VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 2

деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям главным осям тензора деформации. Каждая из этих деформаций представляет собой простое растяжение (или сжатие) вдоль соответствующего направления: длина с1хг вдоль первой из главных осей превращается в длину г, ', =и1+2 р)и, и аналогично для двух других осей. Величины ит;2 ю — ! представляют собой, следовательно, относительные удлинения (г1*', — г1*,)/г1*, ~д~~~ этих осей. Практически почти во всех случаях деформнрования тел деформации оказываются малыми. Это значит, что изменение любого расстояния в теле оказывается малым по сравнению с самим расстоянием. Другими словами, относительные удлинения малы по сравнению с единицей.

Ниже мы будем рассматривать все деформации как малые. Коли тело подвергается малой деформации, то все компоненты тензора деформации, определяющего, как мы видели, относительные изменения длин в теле, являются малыми. Что же касается вектора деформации, то он может быть в некоторых случаях большим даже при малых деформациях. Рассмотрим, например, длинный тонкий стержень.

Даже при сильном изгибе, когда его концы значительно переместятся в пространстве, растягкения и сжатия внутри самого стержня будут незначительными. За исключением таких особых случаев ), при малых деформ мациях является малым также и вектор деформации. Действительно, никакое «трехмерное» тело (т. е, тело, размеры которого не специально малы ни в каком направлении) не может быть, очевидно, деформировано так,чтобы отдельные его части сильно переместились в пространстве, без возникновения в теле сильных растяжений и сжатий.

Топкие стержни будут нами рассмотрены отдельно в гл. П. В остальных же случаях, следовательно, при малых деформациях смещения иг, а с ними и их производные по координатам, маты. Поэтому в общем выражении (1.3) можно пренебречь последним членом как малой величиной второго порядка. Таким образом, в шгучае малых деформаций тензор деформации определяется выражением 12 Г'Л. ! ОСНОВНЕ(Е УРЛВПЯНИН ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Относительные удлинения элементов длины вдоль направлений главных осей тензора деформации (в данной точке) равны теперь с точностью до величин высших порядков Л' = ЛГ11 + ив 1)11 + и~ 1)11 + ив 1).

Пренебрегая величинами высших порядков малости, находим от- сюда Л" = Л'11+ ив1~ + и~ 1+ и1'1). Но сумма иП) +и(2) + ир') главных значений тензора есть, как известно, его инвариант и равна в любой системе координат сумме диагональных компонент ин = и11+ ив2+ иаз, Таким образом, Лг' = Лг(1 + ин). 11. 6) Мы видим, что сумма диагональных компонент тензора деформации дает относительное изменение объема 1дà — Л') ((Лг. Г1асто бывает удобным пользоваться компонентами тепзора деформации не в декартовых, а в сферических или цилиндрических координатах.

Приведем здесь для справок соответствующие формулы, выражающие эти компоненты через производные от комг(онент вектора смещения в тех же координатах. В сферических координатах Г, д, ~о имеем дн, 1 див и, итт= ', иВВ= — + — ", дг ' дв т твтпд д((в 1 /дн 1 1 днв 2иа = — ~ — Р— и„сФя д) + г ~ дв ) ГВ1пв д((в ' днв нв 1 дн„ 2(втд = — — + - — ", дг г т дв 2и, = '+ и,т= ГВ1пд ду( дт т 11.7) т. е. непосредственно главным значениям тензора гщ.

Рассмотрим какой-нибудь бесконечно малый элемент объема Л' и определим его величину Л" после деформирования тела. Для этого выберем в качестве осей координат главные оси тензора деформации в рассматриваемой точке. Тогда элементы длины Ытп Г1тв, Г1хв вдоль этих осей после дефоРмиРованиЯ перейдут в вЬ', = 11 + и1В)Г1л1 и т. д. Объем Л' есть произведение Йх1Г1и яй:аз, объем же Л" равен (1тп1 Г1Т~~Г1т~з. Таким образом, твпзоР пкпгяжи11ий В цилиндрических координатах г,~р, л ди. и„ди, — '+ — ", и,.= д10 Г д2 ди, ди.- 2и„,= "+ д дг и„, 1ди, Ф г д~р ди„ иг~. = ~ иря дг 1 ди.

2и,, = — + г д!г г ди,, (1.8) 2и„„= 8 2. Тензор напряжений В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом и в механическом равновесии. Это значит, что ежи выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил, действующих на этот обьем со стороны других частей, равна нулю.

При деформировании же расположение молекул меняется и тело выводится из состояния равновесия, в котором оно находилось первона чально. В результате в нем возникают силы, стремяп1иеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформировании внутренние силы называются внутренними напрлэкенилми. Если тело пе деформировано, то внутренние напряжения в нем отсутствуют. Внутренние напряжения обусловливаются молекулярными силами, т. е.

силами взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости является то обстоятельство, что ъюлекулярные силы обладают очень незначительным радиусом действия. 1Лх влияние простирается вокруг создающей их частицы лишь на расстояниях порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической теории, рассматриваются только расстояния, болыпие по сравнению с межмолекулярными. Поэтому ирадиус действияи молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным пулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в теории упругости силами «близкодействующими», передающимися от каждой точки только к ближайшим с нею.

Отсюда следует, что силы, действующие на какую-нибудь часть тела со стороны окружающих ее частей, проявляют это действие только непосредственно через поверхность этой части тела. Здесь необходима следующая оговорка: сделанное утверждение несправедливо в тех случаях, когда деформирование тела сопровождается появлением в нем макроскопических электрических полей; такие (так называемые пиро- и пьезоэлектрические) тела рассматриваются в т. УП1 этого курса. Основиыв уРлвпвния "1'еОРии упРугОсти Выделим в теле какой-нибудь объем и рассмотрим действующую на него суммарную силу.

С одной стороны, эта суммарная шлла может быть представлена в виде объемного интеграла ) 1г!Лг! где и —. сила, действующая на единицу объема тела. С другой стороны, силы, с которыми действуют друг на друга различные части самого рассматриваемого обьема, не могут привести к появлению отличной от нуля суммарной равнодействующей силы, поскольку они в силу закона равенства действия и противодействия в сумме уничтожают друг друга. 11оэтому искомую полную силу можно рассматривать как сумму только тех сил, которые действуют на данный об"ьем со стороны окружающих его частей тела. Но, согласно сказанному выше, эти силы действуют на рассматриваемый объем через его поверхность, и потому результирующая сила может быть представлена в виде суммы сил, действующих па каждый элемент поверхности объема, т.

е. в виде некоторого интеграла по этой поверхности. Таким образом, для любого обьема тела каждая из трех компонент ~ У; !Л' равнодействующей всех внутренних напряжений может быть преобразована в интеграл по поверхности этого объема. Как известно из векторного анализа, интеграл от скаляра по произвольному объему может быть преобразован в интеграл по поверхности в том случае, если этот скаляр является дивергенцией некоторого вектора. В данном случае мы имеем дело с интегралом не от скаляра, а от вектора. Поэтому вектор Г! должен являться дивергенцией некоторого тензора второго ранга, т. е. иметь вид !у до!1 (2.1) Тогда сила, действующая на некоторый объем, может быть написана в виде интеграла по замкнутой поверхности, охватывающей этот объем ~)! (2.2) ) Вектор дГ элемента площади направлен по нормали, внешней по отношению к охватываемому поверхностью объему.

Интеграл по замкнутой поверхности преобразуется в интеграл по объему путем замены д1, оператором Л' д!дх,. ) Строго говоря, при определении полной силы, действующей на деформированный объем тела, интегрирование должно производиться не по старым координатам т, а по координатам х', точек деформированного тела. Соответственно этому и производные (2Л1) должны были бы браться по хь Но ввиду малости деформации производные по х! и по т„отличаются друг от друга на величины высших порядков малости, и потому можно все дифференцирования производить по координатам хг. твизоР плпРя1квния Тсязор гт11ь называют теизором нппрлжегги11. Как видно из (2.2), Сггяфь ЕСТЬ 1-я КОМПОНЕНта СИЛЫ, дЕйСтВуЮщЕй На ЭЛЕМЕНТ поверхности сгт'.