VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 3

Выбирая элементы поверхности в плоскостях ху; Ух; хв, нахолим, что компонента о,ь тснзоРа напРЯжений есть 1-Я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси хь. Такг па единичную площадку; перпендикулярную к оси х, действуют нормальная к ней (направлснная ВДОЛЬ ОСИ я) СИЛа гт И 1ИНГЕНцнаЛЬНЫЕ (НанраВЛЕННЫЕ ПО ОСЯМ у их) силысг исг, . Необходимо сделать здесь следующее замечание по поводу знака силы гуговы В (2.2) интеграл по поверхности представляет собой силу, действуюшую на ограниченный этой поверхностью объем со стороны окружающих частей тела.

Наоборот, сила, с которой этот объем действует сам на окружающую его поверхность, имеет обратный знак. Поэтому, напримерг сила, действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, есть — ~ СГге фю где интеграл берется по поверхности тела, а сп' направлен по внешней нормали.

Определим момент сил, действующих на некоторый обьем тела. Момент силы Р можно, как известно, написать в виде антисимметричного тснзора второго ранга с компонентами Рг вь— — Рьх;, где и," координаты точки приложения силы ). Поэтому 11 момент сил, действующих на элемент объема с(Р", есть (Р,хь— — Рьх,) Л', а на весь объем действует момент сил Мгв = У (Ржи — Рих ') п1г. Как и полная сила, действующая на любой обьем, момент этих сил тоже должен выражаться в виде интеграла по поверхности объема. Подставляя для Р, выражение (2.1), находим и„=) (г"'*,— г;";) л = / (он оы ) д(о,1хг — омх,) ~),.

( / дхе дх,.'1 д., ' дхг дхг Замечаем, что во втором члене производные дхьггдх~ составляют единичный тензор бы. В первом же члене под интегралом стоит дивергенция некоторого тснзора; этот интеграл преобразуется в интеграл по поверхности. В результате находим Мге = ~ (сгнхе гтмхг) ф~ + ~ (ггег — огя) с(ггг.

(2.3) ') момент силы т определяется как векторное произведение (гг). компгь ненты векторного произведения двух векторов составляют антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого написаны в тексте. ОсиОвиык уРлвивиия "1'ЕОРии упРугОсти Тензор М11 будет выражен в виде интеграла только по поверх- ности, если тензор напряжений симметричен, ГГ1Ь = 'ТЫ1 (2.4) так что обьемный интеграл исчезает (к обоснованию важного утверждения (2.4) мы вернемся еще в конце параграфа). Момент сил, действующих на некоторый объем те.ла, .представится тогда в простом виде: МРЬ = ~ Яшл — Ест) ГВ'= ~(пита — "и*) (Л (25) Легко написать тензор напряжений в случае равномерного всестороинего сжатия тела. При таком сжатии на каждую единицу поверхности тела действует одинаковое по величине давление, направленное везде по нормали к поверхности внутрь объема тела. Если обозначить это давление буквой Р., то на элемент поверхности Г(Г; действует сила -Рф,.

С другой стороны, эта сила, будучи выражена через тензор напряжений, должна иметь вид 1т,ьфы Написав — рф; в виде — Рбгьс((ы мы видим, что тензор напряжений при равномерном всестороннем сжатии выглядит Следующим образом: П1РЬ = РО1Ъ. (2.6) Все отличные от нуля его компоненты равны просто давлению. В общем случае произвольной деформации отличны от нуля также и недиагональные компоненты тензора напряжений.

Это значит, что на каждый элемент поверхности внутри тела действует не только нормальная к нему сила, по также и тангенциальные, скнль1оаюгцие, напряжения., стремящиеся сдвинуть параллельные элементы поверхности друг относительно друга. В равновесии силы впутрещпгх напряжений должны взаимно компенсироваться в каждом элементе объеме тела, т.

е. должно быть Х; = О. Таким образом, уравнения равновесия деформированного тела имеют вид — "'ь = О. (2.7) Если тело находится в поле тяжести, то должна исчезать су мма Е + р я сил внутренних напряжений и силы тяжести р я, действующей на единицу объема тела (р .-- плотность г), я -- вектор ускорения свободного падения, направленный вертикально вниз): уравнения равновесия в этом случае имеют вид ~— "+Ра =О (2.8) дял ) Строго говоря, плотность тела нри его деформировании меняется.

Учет етого изменения приводит, однако, в случае малых деформаций к величинам высших порядков малости и потому для нас несуществен. ткпзоР папгяжьиий Что касается внешних сил, приложенных непосредственно к поверхности тела (которые и являются обычно источником деформации), то они входят в граничные условия к уравнениям равновесия. Пусть Р есть внешняя сила, действующая на единицу площади поверхности тела, так что на элемент поверхности П1 действует сила Р П1. В равновесии она должна компенсироваться силой — пь,<фю действующей па тот же элемент поверхности со стороны внутренних напряжений. Таким образом, должно быть Р,ф — оц,фь = О. Написав фь в виде фь = пь4, где и единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности, находим отсюда пыла = Рь (2.9) Это и есть условие., которое должно выполняться на всей поверхности находящегося в равновесии тела.

Выведем здесь еще формулу, определяющую среднее значение тензора напряжений в деформированном теле. Для этого умножим уравнение (2.7) на ль и проинтегрируем по всему объему тела: Г Л' = ! ~~ *"') Л вЂ” I и, ~*' Л' = О. дх~,/ ди~ .( дв~ Первый интеграл справа преобразуем в интеграл по поверхности тела; во втором интеграле имеем ввиду, что дль/дх~ = бм. Отсюда получаем ф пить 4Д вЂ” )' п,ь Л' = О. Подставляя в первый интеграл (2.9), находим ф Р'Аь 4 = У и ь Л' = ты где $' обьем тела, а п,ь среднее по всему обьему значение тепзора напряжений.

Воспользовавшись тем, что п,л = и;„, можно написать эту формулу в симметричном виде: о ке = —, ~ (Ревя + Рьл,) 4. (2.10) Таким образом, среднее значение тензора напряжений может быть определено непосредственно по действующим на тело внешним силам без предварительного решения уравнений равновесия. Вернемся к приведенному выше доказательству симметричности тензора напряжений; оно нуждается в уточнении. Поставленное физическое условие (представимость тензора ЛХ,ь в виде интеграла только по поверхности) будет выполнено, не только 18 ОсгговнмВ уРлвггяггия теОРии упРуГОсти г'л г если антисимметРичнаЯ часть тснзоРа гтгв (т. е, поДынтегРальнос выражение в объемном интеграле в (2.3)) равна нулю, но и если она представляет собой некоторую полную дивергенцию, т.

е. Рели д гт,ь — гты = 2 — ~гр,ыг ~грглг = — грьп, (2.11) хг где гдлн произвольный тензор, антисимметричный по первой паре индексов. В данном случае этот последний тензор должен выражаться через производные ди;/дхь и соответственно в тензоре напряжений возникнут члены с высшими производными от вектора смещения. В рамках излагаемой в этой книге теории упругости все такие члены должны рассматриваться как малые высшего порядка и опускаться. С принципиальной точки зрения существенно, однако, что тензор напряжений может быть приведсн к симметричному виду и без этих пренебрежений 1). Дело в томг что определение этого тензора, согласно (2.1).

неоднозначно допустимо любое преобразование вида д гтгл гтгв = Хгн ° Хгм = Хгйг (2.12) Хг где Х,ы "- произвольный тензор, аптисимметричпый по последней паре индексов; очевидно, что производные дгт;ь/дхь и дсг;ь/дхь, определяющие силу Р, тождественно совпадают. Коли антисимметричная часть тензора сг,ь имеет вид (2.11), то несимметричный тензор О,ь может быть приведен к симметричному виду преобразованием такого вида. Симметричный тензор имеет вид Сг;Ь = — (гтгй + ПЫ) + — (гРг1Ь + гРЦг). 1 д (2.13) дхг Действительно, легко УбеДитьсЯ, что Разносгь сггл — гтгиь имеет виД (2.12) с тензоролл (2.14) Хгн генгг + гРМЬ гРгьг (Р.С. МНГ1гп, О.

Рагог1г', Р.Я. Регв)гап, 1972). 8 3. Термодинамика деформирования Рассмотрим какое-нибудь деформированное тело и предположим, что его деформация меняется так, что вектор деформации и; изменяется на малую величину би,. Определим работу. ) В соответствии с общими утверждениями микроскопической теории— ср. 11, 1 32. ТВРмодииАмикА дВФОРмиРОВАиия производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу Р; = до;А/дль на перемещение й~; и интегрируя но всему. объему тела, имеем ~ бЛИГ = / 'би, ИК .( дИА Символом бЛ мы обозначили работу сил внутренних напряжений в единице объема тела.

Интегрируя по частям, получаем 1юла = г",м,а. — 1 „м" нг. дИР Рассматривая неограниченную среду, пе деформированную на бесконечности, устремим поверхность интегрирования в первом интеграле к бесконечности; тогда на ней п,ь = О, и интеграл исчезает. Второй же интеграл можно, воспользовавшись симметрией тензора а,ъ, переписать в виде Таким образом, находим дЛ = — п,ьбппм (3.1) Эта формула определяет работу бЛ по изменению тензора деформации. Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении действия вызвавших деформацию внешних сил тело возвращается в исходное недеформированное состояние.

Такие деформации называют упругими,. При больших деформациях прекращение действия внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации., остается, как говорят, некоторая остаточная деформация, так что состояние тела отличается от того, в каком оно находилось до приложения к нему. сил. Такие деформации называют пластическими.

В дальнейшем везде (за исключением гл. 1У) мы будем рассматривать только упругие деформации. Предположим далее, что процесс деформирования совершается настолько медленно, что в каждый момент времени в теле успевает установиться состояние термодинамического равновесия, соответствую|цее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент находится (фактически это условие почти всегда выполняется). Тогда процесс будет термодинамически обратимым.

Условимся относить в лальнейп|ем все такие термодинамические величины, как энтропия Я, внутренняя энергия б и т. и., 20 ОснОвиыв уРлвггеггия теОРии упРугОсти г'л г к единице объема тела (а не к единице массы, как это принято в гидродинамике) и обозначать их соответствующими болыпиыи буквами. В этой связи необходимо сделать следующее замечание. Строго говоря, надо различать единицы объема до и после деформирования; эти обьемы содержат, вообще говоря, различные количества вещества.