I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

Соответственно этому полагаем в (20.2) Й т с и получаем Р 1У с / с1т т Наконец, от интегрирования по дх перейдем к интегрированию по сЬ. Поскольку для прямолинейного пути т~ = х~ + р~, то при изменении х от — сю до +оо т изменяется от оо до р и затем снова до оо.

Поэтому интеграл по с1х перейдет в двойной интеграл по Йт от р до оо, причем дх заменяется на сгх = ватт' р' Окончательно получим для угла рассеяния (20.1) следующее выражение '); 2р / сШ т1т (20.3) тгсг 1 Й.,/~2 дг' О чем и определяется искомая зависимость 01 от р при слабом отклонении.

Эффективное сечение рассеяния (в л-системе) получается по такой же формуле, как (18.8) (с 01 вместо у), причем аш 01 можно и здесь заменить на 01. оп — ~ ~ ~( )его. (20.4) ие, в, и ) Если произвести весь изложенный вывод в д-системе, то мы получим для т такое выражение с т вместо тг в соответствии с тем, что малые углы Ег н у должны быть связаны, согласно (17.4), соотношением х тг+тг 77 РАССЕЯНИЕ ПОД МАЛЫМИ УГЛАМИ э 20 Задачи 2 агой ( 2 ) г( ) Выражая отсюда р через Ог и подставляя в (20.4), получим гу 2хУп Г( ) Г( ) тег 0 — г(г+г! 'го1 1 ог.

1. Получить формулу (20.3) из формулы (18.4). Р е ш е н и е. С целью избежать ниже фиктивно расходящихся инте- гралов, представим формулу (18.4) в виде л 3го = — — / 1 г Йг, причем в качестве верхнего предела пишем большую конечную величину В, имея в виду перейти затем к пределу В -э со. Ввиду малости П разлагаем корень по степеням П, а г ы заменяем приближенно на рл л ,4г а Г П(.) 4г Ч>о= + — / / г Др / ) г Р г'1/1 —— тсг г/1 —— гг гг Первый интеграл после перехода к пределу В -э оо дает и/2. Второй же интеграл предварительно преобразуем по частям и получаем выражение д /' УУгг — рг Ж7 2р /' ~Ш о4г др у тс' йг тс' у йг эквивалентное формуле (20.3).

2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы в поле 1а1~ш ~1н~и 1: Согласно (20.3) имеем: 2рап <Ь. 1= тгег I г тг уггг — рг г Подстановкой р 7г = и интеграл приводится к В-ннтегралу Эйлера н г г выражается через Г-функции ГЛАВА У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ $ 21. Свободные одномерные колебания Очень распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия У(д) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы — Ж7/Ид, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее значение обобщенной координаты через до. При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности ГГ(д) — 1У(до) по степеням д — дс достаточно сохранить первый неисчезающий член.

В общем случае таковым является член второго порядка 11(д) — П(до) -(д — до)~, й где Й вЂ” - положительный коэффициент (значение второй производной Г~(д) при д = до). Будем в дальнейшем отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения (т.е. положим У(цо) = О) и введем обозначение х = Ч вЂ” Яо (21.1) для отклонения координаты от ее равновесного значения.

Таким образом, 2 (21.2) Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид — а(д)д = — а(д)х г В том же приближении достаточно заменить функцию а® про- СВОБОДНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 79 1 21 сто ее значением при д = до. Вводя для краткости обозначение ') (чо) = получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания '): Ь= (21.3) Соответствующее этой функции уравнение движения гласит: тх+ )сх = О, (21.4) х + снах = О, (21.5) где введено обозначение пз = Аугй/т.

(21.6) ') Подчеркнем, однако, что величина т совпадает с массой только в случае, если т есть декартова координата частицы! ) Такую систему часто называют одномерным осцилллвзором. Два независимых решения линейного дифференциального уравнения (21.5): соя пИ и ягп пг1, так что его общее решение х = С1 Соя спг + С2 я1П спг. (21.7) Это выражение может быть написано также и в виде х = а соя (оИ + сс). (21.8) Поскольку соя(аМ+сс) = сояаИ соясс — ягпаИ яш х, сравнение с (21.7) показывает, что произвольные постоянные и и сс связаны с постоянными с1 и с2 соотногпениями и ~/с1 ~+ с2 18 сс с2!с1' (21.9) Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение.

Коэффициент и при периодическом множителе в (21.8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса их фазой; сс есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина п1 называется циклической часгпотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы и будем делать в дальнейшем. Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле (21.6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство часто- 80 Гл.

ч МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты Ч. Энергия системы, совершающей малые колебания, есть или, подставив сюда (21.8): Е= — тпг а. (21.10) Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения х = гье 1Ае™ (21.11) где А комплексная постоянная; написав ее в виде А = ае'~, (21.12) мы вернемся к выражению (21.8). Постоянную А называют комплексной амплитудод; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент с начальной фазой. Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида.

При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений. Задачи 1. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения те и еа координаты и скорости. Ответ; г г ее ее а= '~)те~- —, Сб а=— =7 ° ~ 2.

Найти отношение частот ш и ш' колебаний двух двухатомных молекул, состоящих из атомов различных изотопов; массы атомов равны соответственно ты пгг и т„тг ) Оно не имеет поэтому места, если у функции У(з) при т = 0 минимум более высокого порядка, т.е. У ог т, и ) 2 (см. задачу 2а З 1Ц. 1 21 СВОБОДНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 81 Р е ш е н и е. Поскольку атомы изотопов взаимодействуют одинаковым образом, то и = и'. Роль же коэффициентов т в кинетических энергиях молекул играют их приведенные массы.

СогласА но (21.б) находим поэтому: ог тгтг(тг + тг) ш тгтг(тг + тг) 3. Найти частоту колебаний точки с массой т, способной двигаться по прямой и прикрепленной к пружине, другой конец которой закреплен в точке А (рис. 22) на расстоянии 1 от прямой. Пружина, имея длину 1, натянута с силой Р. Р е ш е н и е. Потенциальная энергия пру- Рис. 22 жины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы Г на удлинение 61 пружины. При х « 1 имеем 61 = з/Нг + хг — 1 х~/(21), так что У = Гхг/(21). Поскольку кинетическая энергия есть тхг/2, то -=й 4.

То же, если точка т движется по окружности радиуса г (рис. 23). Р е ш е н и е. В этом случае удлинение пружины (при ег « 1) 61 = гг + (1-~- т)г — 2т(1-р г) сов <р — 1 <р . т(1-> г) 21 Кинетическая энергия Т = (1/2)тг~ф~. Отсюда частота Р к+1) г1т 5. Найти частоту колебаний изображенного на рис. 2 маятника, точка подвеса которого (с массой тг в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении. Р е ш е н и е. При ег «1 из полученной в задаче 3 2 14 формулы находим тгтг1 г у = тгФ г г 2(тг + тг) ' 2 Отсюда й(т~ + тг) тг( б. Определить форму кривой, при качании вдоль которой (в поле тяжести) частота колебаний не зависит от амплитуды. Р е ш е н и е.

Поставленному условию будет удовлетворять такая кривая,при движении вдоль которой потенциальная энергия частицы будет У = ав /2, где э — длина дуги, отсчитываемая от поло- г жения равновесия; при этом кинетическая энергия Т = тэ /2 (т — масса г 82 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ частицы) и частота колебаний будет ш = ч47т вне зависимости от начального значения е. Но в поле тяжести У = твн, где у — вертикальная координата. Поэтому имеем: ке~/2 = тяп или з д = — 3 2я С другой стороны, Из~ = йхз + 4у~, откуда Интегрирование удобно произвести, сделав подстановку у = (1 — соз б). 8 Тогда получим х = И,+ з1ПЕ).

8 Эти два равенства определяют в параметрическом виде уравнение искомой кривой; она представляет собой циклоиду. $ 22. Вынужденные колебании Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабо, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х.