I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

Наиболее общий вид лагранжевой функции такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть Е = — а(д)д — 11(д), (11.1) где а(д) — некоторая функция обобщенной координаты о. В частности, если о есть декартова координата (назовем ее х), то Ь = ™~ — ~?(х). (11. 2) Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет даже необходимости выписывать само уравнение движения, а следует исходить сразу из его первого интеграла уравнения, выражающего закон сохранения энергии.

Так, для функции Лагранжа (11.2) имеем 40 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш Поскольку кинетическая энергия величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т.е. движение может происходить только в тех областях пространства, где 1)'1х) ( Е. Пусть, например, зависимость г('1х) имеет вид, изображенный на рис. 6. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной энергии, мы сразу же выясним возможные области движения. Так в изображенном на рис.

6 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С. Точки, в которых потенциальная энергия равна полной 1г'1х) = Е, 111.4) определяют границы движения. Они являются точками оста- и новки, поскольку в них скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, финитным.

Если же обхг хг х ласть движения не ограничена или ограничена лишь с одной стороны, — движение инфинитно, частица уходит на бесконечность. Одномерное финитное движение является колебательным— частица совершает периодически повторяющееся движение между двумя границами 1на рис. 6 в потенциальной лме АВ между точками хг и хг). При этом согласно общему свойству обратимости 1с. 19) время движения от хг до хг равно времени обратного движения от хг до хи Поэтому период колебания Т, т.е.

время, за которое точка проццет от т1 до хг и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка хгхг или согласно 111.3) хг(Е) 111.5) Т(Е) = ъ(2т — г( ) (Е) причем пределы х1 и хг являются корнями уравнения 111.4) при данном значении Е. Эта формула определяет период движения в зависимости от полной энергии частицы. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ Задачи = Г-' то то с1ср о о Подстановкой з1п(ср/2)/ еш(сро/2) = есп Е этот интеграл приводится к виду ТГ йг — К(зш — ), 2 ° рг К(к) = ,1-э Г.Ч о где — так называемый полный эллиптической интеграл первого рода. При е1п(сро/2) сэ сро/2 «1 (малые колебания) разложение функции К(1с) дает 1'1 / Т = 2п~ — ( 1 -~- сро + .

) . ~/а (, 1б Первый член этого разложения отвечает известной элементарной формуле. 2. Определить период колебаний в зависимости от энергии при движении частицы массы т в полях с потенциальной энергией: а) сг = А(х!". Ответ: 1е(АР~ 1 о о Подстановкой у" = и интеграл приводится к так называемому В-интегралу Эйлера, который выражается через Г-функции 2т/2пт Г(1/и) г1„грг пАН" Г(1/и + 1/2) Зависимое~в Т от Е соответствует закону механического подобия (10.2), (10.3).

б) У = — Уо/сЬ' осх, — Гго < Е < 0 Ответ: Т = пъ'2тт/ссД~Е(. в) У = Гго сег и Ответ; Т = пн 2тт/оса"Е + По. 1. Определить период колебания плоского математического маятника (точка т на конце нити длиной 1 в поле тяжести) в зависимости от их амплитуды. Р е ш е н и е.

Энергия маятника 1г г Е = — тй1 соэ ср = — тя1 сое сро, 2 где ср угол отклонения нити от вертикали; сро — максимальный угол отклонения. Вычисляя период как учетверенное время прохождения интервала углов от нуля до сро,находим 42 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш О 12. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний Рассмотрим вопрос о том, в какой степени можно восстановить вид потенциальной энергии О'(х) поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости периода этого движения Т от энергии Е. С математической точки зрения речь идет о решении интегрального уравнения (11.5), в котором 5Г(х) рассматривается как неизвестная, а Т(Е) —. как известная функции.

При этом мы будем заранее предполагать, что искомая функция 11(х) имеет в рассматриваемой области пространства лишь один минимум, оставляя в стороне вопрос о возможности существования решений интегрального урав- В Е пения, не удовлетворяющих этому условию. Для удобства выберем фЪ начало координат в положении ми- нимума потенциальной энергии, а х1 х~ значение последней в этой точке положим равным нулю (рис.

7). Преобразуем интеграл (11.5), рассматривая в нем координату х как функцию о'. Функция х(с') двузначна — каждое значение потенциальной энергии осуществляется при двух различных значениях х. Соответственно этому интеграл (11.5), в котором Нх мы заменяем Нх на — сКГ, перейдет в сумму двух интегралов: от х = х1 до х = О и от х = О до х = хз; будем писать зависимость х от 5Г в этих двух областях соответственно как х = х1(0') и х = хо(5 ). Пределами интегрирования по йУ будут, очевидно, Е и О, так что получаем Е о Т(Е) = У'2т *' + ъ''2т о Е Е ~~1 (ю ю),ъ:и' о Разделим обе части этого равенства на у'сс — Е, где сс — параметр, и проинтегрируем по Е от нуля до оп 2 12 ОпРеделение энеРГии по пеРиоду кОлеБАний 43 т(К) йК Г2 1' 1' )'с2хг(П) с1х1(П) ) ИП НК ,/:е ! 1 ~ ~у ~у 1,7:Й|хю ' О О О или,меняя порядок интегрирования: О О и Интеграл по с1Е вычисляется элементарно и оказывается равным и.

После этого интегрирование по сН) становится тривиальным и дает = лъ'2гп[х2(сс) — х1(сс)) ъ'а — к О (при этом учтено, что х2(0) = х1(0) = О). Заменив теперь букву сс на 11, находим окончательно: Х2(о ) Х1(о ) = ( ( т(к)1к (12.1) х2 (1) ) — х1(о ) = х(с) ). В таком случае формула (12.1) дает для х(о') однозначное вы- ражение (11) 1 1 т(е)ак 2лУ'2тв ./ У'П вЂ” К О (12.2) О Таким образом, по известной функции Т(Е) определяется разность х2(1Г) — х1(о'). Сами же функции х2(1Г) и х1(11) остаются неопределенными.

Это значит, что существует не одна, а бесчисленное множество кривых 1) = 1Г(х), приводящих к заданной зависимости периода от энергии и отличающихся друг от друга такими деформациями, которые не меняют разности двух значений х, соответствующих одному и тому же значению 1) . Многозначность решения исчезает, если потребовать, чтобы кривая 11 = 11(х) была симметрична относительно оси ординат, т.е, чтобы было; 3 13. Приведеннаи масса Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел).

В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего. Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т.е. от абсолютной величины разности их радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция такой системы '," + '," — 110г — М).

(13.1) Введем вектор взаимного расстояния обеих точек Г = Г1 — Г2 и поместим начало координат в центре инерции,что дает т|г1 + т2г2 = О. Из двух последних равенств находим т2 ПЬ1 г1 = г г2= г. т1+т2 ' тп1 +т2 Подставляя эти выражения в (13.1), получим — 11(г), (13.2) (13.3) где введено обозначение (13.4) пи+пи величина т называется приведенной массой. Функция (13.3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой т, движущейся во внешнем поле 11(г), симметричном относительно неподвижного начала координат. Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в заданном внешнем поле 11(г). По решению г = г(г) этой задачи траектории г1 = г1(г) и г2 = г2(г) каждой из частиц т1 и т2 в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (13.2). 44 ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. Ш ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ э 14 Задача Система состоит из одной частицы с массой М и и частиц с одинаковыми массами то.