I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 8

Исключить движение центра инерции и свести задачу к задаче о движении п частиц. Р е ш е н и е. Пусть П вЂ” радиус-вектор частицы М, а П (а = 1, 2,... ..., п) — радиус-векторы частиц с массами нь Введем расстояния от частицы М до частиц тп и поместим начало координат в центре инерции; МИ= т~~~ В. =О. Из этих равенств находим: нз ч К= — — 2 г, Н =Н+г, р где р = М -1- ннь Подставив зти выражения в функцию Лагранжа МК2 получим й= — ~~~ ъ — — Д~ ъ ) — у, 2 2р где ч =г . Потенциальная энергия зависит лишь от расстояний между частицами и потому может быть представлена как функция от векторов г„. й 14.

Движение в центральном поле Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния т до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. Сила дИ,т) АУ г дг дт т' действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от т и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора. Как было уже показано в 29, при движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля.

Для одной частицы это есть М = [гр]. Поскольку векторы М и г взаимно перпендикулярны, постоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор 46 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш все время остается в одной плоскости плоскости, перпендикулярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты т, <р, напишем функцию Лагранжа в ви- де (ср. (4.5)) Ь = — (т + т ф ) — 11(т). (14.1) Эта функция не содержит в явном виде координату <р. Всякую обобщенную координату д,, не входящую явным образом в лагранжеву функцию, называют циклической. В силу уравнения Лагранжа имеем для такой координаты: сЫ дд, до, — — = — =О, т.е.

соответствующий ей обобщенный импульс р, = дЬ/дщ является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат. В данном случае обобщенный импульс 2. р, =птф совпадает с моментом М, = М (см. (9.6)), так что мы возвращаемся к известному уже нам закону сохранения момента М = тт ср = сопз4. (14.2) Заметим, что для плоского движе- ния одной частицы в центральном ™ поле этот закон допускает простую О геометрическую интерпретацию.

Выражение (1/2)г гйр представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории (рис. 8). Обозначив ее как ау, напишем момент частицы в виде М = 2тг', (14.3) где производную у называют сенториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (так называемый егпорой закон Кеплера) '). о ) Закон сохранения момента для частицы, движущейся в центральном поле, иногда называют интегралом площадей.

ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 47 1 14 Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движения. Выражая ф через ЛХ из (14.2) и подставляя в выражение для энергии, получим Е = — (г~+г~ф~)+ 77(т) = ™ +, + 0(г). (14.4) Отсюда (14.5) или, разделяя переменные и интегрируя Й. + сопв1.

(14.6) Далее, написав (14.2) в виде 2 подставив сюда пг из (14.5) и интегрируя, находим Ч= + сопв1. (14.7) Формулы (14.6) и (14.7) решают в общем виде поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между г и 1р, т.е. уравнение траектории. Формула же (14.6) определяет в неявном виде расстояние т движущейся точки от центра как функцию времени.

Отметим, что угол <р всегда меняется со временем монотонным образом -- из (14.2) видно, что ф никогда не меняет знака. Выражение (14.4) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией 77»ф = 77(г) + (14.8) Величину М2/(2тг~) называют центпробеэкной энергией. Значения г, при которых 11(г) + — г", (14.9) определяют границы области движения по расстоянию от центра.

При выполнении равенства (14.9) радиальная скорость г обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при 48 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш и стинном одномерном движении), так как угловая скорость ф не обращается в нуль. Равенство г = 0 означает «точку поворота» траектории, в которой функция т(г) переходит от увеличения к уменьшению или наоборот. Если область допустимого изменения г ограничена лишь од- ним условием г ) т„„„, то движение частицы инфинитно ее траектория приходит из бесконечности и уходит на бес- конечность. Если область изменения г имеет две границы т„;„, и т„„, то движение является финитным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями г = г , и т = = т ;„.

Это, однако, не означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого т из- меняется от т до т ;„ и затем до т ,„, радиус-вектор повер- нется на угол Л<р, равный, согласно (14.7), Т Л =2 Ч= (М/т ) Йг Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2и, т.е.

имел вид Ь<р = 2ит/и, где т,и целые числа. Тогда через и г повторений этого периода I времени радиус-вектор точ! г 1 ки, сделав т полных оборотов, совпадает со своим первоначальным значением, т.е. траектория замкнется. Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде 77(т) угол Л<р не является рациональной частью от 2и.

Поэтому в общем случае траектория финитного движения не замкнута. Она бесчисленное чис- ло раз проходит через минимальное и максимальное расстояние (как, например, на рис. 9) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями. (14.10) ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 49 1 14 Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это поля, в ко- 1 торых потенциальная энергия частицы пропорциональна или г .

Первый из этих случаев рассмотрен в следующем параграфе, а второй соответствует так называемому пространственному осциллятору (см. задачу 3 2 23). В точке поворота квадратный корень (14.5) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в (14.6) и (14.7)) меняет знак. Если отсчитывать угол <р от направления радиус-вектора, проведенного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки траектории будут отличаться лишь знаком <р при каждых одинаковых значениях г; это значит, что траектория симметрична относительно указанного направления.

Начав, скажем, от какой-либо из точек г = г, мы пройдем отрезок траектории до точки с г = г;„затем будем иметь симметрично расположенный такой же отрезок до следующей точки с г = г и т.д., т.е. вся траектория получается повторением в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится и к инфинитным траекториям, состоящим из двух симметричных ветвей, простирающихся от точки поворота г ы до бесконечности. Наличие центробежной энергии (при движении с М ф О~, обращающейся при т — 1 О в бесконечность, как этпа1Цгас1г, приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения.

«Падение» частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к — со при г — + О. Из неравенства г М2 = Š— У(г) — > О 2 2~дгг или г 17(г) + — ( Ег следует, что г может принимать стремящиеся к нулю значения лишь при условии (14.11) и Мг т.е. У(г) должно стремиться к — оо либо как — — с с~ > —, либо 2т' 1 пропорционально — — с п > 2.

г" 50 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш Задачи 1. Проинтегрировать уравнения движения сферического маятника— материальной точки т, движущейся по поверхности сферы радиуса 1 в поле тяжести. Р е ш е н и е. В сферических координатах с началом в центре сферы и полярной осью, направленной вертикально вниз, функция Лагранжа маятника Ь= (В -~-вш В ф )+тя1совО. 2 Координата «р — циклическая, поэтому сохраняется обобщенный импульс р,р, совпадающий с в-компонентой момента: т1 в1п 9 . ф = М, = сопвс.

(1) Энергия 12 т1~0~ М~ Е = (О -~-в1п В.ф ) — тя1 сов9 = ™ + *, — тя1 совВ. (2) 2 2 2тПяп О Определяя отсюда 0 и разделяя переменные, получаем / 40 (3) „[Š— и„,(9)] где введена «эффективная потенциальная энергия» Мв б»,е(0) = ' — тя1 сов О. 2«иП яп О Для угла <р, используя (1), найдем М, Г 49 (4) ~«Ы .1 ' а » - и ( ° ) ' Интегралы (3) и (4) приводятся к эллиптическим интегралам соответственно первого и третьего рода. Область движения по углу 9 определяется условием Е > П,Е, а ее границы — уравнением Е = П,е.

Последнее представляет собой кубическое уравнение для сов О, имеющее в промежутке от — 1 до -~-1 два корня, определяющих положение двух параллельных окружностей на сфере, между которыми заключена вся траектория. 2. Проинтегрировать уравнения движения материальной точки, движущейся по поверхности конуса (с углом 2а при вершине), расположенном вертикально, вершиной вниз, в поле тяжести.

Р е ш е н и е. В сферических координатах с началом в вершине конуса и полярной осью, направленной вертикально вверх, функция Лагранжа ° 2 3 ° э 3 Ь = — (т + г яп а ф ) — тйг сов с«. 2 Координата ~р — циклическая, так что снова сохраняется М,=тг яп сс ф. 2 2 Энергия тг' М2 Е = + ', + тйгсовс«. 2тгэ япз сс 51 КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА 1 15 Тем же способом, что и в задаче 1, находим / дг — (Š— ПФ(г)) т Мг Йг г 2 1 и.— а м Мг с' Ф(г) =, г + твг сов и. 2тгг яшг сс Условие Е = Ю,Ф(г) представляет собой (при М, т'- 0) кубическое уравнение для г, имеющее два положительных корня; ими определяется положение двух горизонтальных окружностей на поверхности конуса, между которыми заключена траектория.