VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах)

УДК 530.1(075.8) Л22 ББК 22.31 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособл Для вузов. В 10 т. Т. УП, Теория упругости. — 5-е изд., стереот. Мс ФИЗМАТЛИТ, 2003. 264 с. 1ЯВг1 5-9221-0122-6 (Т. ЧП). Теория упругости излагается как часть теоретической физики. Наряду с традиционными вопросами рассматриваются макроскопическая теория теплопроводности и вязкости твердых тел, ряд вопросов теории упругих колебаний и волн, теория дислокаций. В четвертом издании добавлена специальная глава о механике жидких кристаллов, объединяющая в себе черты, свойственные как жидкостям, так и упругим средам. Для студентов университетов, студентов физических специальностей вузов, а также для аспирантов соответствующих специальностей. Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик РАН, доктор физико-математических наук Л.

П. Питаевский 1ЯВ1»» 5-9221-0122-6 (Т. УП) 1ЯВ51 5-9221-0053-Х ©ФИЗМАТЛИТ, 1987, 2001, 2003. ОГЛАВЛЕНИЕ 7 7 8 130 137 140 145 152 Предисловис к четвертому изданию....... Из предисловия к «Механике сплошных сред» Некоторые обозначения Г л а в а 1. Основные уравнения теории упругости 1. Тензор деформации . 2. Тензор напряжения 3. Термодинамика деформирования 4. Закон Гука 5. Однородные деформации 6.

Деформации с изменением температуры......... 7. Уравнения равновесия изотропных тел.......... 8. Равновесие упругой среды, ограниченной плоскостью 9. Соприкосновение твердых тел 10. Упругие свойства кристаллов .. Г л а в а П. Равновесие стержней и пластинок 11. Энергия изогнутой пластинки ......... 12. Уравнение равновесия пластинки ....... 13. Продольные деформации пластинок.....

14. Сильный изгиб пластинок 15. Деформация оболочек 16. Кручение стержней 17. Изгиб стержней 18. Энергия деформированного стержня 19. Уравнение равновесия стержней 20. Слабый изгиб стержней .. 21. Устойчивость упругих систем Г л а в а 111. Упругие волны 22. Упругие волны в изотропной среде. 23. Упругие волны в кристаллах 24. Поверхностные волны 25. Колебания стержней и пластинок 26. Ангармопическне колебания 9 13 18 21 25 28 31 40 46 53 63 65 73 78 84 91 98 102 107 115 125 оглавление 157 168 173 178 183 185 186 189 197 Г л а в а 1У. Дислокации 27.

Упрутие деформации при наличии дислокации . 28. Действие поля напряжений на дислокацию 29. Непрерывное распределение дислокаций 30. Распределение взаимодействующих дислокаций Г л а в а У, Теплопроводность и вязкость твердых тел 31. Уравнение теплопроводности в твердых телах 32. Теплопроводность кристаллов .. 33.

Вязкость твердых тел 34. Поглощение звука в твердых телах 35. Очень вязкие жидкости .. Г л а в а Ъ"|. Механика жидких кристаллов 36. Статические деформации нематиков.......... 37. Прямолинейные дисклинацин в нематиках...... 38. Несингулярное осесимметрнчное решение уравнений весия нематиков 39. Топологические свойства дисклинаций 40. Уравнения движения нематиков 41. Диссипативные козффициенты нематиков......

42. Распространение малых колебаний в нематиках 43. Механика холестериков .. 44. Упругие свойства смектиков 45. Дислокации в смектиках 46. Уравнения движения в смектиках 47. Звук в смектиках .. Предметный указатель .. 200 205 равно- 211 215 219 226 230 236 240 247 250 254 258 ПРЕДИСЛОВИЕ К т1ЕТВЕРТОМи' ИЗДАНИЮ Основное содержание этой книги (главы 1 — П1, Ч) мало изменилось по сравнению с тем, каким оно было написано для первых двух изданий (1944, 1953 гг.), в которых теория упругости была, по случайным причинам, объединена с гидродинамикой в виде «Х1еханики сплошных сред». Такое постоянство —. естественное следствие того, что основные уравнения и результаты теории упругости уже давно «устоялись», В третьем издании (1965 г.) была добавлена глава о теории дислокаций в кристаллах (написанная совместно с А.М.

Косевичем); эта глава подверглась теперь лишь сравнительно небольшим изменениям. В настоящем издании добавлена новая глава, посвященная механике жидких кристаллов; она написана совместно с Л.П. Питаевским. Эта новая область механики сплошных сред несет в себе одновременно черты, свойственные механикам жидких и упругих сред.

Поэтому представляется целесообразным в данном курсе расположить ее после изложении как гидродинамики, так и теории упругости твердых тел. Как всегда, я извлек много пользы из обсуждения ряда затронутых в этой книге вопросов со своими друзьями и товарищами по работе. В этой связи я хотел бы с благодарностью упомянуть Г.Е. Воловика, В.Л. Гинзбурга. В.Л. Инденбома, Е.И. Каца, Ю.А. Косевича, В.В. Лебедева и В.П. Минеева, сделавших ряд полезных замечаний, учтенных в работе пад книгой. Институт физических проблем АН СССР Е.М. Лифшиц Январь 1988 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К «МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД» ...

В книге, написанной физиками и в первую очередь для физиков, нас, естественно, интересовали вопросы, которые обычно не излагаются в курсах теории упругости; таковы, например, вопросы теплопроводности и вязкости твердых тел, ряд вопросов теории упругих колебаний и волн. В то же время мы лишь очень кратко касаемся ряда специальных проблем (например, сложных математических методов теории упругости, теории оболочек и т. п.), в которых к тому же авторы ни в какой степени не являются специалистами.

Л. Ландау, Е. Лифшиц 1983 г. НЮКОТОРЫК ОБОЗНАь1ЕНИЯ Плотность вещества р Вектор смещения н 1 бди, ди»1 Тензор деформации и;» = — ~ ' + ) 2 дх» д», Тензор напряжений о;еь Модуль всестороннего сжатия К Модуль сдвига д Модуль растяжения (модуль Юнга) Е Коэффициент Пуассона о. Продольная и поперечная скорости звука с~ и с1 (выра>кения для них через К, р или Е, и .-. см. с. 131) Величины К, д и Е, о связаны формулами 9КЛ ЗК вЂ” 2и ЗК -~- и 2(ЗК -» и) ' К= Е р= Е З(1 — 2и) ' 2(1 -» и) По всей книге принято обычное правило суммирования по векторным и тензорным индексам: по всем дважды повторяющимся в данном выражении («немыы») индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3.

В главе У1 используется обозначение д| = д/дт, для оператора дифференцирования по координатам. Ссылки на номера параграфов и формул в других томах этого курса снабжены римскими цифрами: П - том П, «Теория поля», 1989; Ъ" том Ъ', «Статистическая физика, часть 1», 1995; Ч1 том Ч1, «Гидродннамика», 1988; Ъ'|П вЂ” том Ъ'|11, «Электродинамика сплошных сред», 1982. Гг1АВ А 1 ОСНОВНЫЕ агРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ~ПРггГОСТИ й 1. Тензор деформации Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание теории упругости ). Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.

е. меняют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают следующим образом. Положение каждой точки гела определяется ее радиус-вектором г (с компонентами хг = х, хз = д, хз = г) в некоторой системе координат. При деформировании тела все его точки, вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела; если ее радиус-вектор до деформирования был г, то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое значение г' (с компонентами х';).

Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором г' — г, который мы обозначим буквой и: и, = х, — х,. (1.1) Вектор и называют аскьчором деформации (или вектором смеи1епил). Координаты х, смещенной точки являются, конечно., функциями от координат х, той же точки до ее смещения. Поэтому и вектор деформации является функцией координат х,.

Задание вектора и как функции от х, полностью определяет деформацию тела. При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был дх„ то в деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя точками будет дх'; = дх; + диь Само расстояние между точками до деформирования было равно "тл + "ХЗ + ГлХЗ а после деформирования д1' = ') Основные уравнении теории упругости были установлены Коши и Пуассоном в 20-х годах Х1Х века. Г'Л. ! ОСНОВНЕСЕ УРЛВПВННН ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Согласно общему правилу написания сумм имеем Й1 = Йх, сЦ = Йх = (Йхл + Йил) Так как Йи, = Йхы то перепишем Й1 в виде ди, сз дхе Й1сз ~1з+ 2ди, ~ 1 + ди, ди, дхе дхс дх~ Поскольку во втором члене оба индекса г и й являются немыми, их можно переставить и соответственно записать этот член в явно симметричном виде В третьем же члене поменяем местами индексы л и Е Тогда окончательно получаем Й1'~ = Й(~+ 2илеЙх,, Йхлы (1.2) где 1 Г'ди, дил ди~ ди~) 2 ~дхс дх, дх, дхс (1.3) (1.Л) и,ь = иви Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор иле в каждой данной точке к главным осям.

Это значит, что в каждой даннолл точке можно выбрать такую сллстему координат главные оси тензора, . в которой из всех компонент иль отличны от нуля только диагональные компоненты иы, ияа, иза, Эти компоненты главные значения тензора деформации обозначим через и(л~, и(~), и(з~. Надо, конечно, помнить, что если тензор и,е приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках. Если тензор деформации приведен в данной точке к главным осям, то в окружающем се элементе объема элемент длины (1.2) приобретает вид Й11Я = (б,ь + 2иле) Йхл Йхь = = (1 + 2п~ )) Йхл + (1 + 2и~ ) ) Йх~ ~+ (1 + 2и(з)) Йх~~.

ЪЛьл видим, что это выражение распадается на три независимых члена. Это значит, что в каждом элементе объема тела деформацию можно рассматривать как совокупность трех независимых Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела. Тензор исв называют тензором де- формации: по своему определению он симметричен: теизОР деФОРмАции 1 (ди, + диь) (1., ) ') Кроме деформаций тонких стержней сюда относятся изгибы тонких пластинок в цилинлрнческую поверхность. Следует исключить также случай, когда «трехмерное» тело наряду с деформацией поворачивается как целое вокруг некоторой оси на конечный угол.