Е и -~- ЕТО 119СР) (6 6) 1 — ЕТОеД9СР) 1 — ЕТО~719СР) В реальных случаях величина ЕТо /Ср обычно мала, и поэтому 2 с достаточной точностью можно написать: Е д —— Е+ Ев ', п,д — — сг+ (1+ Гг)Е .

(6.9) 9СР 9С„ При изотсрмической деформации тензор напряжений выра- жается в виде производных от свободной энергии: пи=(,' ) При постоянной же энтропии надо написать 1сьь 13.6)): оса= ( ) где Е -- внутренняя энергия. Соответственно этому при адиаба- тических деформациях выражение, аналогичное 14.3), определя- ет не свободную энергию, а просто внутреннюю энергию единицы объема тела: уРАВнения РАВВОВесия иэотРОпиых "тел й 7. Уравнения равновесия изотропных тел Егт дии Е ди е + дхс (1+и)(1 — 2В) дх, 1+сг дхА 1 г'дгг, ди11 Подставляя сюда игл = — ( — '+ — ), получим уравнения рав- 2 дхс дх, новесия в виде '+ Е д ' +Ре;.=О. (7.)) 2(1 + сг) дхт 2(1 + гт) (1 — 2гт) дх, дхг Эти уравнения удобно переписать в векторных обозначениях. В этих обозначениях величины дзи,/дхэ являются компонентами вектора Ьп, а дисггдхс = с)суп.