VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Все термодинамические величины мы будем в дальнейшем везде, кроме гл. у'1 относить к единице обьема ггедеформглровганпого тела, т. е. к заключенному. в нем количеству вещества, которое после деформирования может занять обьем, несколько отличный от первоначального обьема. Соответственно этому, например, полная энергия тела получается всегда интсгрированисм б по объему недеформированного тела. Бесконечно малое изменение ггс внутренней энергии равно разности полученного данной единицей объема тела количества тепла и произведенной силами внутренних напряжений работы гИ.

Количество тепла равно при обратимолг процессе Тс1Я, где Т температура. Таким образом, дб = ТггЯ вЂ” дЛ; взяв г1Л из (3.1), получим с1б = ТсЖ + огь с1гггь. (3.2) Это основное термодинамическое соотношение для деформируемых тел. При равномерном всестороннем сжатии тензор напряжений равен гтгь = — ранга (2.6). В этом случае аггь г1пгь = г хгь с1г"гь = рс1ггн Но мы видели (см. (1.6)), что сумма им представляет собой относитезгьное изменение обьема при деформировании.

Если рассматривать единицу объема, то и„будет просто изменением этого объема, а дигг элементом г1'гм этого изменения. Тсрмодинамическое соотношение принимает тогда обычный вид: Ю =Т 1Я-рт (3.2а) Вводя вместо энергии О свободную энергию тела Г = б — ТБ, переписываем соотношение (3.2) в виде ггг" = — Я ггТ + О гь г1иггп (3.3) Наконец, термодипамический потенциал Ф тела определяется как Ф = б — ТБ — агъигь = Š— адьпгы (3.4) Это — обобщение обычного выражения Ф = б' — ТЯ + рГ ).

) При всестороннем сжатии выражение (3.4) переходит в Ф =Р'+ргг., = Р -Рр(Р-~:е), где г' — 'Ро — изменение объема в результате деформации. Отсюда видно, что принимаелюс нами здесь определение Ф отличается от применяемого обычно в термодинамике Ф = г + рц членом — ргге. элкоп Гукл Подставив (3.4) в (3.3), находим дФ = — ЯЙТ вЂ” и!ваап,ы (3.5) Независимыми переменными в (3.2) и (3.3) являются соответственно о', и!ь и Т, и,ь. Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя Ь' или г' по компонентам тензора деформации соответственно при постоянной энтропии Я или температуре Т; о!ь=( — ) =( — ) (3.6) Аналогично, дифференцируя Ф по компонентам !!пи можно получить компоненты и!ь! и;ь = — ( — ) (3.7) й 4.

Закон Рука Для того чтобы иметь возможность применять общие термодинамические соотношения к тем или иным конкретным случаям деформаций, необходимо иметь выражение для свободной энергии тела г' как функции от тензора деформации. Это выражение легко получить, воспользовавшись малостью деформаций и соответственно этому разложив свободную энергию в ряд по степеням и!ь. При этом мы будем пока рассматривать только изотропные тела; соответствующие выражения для кристаллов будут получены ниже, в З 10. Рассматривая деформированное тело, находящееся при некоторой (постоянной вдоль тела) температуре, мы будем считать недеформированпым состояние тела при отсутствии внешних сил при той же температуре (эта оговорка необходима ввиду теплового расширения; см.

подробнее 3 6). Тогда при иьь = О должны отсутствовать также и внутренние напряжения, т. е. должны быть и!ь = О. ПосколькУ и!ь = д7г/ди!ь, то отсюда следУет, !то в разложении Р по степеням !!!ь должны отсутствовать линейные члены. Далее, поскольку свободная энергия является величиной скалярной, то и каждый член в разложении г тоже должен быть скаляром.

Из компонент симметричного тепзора и!ь можно составить два независимых скаляра второй степени; в качестве них можно выбрать квадрат ии суммы диагональных компонент и 2 сумму и!„квадратов всех компонент тензора и!ы Разлагая Г по 2 степеням и!ь, мы получим, следовательно, с точностью до членов второго порядка выражение вида 1' = -со + — и'ч + рай (4.1) Г'Л ! ОСНОВИЫВ УРЛВПЯНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1 Л 1 слгг = (исг — — Ьгвип( + — б,ьил. 14. 2) Первый член справа представляет собой, очевидно, чистый сдвиг, посксльку сумма его диагональных членов равна нулю снапоминаем, что вп = 3). Второй же член связан со всесторонним сжатием. В качестве общего выражения для свободной энергии деформированного изотропного тела удобно написать вместо 14.1) другое, воспользовавшись указанным разложением произвольной деформации на сдвиг и всестороннее сжатие.

Именно, выберем в качестве двух независимых скаляров второй степени суммы квадратов компонент соответственно первого и второго членов в 14.2). Тогда Г будет иметь вид 1) ( 1 12 К2 г" = 1т ись — — д,ьип) + — исс. 3 2 14.3) Величины К и 1т называют соответственно модулем всестороннего сжагпсэя и модулем сдвига; К связано с коэффициентами Ламэ соотношением к=л+'„, 14.4) 3 ) Постоянный член ге - свободная энергия недеформированного тела в дюсьиейюем не будет нас интересовать. Поэтому мы будем для краткости всегда опускать его, подразумевая под г одну только интересующую нас свободную энергию деформации или, как говорят, упругую свободную энергию. Это есть общее выражение для свободной энергии деформированного изотропного тела.

Величины Л и 1с называют коэффициента„ми Лама. Мы видели в 3 1, что изменение объема при деформации определяется суммой и„. Если эта сумма равна нулю, то это значит, что при деформировании объем данного тела остается неизменным и меняется только его форма. Такие деформации без изменения объема называют сдвигом. Обратным случаем является деформация, сопровождаклцаяся изменением объема, но без изменения формы.

Каждый элемент объема тела при такой деформации остается подобным самому себе. Из 3 1 следует, что тензор такой деформации имеет виД иса = сопв1 Б,Ы ТакУю ДефоРмаЦию называют всестоРонним слсапсием. Всякую деформацию можно представить в виде суммы деформаций чистого сдвига и всестороннего сжатия. Для этого достаточно написать тождество злкоп гикл АР = Киц Йиц + 2ц (и;ь — — ицбц ) д ( и,ь — — ицб,~ь . Во втором члене умножение первой скобки на бт, дает нуль, так что остается 1 дР = Киц Йиц + 2р (и,ь — -ицбр) Йи,ь 3 или, написав диц в виде б;вами,ы йР = ~Кицб,ь + 2д (и;~ — — ивб,ь)1 йи,ы 1 3 Отсюда имеем для тензора напряжений 1 п,ь = Хицбгь + 2д (и,ь — — б;ьиц ~.

3 (4. 6) Это выражение определяет тснзор напряжений через тензор деформации для изотропного тела. Из него видно, что если деформация является чистым сдвигом или чистым всесторонним сжатием, то связь между пц, и и;ь определяется соответственно одним только модулем сдвига или модулем всестороннего сжатия. Нетрудно получить и обратные формулы, выражающие иц„.

через п,ы Для этого найдем сумму диагональных членов пи. Поскольку для второго члена (4.6) эта сумма обращается в нуль, то оц = ЗКи„или 1 и„= — т„. (4.7) ЗК В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия, как известно, минимальна. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то Р как функция от и,ь должно иметь минимум при и;ь = О.

Это значит, что квадратичная форма (4.3) должна быть положительна. Если выбрать тензор и,ь таким, что иц = О, то в (4.3) останется только первый член; если же выбрать тензор вида и;~ = сопв1 б;~, то останется только второй член. Отсюда следует, что необходимым (и, очевидно, достаточным) условием положительности формы (4.3) является положительность каждого из коэффициентов К и р.

'Таким образом, мы приходим к результату, что модули сжатия и сдвига всегда положительны: К>О, В~О. (4.5) Воспользуемся теперь общим термодинамическим соотношением (3.6) и определим с его помощью тензор напряжений. Для вычисления производных дР~ди,ь напишем полный дифференциал цР (при постоянной теъшературе). Имеем г'л ! ОСНОВИЫВ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Подставляя это выражение в (4.6) и определяя оттуда нее, находим 1 1 7 1- 1йа = — Воа ПП + — ~ В Ь вЂ” -В ЬВ~ ) Н.8) 97Г 2д 3 что и определяет тснзор деформации по тензору напряжений.

Равенство (4.7) показывает, что относительное изменение объема и,, при всякой деформации изотропного тела зависит только от суммы ан диагональных компонент тензора напряжений, причем связь между и1, и аи определяется только модулем всестороннего сжатия. При всестороннем (равномерном) сжатии тела тензоР напРЯжений имеет вил сг,.е = — Рд,ы ПоэтомУ в этом случае имеем из (4.7): агг = (4.9) Поскольку деформации малы, то ин и р -- малые величины, и мы можем написать отношение и„/рм относительного изменения обьема к давлению в дифференциальном виде; тогда Величину 1/Ь называют коэффициентом всестороннего сжатия (или просто коэффициентом сжатия). Из (4.8) мы видим, что тензор деформации иик является линейной функцией тепзора напряжений стим Другими словами, деформация пропорциональна приложенным к телу силам.

Этот закон, имеющий место для малых деформаций, называют законом Гука '). Приведем еще полезную форму выражения для свободной энергии деформированного тела, получающуюся непосредственно из квадратичности г' по тензору деформации. Согласно теореме Эйлера имеем игь = 2Г, аг ди,е откуда, ввиду того что дГ(дп1ь = гг,ь, о,еиы 2 (4.10) ЕСЛИ В ЭтУ ФОРМУЛУ ПОДСтаВИтЬ иию ВЫРажЕННЫЕ В ВИДЕ ЛИ- нейных комбинаций козшонент вею то упругая энергия будет ') Фактически закон Гука применим ко всем упругим деформациям.

Дело в том, что деформации обычно перестают быть упругими еаце тогда, когда они настолько малы, что закон Гука является достаточно хорошим приближением (исключение представляют тела типа резины). 25 ОДПОРОДПЫВ ДВФОРМАЦИИ представлена как квадратичная функция величин о1ы Снова применяя теорему Эйлера, будем иметь сгнв = 2Г, дг д1Г, 1: и сравнение с 14.10) показывает, что 1тге др (4.11) дпы Следует, однако, подчеркнуть, что, в то время как формула а,ь = = дР1/ди,ь является общим термодинамическим соотношением., справедливость обратной формулы 14.11) связана с выполнением закона Рука.

й 5. Однородные деформации Рассмотрикл несколько простейших случаев однородных деформаций, т. е. деформаций, при которых тензор деформации постоянен вдоль вс1рго объема тела '). Однородной деформацией является, например, уже рассмотренное нами равномерное всестороннее сжатие. Рассмотрим теперь так называемое простое растлоюепие (или сжатие) стержня. Пусть стержень расположен вдоль оси в и к его концам приложены силы, растягивающие его в противоположные стороны. Эти силы действуют равномерно на всю поверхность концов стержня; сила, действу.к1щая на единицу поверхности, пусть будет р. Поскольку деформация однородна, т. е. и;ь постоянны вдоль тела, то постоЯнен также и тензоР напРЯжений стип а поэтомУ его можно определить непосредственно из граничных условий 12.9).