I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 37

Это утверждение остается в силе и для систем со многими степенями свободы. Оно доказывается в общем случае прямым обобщением способа, изложенного в начале 2 51. Для многомерной системы с переменным параметром Л(г) уравнения движения в канонических переменных дают для скорости изменения каждой из переменных действия 1, выражение, аналогичное (50.10): ' дЛ ' 1,= — Л, (52.15) д~, где по-прежнему д = (Доо/дЛ)ь Усреднение этого равенства надо производить по промежутку времени, большому по сравнению с основными периодами системы, но малому по сравнению со временем изменения параметра Л(г). При этом Л снова выносится из-лод знака усреднения, а усреднение производных дЛ/дю; производится так, как если бы движение происходило при постоянном Л и потому было условно периодическим. Тогда Л будет однозначной периодической функцией угловых переменных ю, и средние значения ее производных дЛ/дш; обращаются в нуль.

В заключение сделаем некоторые замечания по поводу свойств финитного движения замкнутых систем со многими (э) степенями свободы в наиболее общем случае, не предполагающем разделимости переменных в соответствующем уравнении Гамильтона — Якоби. Основным свойством систем с разделяющимися переменными является однозначность интегралов движения 1,, число которых равно числу степеней свободы. В общем же случае систем с неразделяющимися переменными набор однозначных интегралов движения ограничивается теми, постоянство которых есть выражение свойств однородности и изотропии пространства и времени, т.е. законами сохранения энергии, импульса и момента.

УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 217 1 52 Фазовая траектория системы проходит по тем областям фазового пространства, которые определяются заданными постоянными значениями однозначных интегралов движения. Для системы с разделяющимися переменными с ее з однозначными интегралами этими условиями определяется а-мерное многообразие 1гиперповерхность) в фазовом пространстве. В течение достаточно долгого времени траектория системы покроет эту гиперповерхность сколь угодно плотно.

У системы же с неразделяющимися переменными, с ее меньшим (при том же в) числом однозначных интегралов фазовая траектория заполняет собой в фазовом пространстве (полностью или частично) области (многообразия) большого числа измерений. Наконец, укажем,что если гамильтонова функция системы отличается от функции, допускающей разделение переменных, лишь малыми членами, то и свойства движения близки к свойствам условно-периодических движений, причем степень этой близости гораздо выше, чем степень малости дополнительных членов в функции Гамильтона. Задача Вычислить переменные действия для эллиптического движения в поле ГГ = -гг!г.

Р е ш е н и е. В полярных координатах г, <р в плоскости движения имеем гл 1 Г 1„= — 1 р„ар =м, 2п,/ о Гт 1 = — 11 2т ~ Е -Ь вЂ” ) — — йг = — М -~ сс ')) 2)Е) Отсюда энергия, выраженная через переменные действия: тп 2(1„+ 1,р)г Она зависит лишь от суммы 1 + 1т, что означает вырождение движения— обе основные частоты (по ~р н по г) совпадают. Параметры орбиты р и е (см. (15.4)) выражаются через 1„, 1г согласно 1г г В силу адиабатической инвариантности величин 1„ 1г, при медленном изменении коэффициента и или массы т эксцентрнситет орбиты остается неизменным, а ее размеры меняются обратно пропорционально т и и.

Приложение ПРЕДИСЛОВИЕ Л.Д. ЛАНДАУ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Курс теоретической физики. Механика Физика, как известно, состоит, собственно говоря, из двух наук: физики экспериментальной и физики теоретической. Громадное количество известных нам физических законов может быть выведено из очень небольшого числа весьма общих соотношений; однако такое выведение, так же как и установление самих основных законов, требует своеобразных методов и поэтому составляет задачу особой науки — теоретической физики.

Для построения своих выводов и заключений теоретическая физика пользуется приемами и методами математики. Однако от последней она резко отличается непосредственной связью с результатами эксперимента. Не говоря уже о том, что установление общих законов возможно только на основе экспериментальных данных, даже нахождение следствий из общих законов нуждается в предварительном экспериментальном изучении явлений. Без такого изучения часто невозможно установить, какие из громадного числа участвующих факторов существенны, а какими можно пренебречь. После того как получены уравнения, учитывающие только существенные факторы, задача теоретической физики, собственно говоря, в основном заканчивается.

Дальнейшее применение полученных уравнений к более или менее сложным конкретным случаям является уже скорее предметом математики и изучается отделом математики, носящим название математической физики. Теоретическая физика ставит себе целью нахождение физических законов, т.е. установление зависимости между физическими величинами. Определение же численных значений физических величин, вообще говоря, в ее задачи не входит. Эксперимент справляется с этим кругом вопросов относительно настолько легко, что в огромном болыпинстве случаев отсутствует сама необходимость подобных вычислений, которые к тому же пгиложение 219 потребовали бы громадной затраты времени и труда. Исключение составляют простейшие случаи, когда численные значения величин непосредственно вытекают из теории.

Следует отметить, что поскольку задача теории состоит всегда в установлении зависимостей между различными величинами, характеризующими данное явление, теория явления может быть построена только в том случае, когда в природе такая связь действительно существует. Сплошь и рядом, однако, между представляющими интерес величинами никакой связи вовсе не существует, т.е. эти величины могут встречаться в природе в самых различных комбинациях. Таким образом, отсутствие теории какого-либо явления не всегда означает, что оно не поддается объяснению. Отсутствие закономерности при этом так же может вытекать из общих законов, как в других случаях сами закономерности.

Громадную роль в теоретической физике играет приближенное рассмотрение. Прежде всего совершенно точные законы являются приближенными, хотя в громадном большинстве случаев даваемая ими точность является весьма высокой. Более того, требование абсолютной точности к физическим законам и не предъявляется. Достаточно, если существует какая-то заранее установленная область явлений, в которой точность данного закона удовлетворяет поставленной задаче.

Так, мы спокойно применяем ньютоновскую механику к движению снаряда, хотя нам известно не только то, что эта механика не является абсолютно точной, но и то, что в нашем распоряжении имеется значительно более точная релятивистская механика. Благодаря этому в теоретической физике рядом с более точными теориями прекрасно уживаются теории, неточность которых давно установлена, — - поскольку они вполне сохраняют свою ценность для определенной области явлений (такие теории обычно называются классическими).

Всякая логически замкнутая теория, верность которой была с известной степенью точности экспериментально доказана, никогда не теряет своего значения, и всякая более точная последующая теория охватывает ее как приближенный результат, справедливый в некоторых частных случаях. Это, конечно, не относится к теориям, страдающим внутренними противоречиями, которые всегда имеют значение только одного из этапов развития теоретической физики. 220 пгиложение Таким образом, приближения играют очень важную роль в общих физических теориях.

Не менее велика, однако, их роль и при выводе из общих теорий конкретных физических законов. Слишком точные вычисления с учетом несущественных факторов не только бесплодны и излишне усложняют результат расчета, но могут даже привести к тому, что существующие в данном явлении закономерности вообще выпадут из рассмотрения. Дело в том, что приближенным может оказаться не только данный конкретный вид закона, но и само существование функциональной связи между характеризующими данное явление величинами, и за пределами данной точности эти величины могут встречаться в произвольных комбинациях.

Определение степени приближения, с которой данное явление должно рассматриваться, чрезвычайно существенно при его теоретическом исследовании. Особенно грубой ошибкой является тщательное вычисление с учетом всевозможных мелких поправок и применения слишком точных общих теорий в случаях, когда одновременно с зтим пренебрегают гораздо болыпими величинами. 1940 г. ЛД. Ландау ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 1) Замкнутые траектории 48 Изотропия пространства 15, 31 Инерциальная система отсчета 14 Интеграл движения 24 — площадей 46 Биения 84, 94 Линия узлов 146 Геометрическая оптика 182 Главные моменты инерции 133 — оси инерции 133 Нормальные колебания 91 Нутация 149 ) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в оглавлении. Абсолютно гладкая поверхность 162 — шероховатая поверхность 162 Аддитивность интегралов движения 24 — массы 29 Амплитуда 79 Апериодическое затухание 102 Вариация 11 Вириальная теорема 37 Внутренняя энергия 30 Волчок асимметрический 133, 153 — быстрый 149 — симметрический 133, 141, 148 — шаровой 133 Вырождение 214 Действие 11 -- укороченное 183 Декремент затухания 101 Дисперсионное поглощение 106 Диссипативная функция 103 Задача двух тел 44 Закон инерции 15 — равенства действия и противодействия 28 Законы Кеплера 37, 46 Замкнутая система 18 Канонические уравнения 172 Канонически-сопряженные величины 189 Качение 161 Кинетическая энергия 19 Комбинационные частоты 115 Консервативная система 25 Масса частицы 17 Маятник двойной 22, 94 плоский 22, 41, 51, 127 — сферический 50 — физический 137 Фуко 170 Мгновенная ось вращения 131 Момент силы 144 Обобщенная координата 9 — сила 28 Обобщенный импульс 28 Однородное поле 21 Однородность времени 25 пространства 26 Осциллятор 79 пространственный 94 222 пгедме'гный кказатель Падение частицы в центр 49, 70 Пара сил 144 Параболические координаты 198 Переменная действия 206 Перигелия смещение 56 Полодия 154 Поступательное движение 129 Потенциальная энергия 19 — яма 40 Преобразование Галилея 16 — Лежаццра 171 Прецессия регулярная 142 Принцип д'Аламбера 164 Производящая функция 188 Резонанс 83 Ротатор 134, 141 Связи 22 — голономные 163 — неголономные 163 Секториальная скорость 46 Сила 20 — Кориолиса 168 — реакции 161 — трения 100, 161 — центробежная 168 Скольжение 161 Собственная частота 89 Степени свободы 9, 95, 128 Теорема Пуассона 178 Тождество Якоби 177 Точечное преобразование 187 Точка остановки 40 Угловая переменная 206 Уравнения Ньютона 20 Условия равновесия твердого тела 161 Фаза 79 Фазовая траектория 191 Фвзовое пространство 191 Финитное и инфинитное движение 40 Циклическая координата 46, 175, 195 частота 79 Эксцентриситет 52 Эллиптические координаты 200 Эффективное сечение 67, 68 Учебное издание ЛАНДАУ Лев Давидович ЛИФП1И11 Евгений Михайлович МЕХАНИКА (Серия: «Теоретическая физика», том 1) Редактор: Д.

А. Миртова Оригинал-макет: А. С. Даутов ЛР №071930 от 06.07.99 Подписано в печать 25.05.01. Формат 60х90'11« Бумага офсетная №1. Печать офсетная Уел. печ. л, 14,0. Уч.-изд. л. 13,4 Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117864 Москва, Профсоюзная ул., 90 Е-та11: йятагйтпа11«пп, Ыср:Нн»«н.бн1.гп Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист» 160001, г.

Вологда, ул. Челюскинцев, 3. Тели (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс 18172) 72-60-72. Е-та11; р1ртйио1о86а гп и'ир:11»«»«»«то1о86а) р1рч 18В1Ч 5-9221-0055-6 785922 100557 .