I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

Вектор же АВ совпадает с импульсом р1 первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (еспи т1 ( т2) или вне (если т1 > т2) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 16 а и б. Указанные на них углы 91 и 92 представляют собой углы отклонения частиц УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ 65 г 17 Сумма 91+ 92 есть угол разлета частиц после столкновения. Очевидно, что 91 + 92 > п/2 при т1 < т2 и 91 + 92 < и/2 при т1 > т2.

Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой («лобовой удар»), соответствует х = 77, т.е. положение точки С на диаметре слева от точки А (рис. ?? а; при этом р~1 и р~2 взаимно противоположны) или между А и О (на рис. 77 б; при этом р~1 и р~2 направлены в одну сторону). Скорости частиц после столкновения в этом случае равны (17.6) гаг + гаг гаг -с гаг Значение у~2 при этом -- наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно, Гг Ег тгсг 4тгтг (17. 7) 2сгах 2 (т +тг)г г тгс, где Ь1 = -- первоначальная энергия налетающей частицы.

2 При т1 < т2 скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же т1 > т2, угол отклонения летящей частицы не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению точки С (рис. ?? б), при котором прямая АС касается окружности. Очевидно, что вш91 „= ОС/ОА, или 9 Х 2 г Е1 — — С СОЗ 9 — х 2 = 2 Ю2 = Ю З1П вЂ”. х 2 (17.9) (17.10) Х 2' Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под пря- мым углом друг к другу. згп 91 = — '.

(17.8) Рис. 17 Особенно просто выглядит столкновение частиц (из которых одна первоначально покоится) с одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности (рис. 17). При этом СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ ГЛ. 1У Задача или () г е,'1 2т и, тг — тг — — — — сов ог + = О. е,1 тг и тг+тг Отсюда г ей тг 1 г г г сов 9г А- — т,в1п 9 е тг+тг тг+тг (при тг > тг перед корнем допустимы оба знака, при тг > тг — знак -~-). 2 18. Рассеяние частиц Как было уже указано в предыдущем параграфе, полное определение результата столкновения двух частиц (определение угла Х) требует решения уравнений движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц.

В соответствии с общим правилом будем рассматривать сначала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы с массой т в поле У(г) неподвижного силового центра (расположенного в центре инерции частиц). Как было указано в 9 14, траектория частицы в цент- А ральном поле симметрична по Х отношению к прямой проведенной в ближайшую к центру ,( точку орбиты (ОА на рис. 18). — — — — — — — — — — — — — — — — Поэтому обе асимптоты орбиты пересекают указанную пряРис. 18 мую под одинаковыми углами. Если обозначить эти углы через 1ро, то угол Х отклонения частицы при ее пролетании мимо центра есть, как видно из рисунка, Х = ~п 2сро~.

(18.1) Выразить скорости обеих частиц после столкновения движущейся ча- стицы (тг) с неподвижной (тг) через их углы отклонения в л-снстеме. г т Р е ш е н и е. Из рис. 22 имеемрг = 2 ОВ совог или нг = 2п — совог. тг Для импульса же р', = АС имеем уравнение ОС = АО +Р',г — 2АО.Р', сов 9г РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ Угол же сро определяется, согласно (14.7), интегралом 1 18 (М/г ) Йт (18.2) 2 Е= 2 (18.3) М = три а формула (18.2) принимает вид (рог ) аг (18.4) Вместе с (18.1) формула (18.4) определяет зависимость у от р.

В физических применениях приходится обычно иметь дело не с индивидуальным отклонением частицы, а, как говорят, с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью ч . Различные частицы в пучке обладают различными прицельными расстояниями и соответственно рассеиваются под различными углами ~. Обозначим через дХ число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале между у и Х + д~. Само по себе это число неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка (пропорционально ей).

Поэтому введем отношение е)п = е)М(п, (18.5) где и — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка (мы предполагаем, естественно, что пучок однороден по всему своему сечению). Это взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы. Напомним, что г;„, является корнем выражения, стоящего под знаком радикала. При инфинитном движении, с которым мы имеем здесь дело, удобно ввести вместо постоянных Е и М другие скорость и, частицы на бесконечности и так называемое прицельное расстояние р. Последнее представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из центра на направление и, т.е. расстояние, на котором частица прошла бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало (рис. 18). Энергия и момент выражаются через эти величины согласно ГЛ. Пг СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния.

Оно всецело определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния. Будем считать, что связь между у и р -- взаимно однозначна; это так, если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния. В таком случае рассеиваются в заданный интервал углов между )с и у + 11)~ лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между р(у) и р(у) + Нр(у). Число таких частиц равно произведению п на площадь кольца между окружностями с радиусами р и р+ др, т.е. 11% = 2пр 11р п. Отсюда эффективное сечение Й~ = 211р 4р.

(18.6) Чтобы найти зависимость эффективного сечения от угла рассеяния, достаточно переписать это выражение в виде дп = 2пр(Х) Р(х) дХ (18. 7) 1х Мы пишем здесь абсолютное значение производной др/фС, имея в виду, что она может быть отрицательной (как это обычно бывает) г). Часто относят дп не к элементу плоского угла д)с, а к элементу телесного угла с1о. Телесный угол между конусами с углами раствора у и у + 4у есть до = 2п вш)1 с)у.

Поэтому из (18.7) имеем йг = «~ р 4о (18.8) в х ~4х Возвращаясь к фактической задаче о рассеянии пучка частиц не на неподвижном силовом центре, а на других первоначально покоившихся частицах, мы можем сказать, что формула (18.7) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения же эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния 9 в лабораторной системе надо выразить в этой формуле у через 0 согласно формулам (17.4).

При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка частиц ()~ выражено через 01), так и для частиц, первоначально покоившихся (у выражено через 0з). гг ) Если функция р(Х) многозначна, то надо, очевидно, взять сумму таких выражений нО вСЕм вЕтвям Этой функции. з 18 РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ Задачи 1. Определить эффективное сечение рассеяния частиц от абсолютного твердого шарика радиуса а (т.е. при законе взаимодействия У = оо при г < а и У = 0 при г ) а).

Р е ш е н и е. Так как вне шарика частица движется свободно, а внутрь него проникнуть вообще не может, то траектория складывается из двух прямых, расположенных симметрично относительно радиуса, проведенного в точку их пересечения с шариком (рис. 19). Как видно из рисунка, и — Х Х Р = аэш Его = аюп = асое —. 2 2 Подставляя в (18.7) или (18.8), получаем па' а 8п = — яп у 4Х = — бо, 2 4 (1) т.е. в ц-системе рассеяние изотропно. Интегрируя 4п по всем углам, найдем, что полное сечение о = гга в соответствии с тем, что прицельная площадь, в которую должна попасть час- I тица для того, чтобы вообще рассеяться, есть площадь сечения шарика. l Для перехода к л-системе надо Р Юе выразить у через Вг согласно (17.4).

Вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 2 816 (ввиду формального сходства формул (17.4) и (16.5)). При тг < тг (тг — масса частиц, тг — масса шариков) получим Рис. 19 а ~ тг 1+ (т,/тг) сое 20г 1 бо, = — 2 — соеВг+ с~ог Г-~мр и го (Иод = 2гг япВгЫВг). Если же тг < ты то а' 1+ (т',/тг) соэ 20, Нпг =— Ног. т ГТ ' '7ь'г При тг = тг имеем юг = а ~ соэ Вг ( Ног, что можно получить и прямой подстановкой Х = 20г (согласно (17.9)) в (1). Для первоначально покоившихся шариков имеем всегда у = и — 20г, и по становка в 1 ает д ()д йпг = а ~ соэ Вг ( дог. 2.