I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 9

3. Проинтегрировать уравнения движения плоского маятника, точка подвеса которого (с массой тг в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении (см. рис. 2). Р е ш е н и е. В найденной в задаче 2 З 5 функции Лагранжа координата х — циклическая.

Поэтому сохраняется обобщенный импульс Р, совпадающий с горизонтальной компонентой полного импульса системы: Р, = (тг + тг)х+ тг1ф сов ег = сопв1, (1) Всегда можно считать систему, как целое, покоящейся; тогда сопев = О, и интегрирование уравнения (1) дает соотношение (т, + тг)х+ тг1гйп ~р = солнц (2) выражающее собой неподвижность центра инерции системы в горизонтальном направлении. Используя (1), получим энергию в ваде тг( ф / тг г соя <р) — тгй1 сов <р. 2 тг -1- тг Отсюда тг / тг+тпгяш <р Нег.

2(тг+тг) у Е+тгй1соя<р Выразив координаты хг = х+ 1гйп ~р, уг = 1сояср частицы тг с помощью (2) через ег, найдем, что траектория этой частицы представляет собой отрезок эллипса с горизонтальной полуосью 1тг/(тг + тг) и вертикальной 1. При тг -э оо мы возвращаемся к обычному математическому маятнику, качаюп1емуся по дуге окружности. 2 15. Кеплерова задача Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна т и соответственно силы обратно пропорциональны т2.

Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электроста- тические поля; первые, как известно, имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания. Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором 17 = — сс/г (15.1) с положительной постоянной сс. График «эффективнойэ потенциальной энергии сб Мэ бб,ф = — — + г 2тгэ (15.2) имеет вид, изображенный на рис.

10. При г -+ 0 она обращается в +ос, а при т -+ со стремится к нулю со стороны отрицательных , Еб,ф значений; при г = 1И /сст она имеет минимум, 2 равный (~~эф)т1и = — сб ™, (15.3) Из этого графика очевидно, что при Е ) 0 движение частицы будет инфинитным, а при Е < 0— финитным. Рис. 10 Форма траектории получается с помощью общей формулы (14.7). Подставляя в нее сг = — сс/г и производя элементарное интегрирование, получим ~1 — 1~ э = В бр .*.

у э «, *б б=б, б обозначения М 2ЕМ е= ти' тк (15.4) перепишем формулу для траектории в виде р/г = 1 + е сов бр. (15.5) Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; р и е — так называемые параметр и эксцентриситет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета бр заключается, как видно из (15.5), в том, что точка с бр = 0 является ближайшей к центру (так называемый перигелий орбиты).

В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (15.1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции. Из (15.4) видно, что при Е < 0 эксцентриситет е < 1, т.е. орбита является эллипсом (рис. 11) и движение финитно в соот- 52 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш 53 КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА 1 15 ветствии со сказанным в начале параграфа.

Согласно известным формулам аналитической геометрии большая и малая полуоси эллипса а М а= ',=, 5= (15.6) 1 — е' 2~Е~' ~еà — ее /2епД' Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (15.3), при этом е = О, т.е, эллипс обращается в окружность. Отметим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наимень- р шее и наибольшее расстояния до х центра поля (фокуса эллипса) ае равны гппп — а(1 е) ~ р (15.7) 2а г„, = " = а(1+ е). 1 — е Эти выражения (с а и е из (15.6) и (15.4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения Йупф(г) = Е. Время обращения по эллиптической орбите, т.е.

период движения Т, удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадейе (14.3). Интегрируя это равенство по времени от нуля до Т, получим 2ш 1' = ТМ, где 1" площадь орбиты. Для эллипса у" = = па5, и с помощью формул (15.6) находим х е = 2,'п~/ — = Г'",.

ае.8) Тот факт, что квадрат периода должен быть Рве. 12 пропорционален кубу линейных размеров орбиты, был указан уже в 3 10. Отметим также, что период зависит только от энергии частицы. При Е > 0 движение инфинитно. Если Е > О, то эксцентриситет е > 1, т.е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 12. Расстояние пери- гелия от центра (15.9) где 54 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш а= е — 1 2Š— «полуось» гиперболы.

В случае же Е = 0 эксцентриситет е = 1, т.е. частица движется по параболе, с расстоянием перигелия т ; = р/2. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности. Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (14.6). Она может быть представлена в удобном параметрическом виде следующим образом. Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е согласно (15.4), (15.6), запишем интеграл (14.6), определяющий время, в виде 2)Е( С помощью естественной подстановки т — а = — аесозг, этот интеграл приводится к виду ™~ (1 — есозс) тК = ~( (с — ез1пс) + сопз1. Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить сопз1 в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости т от Ф: г = а11 — есоз5), 1 = (а — ез1п5,) (15.10) (в момент 1 = 0 частица находится в перигелии).

Через тот же параметр С можно выразить и декартовы координаты частицы х = т соз <р, у = т зш <р (оси х и у направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из (15.5) и (15.10) имеем ех = р — т = а(1 — е ) — а(1 — е соз Ц = ае(соз 5 — е), а у найдем, как 4тз:хз. Окончательно: х = а(соз с — е), у = а~/1 — е~ зш 5. (15.11) 55 КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА Полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра с от нуля до 2п. Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату г = а(есЬс — 1), 1 = „~таз,1сс(евЬс — с), (15.12) т = а(е — сЬс), у = аъ'е~ — 1вЬс, где параметр с пробегает значения от — оо до +оо.

Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором 57 =— (15.13) т (сг ) О). В этом случае эффективная потенциальная энергия Мг 11гф — + г 2тгг монотонно убывает от +оо до нуля при изменении г от нуля до оо. Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше. Траектория является гиперболой "- = — 1+ есовцг (15.14) г О (р и е определяются прежними формулами (15.4)).

Она проходит мимо центра поля, как показано на рис. 13. Расстояние перигелия = а(е+1). (15.15) Рис. 12 Зависимость от времени дается параметрическими уравнениями г = а(есЬ5+1), 1 = 1 ™ (еэЬ5,+ Ц, и (15.16) т = а(сЬ 5, + е), у = ау'е~ — 1вЬ с. В заключение параграфа укажем, что при движении в поле Г = х~г (с любым знаком сг) имеется интеграл движения, специфический именно для этого поля. Легко проверить непосредственным вычислением, что величина ~чМ) + — = сопв1.

(15.17) Действительно, ее полная производная по времени равна 1. М] + с~у Йх(ът) гг 57 КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА з 15 М 1 2т!Е~ / Г2тк в)приЕ<0, — <и ~Р11 2«л -М ~~М Во всех трех случаях — г Е».г Е~1 2 2т В случаях 6) и в) частица «падает» в центр по тректории, приближающейся к началу координат при Ю вЂ” > сю. Падение с заданного расстояния г происходит за конечное время, равное 1 )т( М' Г М') — ) — ц — — + Ег' — '( ц —— Е~2 ) 2т 2т~' 3. При добавлении к потенциальной знергии У = — маг малой добавки М1Я траектории финитного движения перестают быть замкнутыми и при каждом обороте перигелий орбиты смещается на л«алую угловую величину бег.

Определить бег для случаев: а) ЬУ = 6!г~, б) ЬУ =.у7г . Р е ш е н и е. При изменении г от г ы дог „и снова до г,„угол б<р меняется на величину, даваемую формулой (14.10), которую представим в виде д Мг А<р = — 2 / 2«п(Š— У) — — дг дм / гг (с целью избежать ниже фиктивно расходящихся интегралов). Положим У = — а7г + ЬУ и разложим подынтегральное значение по степеням ЬУ; нулевой член разложения дает 2л, а член первого порядка искомое смещение бег: и 2т (Е+ — ) — — о где от интегрирования по дг мы перешли к интегрированию по Жр вдоль траектории «невозмущенного» движения. В случае а)интегрирование в (1) тривиально и дает 2пбт 2пб Мг (р параметр невозмущенного зллипса из (15.4)).

В случае б) г ЬП = у/г, и, взяв 17г из (15.5), получим 6лп утг бпу бю =— М« прг ' 59 РАСПАД ЧАСТИЦ Перейдем теперь к системе отсчета, в которой первичная частица движется до распада со скоростью Ъ'. Эту систему отсчета обычно называют лабораторной (или л-системой) в противоположность «системе центра инерции» (или ц-системе), в которой полный импульс равен нулю. Рассмотрим одну из распадных частиц и пусть и и чс — ее скорости соответственно в л- и ц-системах. Из очевидного равенства ч = 'Ч+чо, или ч — К = чс, имеем и + 1' — 2с1' соаО = св, где О -- угол вылета частицы по отношению к направлению скорости н'.

Этим уравнением определяется зависимость скорости распадной частицы от С направления ее вылета в л-системе. и че Она может быть еле представлена графи- А '1Г А чески с помощью диаграммы, изображенной на рис. 14. Ско- а) И<ее б) ~') юе рость ч дается векто- Рис. 14 ром, проведенным в какую-либо точку окружности радиуса св ') из точки А, отстоящей на расстояние Ъ' от центра окружности.

Случаям 1' ( по и к' ) по отвечают соответственно рис. 14 а и б. В первом случае частица может вылететь под любым углом О. Во втором же случае частица может вылететь только вперед, под углом О, не превьппающим значения О, даваемого равенством в1п Втах— (16.4) (направление касательной к окружности, проведенной из точки А). Связь между углами вылета 0 и Во в л- и ц-системах очевидна из той же диаграммы и дается формулой 160 = (16.5) =;, -.В. +1 Если решить это уравнение относительно сов Во, то после элементарных преобразований получим и ) Точнее — любую точку сферы радиуса ие, диаметральным сечением которой яаляется изображенная на рис. 14 окружность.