I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

60 СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ ГЛ. Р~ сов Оо = — — впт О ~ сов О 1 — †, в1п О. (16.6) 2 2 аа ао При по > Ъ' связь между О и 9о однозначна, как это видно из рис. 14 а. В формуле (16.6) надо при этом выбрать знак + перед корнем (так чтобы было Оо = 0 при О = 0). Если же по ( Ъ", то связь между О и Оо неоднозначна: каждому значению О отвечают два значения Оо, соответствующие (на рис. 14 б) векторам уо, проведенным из центра окружности в точки В или С; им отвечают два знака перед корнем в (16.6).

В физических применениях приходится обычно иметь дело с распадом не одной, а многих одинаковых частиц, в связи с чем возникают вопросы о распределении распадных частиц по направлениям, энергиям и т.д. При этом мы будем предполагать, что первичные частицы ориентированы в пространстве хаотическим, т.е. в среднем изотропным образом. В ц-системе ответ на эти вопросы тривиален: все распадные частицы (одинакового рода) имеют одинаковую энергию, а их распределение по направлениям вылета изотропно. Последнее утверждение связано со сделанным предположением о хаотичности ориентаций первичных частиц.

Оно означает, что доля числа частиц, летящих в элементе телесного угла доо, пропорциональна величине этого элемента, т.е. равна Ыоо/4п. Распределение по углам Оо получим отсюда, подставив доо = 2нгйп Оо дбо, т.е. ~ Ы О о19о. (16.7) Распределения в л-системе получаются путем соответствующего преобразования этого выражения. Определим, например, распределение по кинетической энергии в л-системе.

Возводя в квадрат равенство т = тв + т',находим св = по + ~' + 2тв ~' сов Оо, откуда ЙТ 2тао И (16.8) 1-.9, = "("). 2оор Вводя сюда кинетическую энергию Т = гип2/2 (где т есть т1 или ш2, смотря по тому, какого рода распадные частицы мы рассматриваем) и подставляя в (16.7), получим искомое распре- деление РАСПАД ЧАСТИЦ Кинетическая энергия может пробегать значения от наименьшего Т;в = (т(2)(00 — Ъ') до наибольшего Т, = (тп)2)(00+ г')2.

В этом интервале частицы распределены согласно (16.8) однороде10, При распаде частицы на более чем две части законы сохранения импульса и энергии оставляют, естественно, значительно больший произвол в скоростях и направлениях распадных частиц, чем при распаде на две части. В частности, энергии разлетающихся частиц в ц-системе отнюдь не имеют одного определенного значения. Существует, однако, верхний предел кинетической энергии, которую может при этом унести с собой каждая из распадных частиц.

Для определения этого предела будем рассматривать совокупность всех распадных частиц за исключением одной заданнОй (С маССОй т1) как Одну СиСтЕму; ЕЕ «внутрЕннЮЮ» ЭнЕргиЮ обозначим через Ее„. Тогда кинетическая энергия частицы ти1 будет, согласно (16.1), (16.2), равна г 10 — — (Еви Е1ви Еви) пг1 (М вЂ” масса первичной частицы). Очевидно, что Т10 будет иметь наибольшее возможное значение, когда Е,'„минимальна.

Для этого надо, чтобы все распадные частицы за исключением частицы т1 двигались с одной и той же скоростью; тогда Е,'„ сводится просто к сумме их внутренних энергий, а разность Е,„— Е1,„— Е,'„есть энергия распада е. Таким образом, (T10)„, = ' Е. (16.9) Задачи 1. Найти связь между углами вылета Вм Вг (в л-системе) распадных частиц при распаде на две частицы. Р е ш е н и е. В ц-системе углы вылета обеих частиц связаны посредством Вго = и — Вго Обозначая 9ю просто как Оо и применяя формулу (16.5) к каждой из двух частиц, можно записать: 1г-»о~осоэВ~ = оюгйп9оссйОм 1г — ого соэВО = ого э!п9 с169г ° Из этих двух равенств надо исключить 9о.

Для этого определяем сначала из иих соэ Во и юп Оо, после чего составляем сумму сое Оо -»сйп Во = 1. Учи» г тывая также, что ого/ого = тг/тм и используя (16.2), найдем в результате следующее уравнение: ГЛ. 1У СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ воз ° г тг — юп ее + — я1п 91 — 2яш91 яш9~ соя(91+ 9я) = тв тз 2Е , я1п'(9, +9,).

(тг + тз ) Из 2. Найти распределение распадных частиц но направлениям вылета в л-системе. Р е ш е н и е. При ее ) И подставляем (16.6) со знаком плюс перед корнем в (16.7) и получаем искомое распределение в виде ввв в +Вв'В '1 ов1 — в+ ', ) Ввввв 1. — У'В 'вв 'в) При ее < Ъ надо учитывать обе возможные связи Ве с 9. Поскольку при увеличении 9 одно из соответствующих ему значений ео растет, а другое убывает, то надо взять разность (а не сумму) выражений дсоя Ве с двумя знаками перед корнем в (16.6).

В результате получим в ввв ', Е в в,в. 1В ВР /"П ВВ 1 — Вв'/ '1 ' 'в 3. Определить интервал значений, которые может иметь угол 9 между направлениями вылета обеих распадных частиц в л-системе. Р е ш е н и е. Угол 9 есть сумма 91 + 9з углов, определяющихся формулой (16.5) (см.

задачу 1); проще всего вычисляется тангенс этого угла. Исследование экстремумов получающегося выражения приводит к следующим интервалам возможных значений 9 в зависимости от относительной величины И и его, его (для определенности полагаем всегда его ) ого): 0<9<к, если ею<И<пес; л — еы<9<л, если Ъ'<его; 0<9<9, если 1в)еяе, причем значение 9, дается формулой 9 я1п 9 г ~ + егесяе 0 17.

Упругие столкновения частиц Столкновение двух частиц называют упругигвс если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Соответственно этому при применении к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Проще всего столкновение выглядит в системе отсчета, в которой центр инерции обеих частиц покоится (ц-система); будем отличать, как и в предыдущем параграфе, индексом О значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ бз ц-системе связаны с их скоростями ч1 и ч2 в лабораторной си- стеме соотношениями тг Ч1О = ч, 7П1+ 702 011 Ч20 = ч, тг -~- тг ч10 — — ' опо ч2о = — опо.

(17.1) т, -~-тг т1 г П12 Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость ч' центра инерции. Таким образом, для скоростей частиц в л-системе после столкновения получаем 7 тг 701171 + 702772 Ч1 = оно + т1+ тг тг+ тг (17.2) 7 7П1 т1Ч1+ 7пгЧ2 Ч2 опо + тг+тг тг+тг Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения импульса и энергии.

Что касается направления вектора по, то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения во время столкновения. Полученные результаты можно интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства (17.2) соответственно на 7п1 и 7п2, получим Р1 = нгопо + (Р1+ Р2) (17.3) Р2 — н76по + (Р1 + Р2) тг+ тг (пг = т17п277(т1+ гп2) — приведенная масса). Построим окружность с радиусом то и произведем указанное на рис.

15 построе- где ч = ч1 — ч2 (см. (13.2)). В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в ц-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине.

Если обозначить через по единичный вектор в направлении скорости частицы т1 после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ ГЛ. 11' ОО = тгн т1(Р +Р ), т1 -1- тг ОВ ™ (Р +Рг) т,+тг б) т1>тг а) т1 <тг АВ = Р1,. АО/ОВ = т1/тг Рис. 16 Рис. 15 после столкновения по отношению к направлению удара (направлению р1). Центральный же угол, обозначенный на рисунках через у (дающий направление по), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунка очевццно, что углы 91 и 92 могут быть выражены через угол )1 формулами т1+ тг согХ' 2 Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величины скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол )О С1 —— и п2 —— ' в)п Х.

(17.5) тг+ тг 2' т1+т, ние. Ести единичный вектор по направлен вдоль ОС, то векторы АС и СВ дают соответственно импульсы р11 и р12. При заданных р1 и р12 радиус окружности и положение точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности. Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это будет частица пг2) до столкновения покоилась. В этом случае длина ОВ = г р1 = тс совпадает с радиусом, т.е. точка В т1 -~- тг лежит на окружности.