I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

Исходное равенство (7.1) имеет простой физический смысл. Производная дЬ/дга = — д17/дга есть сила Ра, действующая на а-ю частицу. Таким образом, равенство (7.1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю: (7.4) 2;в =О. а В частности, в случае системы, состоящей всего из двух материальных точек, й'1 + Р2 = О: сила, действующая на первую ') Устаревшее название количество движения.

28 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. н частицу со стороны второй, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой. Это утверждение известно под названием закона равенства действия и противодействия. Если движение описывается обобщенными координатами пб то производные лагранжевой функции по обобщенным скоростям о.

(7.5) называются обобщенными мпульсамщ а производные Р;=— (7.6) называются обобщенными силами. В этих обозначениях уравнения Лагранжа имеют вид (7.7) В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов р . В общем же случае величины р; являются линейными однородными функциями обобщенных скоростей д1, отнюдь не сводящимися к произведениям массы на скорость. Задача Частица с массой т, движущаяся со скоростью чо переходит из полу- пространства, в котором ее потенциальная энергия постоянна и равна Ум в полупространство, где эта энергия тоже постоянна,но равна Ья. Определить изменение направления движения частицы. Р е ш ен и е. Потенциальнаая энергия не зависит от координат вдоль осей, параллельных плоскости раздела между полупространствами.

Поэтому сохраняется проекция импульса частицы на эту плоскость. Обозначая через Вд и Вз углы между нормалью к плоскости раздела н скоростями чг н чз частицы до н после перехода, получим: е1 эш 91 = сэ Ип Вз. Связь же между е1 и еэ дается законом сохранения энергии, н в результате находим $ 8. Центр инерции Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета. Если система отсчета К' движется относительно системы отсчета К со скоростью к', то скорости у, и уп частиц по 29 ЦЕНТР ИНЕРЦИИ отношению к этим системам связаны соотношением ч, = ч' + ч". Поэтому связь между значениями Р и Р' импульса в этих системах дается формулой Р = ~,т ч = 2,т ч~ + Ч2,т„ а а а или Р = Р'+ У) тпа а (8.1) В частности, всегда существует такая система отсчета гг', в которой полный импульс обращается в нуль.

Положив в (8.1) Р' = О, найдем, что скорость этой системы отсчета равна Р 2тч (8.2) 2т 2т Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей си- стемы отсчета. Это является вполне естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной точки. Соответственно скорость ч', даваемая формулой (8.2), приобретает смысл ско- рости «движения как целого» механической системы с отлич- ным от нуля импульсом.

Мы видим, таким образом, что закон сохранения импульса позволяет естественным образом сформу- лировать понятия покоя и скорости механической системы как целого. Формула (8.2) показывает, что связь между импульсом Р и скоростью 'Ч системы как целого такая же, какая была бы меж- ду импульсом и скоростью одной материальной точки с массой 1г = 2;т, равной сумме масс всех частиц в системе. Это об- стоятельство можно сформулировать как утверждение об адди- гаивности массы.

Правая часть формулы (8.2) может быть представлена как полная производная по времени от выражения 2 т,г, (8.3) 2 т, Можно сказать, что скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой да- ется формулой (8.3).

Такую точку называют центром инерции системы. Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сфор- мулировать как утверждение о том, что ее центр инерции дви- жется прямолинейно и равномерно. В таком виде это есть обоб- ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. и ЕУ „1ур! „Рр" 2 (8.5) Этой формулой опрсделяется закон преобразования энергии при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому как для импульса этот закон дается формулой (8.1). Если в системе К' центр инерции покоится, то Р' = О, Е' = Е,„, и мы возвращаемся к формуле (8.4).

Задача Найти закон преобразования действия при переходе от одной ииерциальной системы отсчета к другой. Р е ш е и и е. Функция Лагранжа, равная разности кинетической и потенциальной энергий, очевидно, преобразуется согласно формуле, аналогичной (8.5): Ь = Ь'+ т'Р'+ — р'г'~. 2 щение закона инерции, который был выведен в 8 3 для одной свободной материальной точки, «центр инерции>) которой совпадает с ней самой. При изучении механических свойств замкнутой системы естественно пользоваться той системой отсчета, в которой ее центр инерции покоится. Тем самым исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией Е,„. Она включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц в системе и потенциальную энергию их взаимодействия. Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью г", может быть представлена в виде (8.4) Хотя эта формула довольно очевидна, дадим ее прямой вывод.

Энергии Е и Е' механической системы в двух системах отсчета К и К связаны соотношением — Гаага + б «~1л~тна(на + ~У) + 1Г а а '.у.-- -'+'.у.;" а а МОМЕИТ ИМПУЛЬСА Интегрируя это равенство по времени, найдем искомый закон преобразова- ния действия; Я = Я'+ цЪ Н.'+ -ц 'й 2 где К вЂ” радиус-вектор центра инерции в системе зг . 9 9. Момент импульса Ьтг = [Ьгр. у]. (9.2) Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте Ьь= ~г ( — Ьг + ЬУ)=0 а Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изогпропией пространства.

Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор Ьгр бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу Ь<р поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению Ьгр).

Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы. Линейное перемещение конца т бг радиус-вектора связано с углом соотношением ~Ьг! = г вгп О Ьгр (рис. 5).

Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через г и Ьгр. Поэтому ясно, что Ьг = ~Ьгр г1. (9.1) О При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат 32 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. н М = ~1 [г,р,] = ,''г [г'р ]+ [а~1 р,~, М=М'+[ Р]. (9.4) Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т.е. Р = О), ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопределенность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется.

1« ) Употребляется также названия вращательный момент или угловой момент. и заменив производные дЬ««дт«а = ра, дЬ««дг = ра, получим ~(р [б«р г,]+ р [б«р уа]) = О, а или, производя циклическую перестановку множителей и выно- ся б«р за знак суммы, имеем б«р «г ([г р ]+ [вар,]) = б«р — г [г,р ] = О. а а Ввиду произвольности б«р отсюда следует, что «1 — ,'Е: [г.р.] = О а1 а т.е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой систе- мы сохраняется векторная величина М вЂ” л„«[гара] « (9.3) а называемая моментом импульса (или просто моментом) си- стемы «). Адцитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимо- действия между частицами.