I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 3

Координаты г и г' одной и той же точки в двух различных системах отсчета К и Х', из которых вторая движется относительно первой со скоростью Ч, связаны друг с другом соотношением г = г'+ Чт. (3.3) При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах: (3.4) Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики ').

Формулы (3.3), (3.4) называют преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений движения механики по отношению к этому преобразованию. $ 4. Функция Лагранжа свободной материальной точки Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай -- свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея.

Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К' с бесконечно малой скоростью е, то у' = у + е. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа Цех) должна при таком преобразовании перейти в функцию Ь', которая если и отличается от Ци ), то ') Оно не справедливое механике теории относительности.

1 4 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 17 лишь на полную производную от функции координат и времени (см. конец 2 2). Имеем 1' = 7(о' ) = Е(ю~+ 2уе+ а ). Разлагая это выражение в ряд по степеням е и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получаем Цп") = 7,)о2) + 2че. Второй член первой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости у линейно.

Поэтому дЬ/до2 от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости: 1=™н~, 14.1) где т — постоянная. Из того что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что функция Лагранжа удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости и' системы отсчета Л относительно Х'. Действительно, или .б' = Ь+ — (2™г'11+ — Ъ'~2).

М~, 2 2 Второй член является полной производной и может быть опущен. Величина гп называется массой материальной точки. В силу свойства адл,итивности функции Лагранжа, для системы невзаимодействующих точек имеем ') 2 14.2) а Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл.

Как уже было отмечено в з 2, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнени- ') В качестве индекса, указывающего номер частицы, мы будем пользоватьси первыми буквами латинского алфавита, а для индексов, нумерующих координаты, используем буквы й й, ),... 18 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. 1 ях движения. Для функции (4.2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 8 интеграл =1' 1 имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к в, интеграл действия принимал бы сколь угодно болыпие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е.

не имел бы минимума '). Полезно заметить,что "=(~,')'= ~',: (4.3) Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги Ж в соответствующей системе координат. В декартовых координатах, например, сЦ~ = сЬ~ + ду + сЬ~, и, следовательно, т~ 2 2 2) в цилиндрических 111 = Йт + т Нгр + сЬ и Ь= — (т +тф +Ь); в сферических п12 = 11т2 + т2492 + т2 эш2 9йр2 и Ь = — (т~+ т292+ т ьйп29ф2). 2 (4.4) (4.5) Н.б) $ 5. Функция Лагранжа системы материальных точек ') Сделанная в примечании на с. 11 оговорка не мешает этому выводу, так как при ти ( О интеграл не мог бы иметь минимума ни для какого малого участка траектории.

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих только друг с другом, т.е. ни с какими посторонними телами не взаимодействующих; такую систему называют зам 1 5 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 19 кнутой Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек (4.2) определенной (зависящей от характера взаимодействия) функции координат ').

Обозначив эту функцию через — 11, напишем Т = Š— ГГ(ГИГ2,... ) (5.1) а (г — радиус-вектор а-й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму а НаЗЫВаЮт КиистиЧЕСКОй ЭНЕРгиЕй, а ФУНКЦИЮ Ьг — ВОП2ЕНЦиаЛЬ- ной энергией системы; смысл этих названий выяснится в 9 6. Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно.

Неизбежность такого характера взаимодействия в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — - абсолютностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т.е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает применимость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности.

В 53 мы говорили только об однородности времени. Вид функции Лагранжа (5.1) показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим направлениям. В самом деле, замена 1 на — 1 оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т.е. такое, при ) Это утверждение относится к излагаемой в настоящей книге классической нерелятивистской механике.

20 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. 1 1 = — ~ а1ь(Ч)Ч1ЧА — Н(Ч), (5.5) котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы. Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения ддй дГ (5.2) Подставив сюда (5.1), получим та (5.3) Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаимодействующих частиц.

Вектор Еа— (5.4) стоящий в правой части уравнений (5.3), называется силой, действующей на а-ю точку. Вместе с Н она зависит от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (5.3) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат. Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; такое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный случай указанной в конце 3 2 неоднозначности функции Лагранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами. Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты Чи то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование ха = 1а(Ч1~ Ч2~ ° ° ° ~ Ъ)~ та = „7 Чь н ТД.

ъ-~ д~.. .2.~ дч„ ь Подставляя эти выражения в функцию Ь= — ~ т (х,+у,+й ) — Н, а получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид 1 5 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 21 где п15 функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть также и от координат. До сих пор мы говорили только о замкнутых системах.

Рассмотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой системой В, совершающей заданное движение. В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем поле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия путем независимого варьирования каждой из координат (т.е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа ТА системы А воспользоваться лагранжевой функциЕй Х вСЕй СиСтЕмы А + В, ЗамЕнив в нЕй кООрдинаты дВ Заданными функциями времени.

Предполагая систему А+ В замкнутой, будем иметь .ь = тА(ДА,<7А) + ТВ1ДВ, ДВ) о(г1А~ г1В)~ где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциаль- нуЮ ЭнЕргиЮ. ПОдСтавив вмЕСтО цВ ЗаданныЕ функции врЕмЕни и опустив член т(дВ(1), дВ(5)), зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени),получим ьА = ТА(ДА, ДА) Б~ЯА~ ДВ(~))- Таким образом, движение системы во внешнем поле описывается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от времени явно. Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа 7,=-'-У(г,1), (5.6) и уравнение движения тт (5.7) Однородным называют поле, во всех точках которого на частицу действует одна и та же сила Р.

Потенциальная энергия в таком поле, очевидно, равна У = — Рг. (5.8) В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различ- 22 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. 1 Задачи Найти функцию Лагранжа следующих систем, находящихся в однородном поле тяжести (К вЂ” ускорение свободного падения). 1.