VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 6

Таким образом, уравнения рав- новесия приобретают вид Ьп+ игас(с)снп = — ри 1 . 2(1 -Р сг) 1 — 2гт Е (7.2) Иногда бывает удобным писать это уравнение в несколько ином виде, воспользовавшись известной формулой векторного анализа: атас(с(суп = Ахи+ го(го1 п. Тогда (7.2) приобретает вид игас) 1)сеи п — го1 го1 п = — ри . (7.3) 1 — 2а (1 -Р гт)(1 — 2а) 2(1 — и) Е(1 — гг) Мы пишем уравнения равновесия в однородном поле сил тяжести, имея в виду, что последние являются наиболее обычными в теории упругости объемными силами.

При наличии каких-либо иных объемных сил вектор ри в правой части уравнения должен быть заменен соответствующей другой плотностью обьемных сил. Наиболее существен случай, когда дсформаиия вызывается не обьемными силами, а силами, приложенными к поверхности тела. Тогда уравнение равновесия гласит (1 — 2о)Ьп+ кгас(с(суп = О (7.4) Выведем теперь уравнения равновесия изотропных твердых тел. Для этого надо подставить в общие уравнения (2.7) дгг,1 + , — О дх1,. выражение (5.11) для тензора напряжений. Имеем ОСНОВНЫН УРЛВИВНИЯ "1'ЬОРИИ УПРУГОСТИ 1'Л ! или в другом виде 2(1 — сг) ягас) с))у и — (1 — 2о) го$ го1 и = О. (7.5) Внешние силы входят в решение только через посредство граничных условий.

Применяя к уравнению (7.4) операцию с)!у и помня, что с)1уйтас1 = Ь, находим ,Ь с) !ьу и = О, (7.6) т, е, величина с)!уп (определяюсцая изменение объема при деформации) является гармонической функцией. Г1римеияя же к уравнению (7.4) оператор Лапласа Ь, получим теперь ЬЬц=О, (7.7) т. е. в равновесии вектор деформации удовлетворяет бигармоническомр уравнению. Эти результаты остаются в силе и в однородном поле тяжести (при операциях дифференцирования правая часть уравнения (7.2) исчезает), ио оии несправедливы в общем случае переменных вдоль тела объемных внешних сил. Тот факт., что вектор деформации удовлетворяет бигармоническому уравнению, не означает, разумеется, что общий интеграл уравнений равновесия (при отсутствии объемных сил) есть произвольная бигармоиическая векторная функция; следует помнить, что функция п(х, у!В) должна в действительности удовлетворять еще и дифференциальному уравнению более пизкого порядка (7.4).

В то же время оказывается возможным выразить общий интеграл уравнений равновесия через производные от произвольного бигармопического вектора (см. задачу 10). Если тело неравномерно иагрсто, то в уравнении равновесия должен быть добавлен дополиительиый член. В теизоре Напряжений должен быть учтен член — Ко(Т вЂ” То))),ь (см.

(6.2)) и соответственно в до!Р!'Г)хв возникает член дТ Ео дТ вЂ” Кст — =— дх, 3(1 — 2и) дх, В результате получаем уравнения равновесия в виде 3(1 — !1) . 3(1 — 2!1) ягас) с)!у и — ГОФ го1 и = сс"7Т. (7.8) 1 + !т 2(1+ сГ) Остановимся иа частном случае плоской деформации, при которой во всем теле одна из компонент вектора смещения равна нулю (и, = 0), а компонситы и, и„зависят только от х, у. При этом тождественно обращаются в нуль компоненты и„, и „иу, тензора деформации, а с ними и компоненты и „о„, теизора напряжений (но ие продольное напряжение сс„, существование которого должно обеспечить постоянство длины тела вдоль оси г).

33 уРАВнения РАВИОВесия изо'1'Ропиых тел Поскольку все величины не зависят от координаты е, то уравнения равновесия (при отсутствии внешних обьемных сил) до;ьггдшь = 0 сводятся в данном случае к двум уравнениям; +д . О д +д 9 дх ду дх ду (7.9) Наиболее общим видом функций охх, охуг оууг удовлетворяющих этим уравнениям, является д'х д'х д'х Пхх — . г суху — , 1 '"уу— (7.10) ду1' д,.ду' дх2' где Х - .

произвольная функция от т и 11. Легко полу.чить уравне- ние, которому должна удовлетворять эта функция. Такое урав- нение должно существовать в силу того, что три величины о о „, о„выражаются в действительности всего через две вели- чины и, иу и потому не являются независимыми. С помощью формул (5.13) найдем для плоской деформации Е охх + оуу —— (1 -~- сг) (1 — 2сг) (и +и „). Но дв„ ди„ оха, + сгуу = саХ, и х+ и„у = + ьв с)1унг дх ду сгЕ о„= (и, + и„у) = т(сг х + оу„), (1 + о)(1 — 2о) или (7.12) о„= о с)гх. Задачи 1. Определить деформациго длинного тикально в поле тяжести.

Решение. Направляем ось 2 по оси кости его нижнего основа.ния. Уравнения стержня (длины 1), стоящего нер- стержня, а плоскость ху . - в плос- равновесия до„. = Ре. дх, 2 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том 1111 и поскольку с)1гуп есть, согласно (7.6), гармоническая функция, то мы заключаем, что функция Х удовлетворяет уравнению ~~Х = " (7.11) т. е.

является бигармонической. сРупкцию Х называют функцией напрлсясений. После того как плоская задача решена и функция Х известна, продольное напряжение о„определяется непосредственно по формуле ОсиОВиык уРлапечгии теОРии упРуГОсти Г'Л. ! На боковой поверхности стержня должны обращаться и нуль асе компоненты аип кроме а„.„а на верхнем (г = 1) основании а„, = а„, = а„„.

= О. Удовлетворяющее этим условиям решение уравнений равновесия есть а.-, = — ряЦ вЂ” г), а асе остальные а,в = О. По а,е определяем и,в и виде а рф1 — г) и,,=и „= — ряП вЂ” г), и,.=— и,в=и.=ига=О, Е Е а отсюда интегрированием — компоненты вектора деформапии а и, = — ряЦ вЂ” г)т, Е а и = — рф1 — г)у, в Ж1)г <С вЂ”.)г - оотг + 1,')). 2Е Выраженно для и, удовлетворяет граничному условию и.

= О только а одной точке нижней поверхности стержня. Поэтому полученное решение неприменимо вблизи нижнего конца стержня. 2. Определить деформацию полого шара (наружный и внутренний радиусы 27г и 77г), апутри которого дейстаует давление рг, давление снаружи рг. Р е ш е н и е. Вводим сферические координаты с началом а центре шара. Деформация и направлена везде по радиусу и является функцией только от г. Поэтому гос и = О, и уравнение (7.5) приобретает вид 17 Жуп = О. Отсюда 1 И(г и) Г1Ь и = — = салаг = За, гг или гг=аг-Ро/г . Компоненты тепзора деформации (см.

формулы (1.7)): Ь ивв = иег = а+ —. гг' и, =а — —, гз' Радиальное напряжение Е Е 2Е б а„, )(1 — а)и,, -~- 2аивв) = а — — —. (1 + а) (1 — 2а) 1 — 2а 1+ага Постоянные а, и б определяются из граничных условий: о, = — рг при г = Вг и а„. = — рг при г = Лг. Отгюда находим РгВà — ргйг 1 — 2а ЛгЛг(р! — рг) 1 + о 17" — Лг Е ' Лг — 17г 2Е Так, распределение напряжений по толщине шарового с;чоя, внутри которого действует давление рг = р, а снаружи рг = О, дается формулами г'л.

! ОСНОВИЫВ УРЛВ22ВНИЯ ТЕОРИИ УПРУ!'ОСТИ Из условий гг„г = О при т = Лг и сг„= — р при г = Лг находим рЛ2 (1 -Р а)(1 — 2а) ив рЛ,Лг 1 -Р а Лг — Л;- Лг — Лг Е г Распределение напряжений по толщине трубы дается формулами гг„= 2а Л2 Лг б. Определить деформацию цилиндра, равномерно вращающогося но- круг своей оси.

Решение. Написав в 17.3) центробежную силу р22гт вместо силы тяжести 1Й вЂ” угловая скорость), получаем в цилиндрических координатах для смещения и„= 22Я уравнение Ег1 гг) й 1 ос™) ~ 1)г ~) — -~1) . 11 -1- а)11 — 2а) г)т (т г)т / Решение, конечное при т = О и удовлетворяющее условию а„= О при т = Л, есть рй~11-Уа)11 — 2а) 8Е11 — а) 6.

Определить деформацию неравномерно нагретого шара со сферически симметричным распределением температуры. Решение. В сферических координатах уравнение 17.8) для чисто радиальной деформации гласит: 21 / 1 212тги)1 1-1-а ЙТ 3г 2,тг г)т ! 3(1 — а) г)т Решение, конечное при т = О и удовлетворяющее ушювию аг, = О при г = Л, есть 1 ~-а 1 1' г 211 — 2гг) г 1' г и = Π— / Т2т)г 22г -Р— / Т2т)т Йт Лз / о о чаем я 1ьа 1 т и=о — ~ ТЯт 21т+ (1 — 2с) — ( Т(т)тг1т 311 — а) ~ т Л/ о о 8. Определить деформацию неограниченной у-пругой среды с заданным распределением температуры Т1т, у, г) таким, что на бесконечности температура стремится к постоянному значению То и деформация отсутствует.

Температура ТЯ отсчитывается от значения, при котором равномерно нагретый шар считается недеформированным. В качестве этой температуры здесь выбрана температура внешней поверхности шара, так что Т1Л) = О. 7. То же для неравномерно нагретого цилиндра с осесимметричным распределением температуры. Р е ш е н и е.

Аналогичным путем в цилиндрических координатах полу- 37 уРАВнения РАВИОВьсия изО'1'РОпных тел Решение. Уравнение (7,8) имеет, очевидно, решение, в котором 1 + )т голи=О, с1ВИ=О (Т(х) у, х) — То). 3(1 — сг) Вектор и, дивергенция которого равна заданной функпии, определенной во всем пространстве и обращакгщейся в нуль на бесконечности, а ротор которо- го тождественно исчезает, может быть написан, как известно из векторного анализа, в виде 1 /' с1п'и(:о',у', ') ) 4гс т где гл = (х — х')з + (у — у')~ + (з — з')'.

Поэтому получаем общее решение поставленной задачи в виде сг(1 + сг) лг ~ Т То и=— 12я(1 — сг) г где Т' = Т(х', у', х'). Если в очень малом участке объема неограниченной среды (в начале координат) выделяется конечное количество тепла сь то распределоние температуры можно написать в виде (С вЂ” теплоемкость среды) Т вЂ” То = — 6(х)6(у)б(з), С тождественно удовлетворяют соотношениям дли,л дзиг + д'и,г д ил + дхс дх, дх, дхл дхг„.

дх, дх, дхс Здесь илгеется всего шесть сушественно различных соотношений (соответствующих значениям 1', 1, 1, гп: 1122, 1133, 2233, 1123, 2213, 3312); мы сохраним их все, упростив написанное тензорное равенство по индексам 1,РВ д щг д и,г д илг (2) с.'ли,л -Р дх, дхл дхл дхг дх, дхг где 6 обозначает 3-функцию. Интеграл в (1) равен тогда д/Сг, и деформация дается формулой О(1 -Р сг)д г 12я(1 — а)С гз 9. Вывести уравнения равновесия изотропного тела (при отсутствии объемных сил), выраженные через компоненты тензора напряжений. Решение.