I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 6

Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Та- ким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента. Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора на- чала координат. Радиус-векторы г, и г', одной и той же точки по отношению к началам координат, смещенным на вектор а, связаны соотношением г, = г + а.

Поэтому имеем МОМЕНТ ИМПУЛЬСА М = М'+ [В.Р). (9.6) Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента [1ьР), связанного с ее движением как целого. Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле. Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси.

Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т.е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной Выведем также формулу, связываюшую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и Х',из которых вторая движется относительно первой со скоростью ~Г.

Ьудем считать, что начала координат в системах К и К' в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны выражением уа = ч' + ~7. Поэтому имеем М = ~ Гаа[тача) Е Гла[тача) + Е Гла[Га1Г). а а а Первая сумма в правой части равенства есть момент М' в системе Х', введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции, согласно (8.3), получаем м = м'+ ц[вт1. (9.5) Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются формулами (8.1) и (8.5).

Если система отсчета Х' есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то Ч есть скорость центра инерции последней, а цЖ вЂ” ее полный импульс Р (относительно Х). Тогда 34 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. н точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля. Другой пример: однородное поле вдоль оси я,в котором сохраняется проекция Ы, момента, причем начало координат может быть выбрано произвольным образом. Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее я) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле Хяд ' (9.7) а где координата ср есть угол поворота вокруг оси я.

Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохранения момента, но в том же можно убедиться и прямым вычислением. В цилиндрических координатах г, <р, я имеем (подставляя та = = Та СОЯ (Ра~ Уа — Га В1П Ч)а) ° М» = Х~1 тпа(ДаУа Уата) = 7 111аяафа (9.8) г. а а С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет ви д тпа(т + г % + й ) У а и ее подстановка в формулу (9.7) приводит к тому же выражению (9.8).

Задачи 1. Найти выражения для декартовых компонент и абсолютной величины момента импульса частицы в цилиндрических координатах т, ~р, я. Ответ; М = тя1пр1уя — яг) — ттяф сов <р, Мя — — т соя ег(вв — тй) — яптяф я1п ая, М,=тт Ф, 2 ° М =т т ф (т +я )+тп (тя — яв) 2. То же в сферических координатах т, В, ~р. Ответ: М = — тт (Вя1п~р-~-фвшВсояВсоввя), М„= те'(Всовя» — фвшВсовВвьчяя), МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ з 10 М, = гпг юп 9 ф, Мз = гл'г~(В +вш 9 <р ) 3. Какие компоненты импульса Р и момента М сохраняются прн движении в следующих полях: а)поле бесконечной однородной плоскости.

О т в е т: Р.,Р„,М (бесконечная плоскость плоскость ту). б) Поле бесконечного однородного цилиндра. О т в е т; М„Р, (ось цилиндра — ось з). в) Поле бесконечной однородной призмы. О т в е т: Рз (ребра призмы параллельны оси в). г) Поле двух точек. О т в е т: М, (точки находятся на осн з). д) Поле бесконечной однородной полуплоскости. О т в е т; Рэ (бесконечная полуплоскость — часть плоскости ху, ограниченная осью у).

е) Поле однородного конуса. О т в е т; М„ (ось конуса - ось з). ж) Поле однородного кругового тора. О т в е т: М, 1ось тора — ось з). з) Поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии. Р е ш е н и е. Функция Лагранжа не меняется при повороте вокруг оси винта (ось з) на угол без и одновременном переносе вдоль этой оси на рас- Ь стояние — б<р ( Ь вЂ” шаг винта). Поэтому 2п дб дЬ / 6 бб = — бх+ — бю = ~ Р, — + М,) без = О, дз дср 1, '2п откуда Ь М, + — Р, = сонэк 2п 9 10.

Механическое подобие Умножение функции Лагранжа на любой постоянный множитель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство (отмеченное уже в 2 2) дает возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные заключения о свойствах движения, не производя конкретного интегрирования уравнений движения. Сюда относятся случаи, когда потенциальная энергия является однородной функцией координат, т.е. функцией, удовлетворяющей условию бг(схг1, сиз,..., ссг„) = сс" П(г1, г2,..., г„), (10.1) где сс -- любая постоянная, а число к — степень однородности функции.

36 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. н Произведем преобразование, при котором наряду с изменением всех координат в сс раз одновременно изменяется 1в р раз) время: г, -+ ссг, 1 -+ Д~. Все скорости ч = 11г /Ж изменяются при этом в сгф раз, а кинетическая энергия — в сс ф раз. ГГотенциальная же энергия 2 2 умножается на с~". Если связать к и Д условием —,=К", тЕ. Р=1Х' "~~, то в результате такого преобразования функция Лагранжа целиком умножится на постоянный множитель сг, т.е. уравнения движения останутся неизменными.

Изменение всех координат частиц в одинаковое число раз означает переход от одних траекторий к другим, геометрически подобным первым и отличающимся от них лишь своими линейными размерами. Таким образом, мы приходим к заключению, что если потенциальная энергия системы является однородной функцией Й-й степени от координат 1декартовых), то уравнения движения допускают геометрически подобные траектории, причем все времена движения 1между соответственными точками траекторий) относятся, как '-' = (-")' "" 110.2) где 1/1 — отношение линейных размеров двух траекторий. Вместе с временами определенными степенями отношения Г/1 являются также значения любых механических величин в соответственных точках траекторий в соответственные моменты времени.

Так, для скоростей, энергии и момента имеем — =( ), — =( ), — =( ) . (103) Приведем для иллюстрации несколько примеров. Как мы увидим далее, в случае так называемых малых колебаний потенциальная энергия является квадратичной функцией координат 1к = 2). Из 110.2) находим, что период таких колебаний не зависит от их амплитуды. В однородном силовом поле потенциальная энергия — линейная функция координат 1см. 15.8)), т.е. й = 1. Из 110.2) имеем 1 10 МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ Отсюда следует, например, что при падении в поле тяжести квадраты времен падения тел относятся, как их начальные высоты. При ньютоновском притяжении двух масс или кулоновском взаимодействии двух зарядов потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию между частицами, т.е, является однородной функцией степени к = — 1.

В этих случаях р (Г) 3!2 и мы можем утверждать, например, что квадраты времен обращения по орбитам пропорциональны кубам их размеров 1так называемый третий закон Кеплера). Если движение системы, потенциальная энергия которой является однородной функцией координат, происходит в ограниченной области пространства, то существует весьма простое соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии; это соотношение известно под названием еириальной теоремы. Поскольку кинетическая энергия Т является квадратичной функцией скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях ,') ч =2Т, а или, вводя импульсы дТ/дис = рс, получаем Раис (~Рагс) ~ гсра' (10'4) а а а Усредним это равенство по времени.

Средним значением какой-либо функции времени 1с1г) называется величина т 7 = 1пп — Д~) сМ. о Легко видеть, что если 11г) является производной по времени г1г) = е1Р(г)/Ж от ограниченной 1т.е. не принимающей бесконечных значений) функции г'1г), то ее среднее значение обращается в нуль. Действительно, т У= 1пп — — ей= 1пп 1) 1) =О. т — ~сст / Ж т — асс т о 38 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. н Предположим, что система совершает движение в конечной области пространства и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Тогда величина 2 г ро ограничена, и среднее значение первого члена в правой части равенства (10.4) обращается в нуль.

Во втором же заменяем р„согласно уравнениям Ньютона, на — д51,?дг, и получаем ') 2Т= ~ г„—. (10.5) а Если потенциальная энергия является однородной функцией й-й степени от всех радиус-векторов г, то, согласно теореме Эйлера, равенство (10.5) переходит в искомое соотношение 2Т = кГ. (10.6) Поскольку Т+ Г = Е = Е, соотношение (10.6) можно представить в эквивалентных формах (10.7) выражающих Г и Т через полную энергию системы. В частности, для малых колебаний (й = 2) имеем Т=Г, т.е.

средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают. Для ньютоновского взаимодействия (Й = — 1) 2Т = — Г. При этом Е = — Т в соответствии с тем, что при таком взаимодействии движение происходит в конечной области пространства лишь при отрицательной полной энергии (см. 8 15). Задачи 1. Как относятся времена движения по одинаковым траекториям точек с различными массами при одинаковой потенциальной энергии? Ответ: 1 т 2.

Как изменяются времена движения но одинаковым траекториям при изменении потенциальной энергии на постоянный множитель? Ответ: ) Выражение в правой части равенства (10.о) иногда называют еириалом системы. ГЛАВА 1П ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ $ 11. Одномерное движение + У(х) — .Е. Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, интегрирующееся путем разделения переменных. Имеем — — (Š— б'(х)], откуда l т Г <Ь вЂ” и (11.3) Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная интегрирования сопэФ. Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы.