I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Двойной плоский маятник (рис. 1). Р е ш е н и е. В качестве координат берем углы 1Р1 и 1Р2, которые нити 11 и 12 образуют с вертикалью. Тогда для точки ги1 имеем 2 ° 2 Т1 = — т111ф„ГГ = — тгя)1 сов 1Р1. 2 Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем ее декартовы координаты т2, уг (начало координат в точке подвеса, ось у — по веру тикали вниз) через углы 1Р1, 1Р21 лз = 11 эш 1Р1 + 12 э1п Ц22, уз = 11 сОэ 1Р1 + 12 соэ 1Р2' тг Рис.

1 После этого получаем Т2 = — (Я2 + У2) = — !11 ф1 + 12 ф2 + 21112 сов( 1Р1 — 1Р2) 1Р1 1Р2). 2 2 Окончательно: П11+П12 2 2 П12 2 2 Ь= 2 11 1Р1 + — 12 1Р2 + т21112 1Р1 1Р2 соэ11Р1 — 1Р2)+ 2 -~- (т1 -» т2)К11 сОэ 1Р1 -; — т2К12 сОэ 1Р2. ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т.е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел.

Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п. Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говори, за рамки чистой механики (см. 2 25). Однако во многих случаях трение в сисгеме оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь.

Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы л (по сравнению с числом 3111). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5.5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.

в 5 ФУнкЦиЯ лАГРАИЖА системы мАтеРиАльных тОчек 23 Рис. 3 Функция Лагранжа Т = тга~(В + Йг яп В) + 2тга яп О Ог + 23а(тг + гпг) совО. 2. Плоский маятник с массой тг, точка подвеса которого (с массой тг в ней) может совершать движение по горизонтальной прямой (рис. 2). х тг Р е ш е н и е. Вводя координату х точки тг и угол <р между нитью маятника и вертикалью, получаем тг+те г гиг г г Т = х + — Д ф +21хф сов Чг)+тгйг сов <р.

! 2 2 гпг З.Плоский маятник, точка подвеса которого: Рис. 2 а) равномерно движется по вертикальной окружности с постоянной частотой у (рис. 3); б) совершает горизонтальные колебания по закону асов уй в)совершает вертикальные колебания по закону асов уй а Р е ш е н и е. — — — х а) Координаты точки т: х = асовуг+ 1яп<р, р = — аяп уу+ 1совср. ! !!г Функция Лагранжа г т1 г б = <р + трау вгп(<р — у1) + тд1 сов ег; 2 здесь опущены члены, зависящие только от времени, и исключена полная производная по времени от та1 у сов(<р — уг). б) Координаты точки т! А х = асов'уй-!- ) вш <р, у = ) сов <р. Функция Лагранжа (после исключения полных а а производных) т) .г г 1 = ф ~- т)ау совуувш <р -!- тй) сов <р. тг 2 тг в) Аналогичным образом г а Т = ф +т1ау сову1сов<р+тфсов<р.

2 4. Система, изображенная на рис. 4; точка тг движется по вертикальной оси, а вся система вращается с постоянной угловой скоростью Й вокруг Рис. 4 этой оси. Р е ш ел и е. Вводим угол В между отрезком а и вертикалью и угол поворота !р всей системы вокруг оси вращения; ф = Й. Ддя каждой из точек тг элемент перемещений !й~г — — а~4О~ + а яп Ва<р~. Для точки тг расстояние от точки подвеса А равно 2а сов В, и потому !йг = — 2аяпВЙО. ГЛАВА 11 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ $ 6.

Энергия При движении механической системы 2г величин д; и д; (г = 1, 2, ..., г), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Эти функции называют интегралами деиакенил.

Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с г степенями свободы равно 2г — 1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2г произвольных постоянных (см. с. 12). Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна из произвольных постоянных в решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной 1о во времени. Исключив 1+ 1о из 2в функций щ = чг(1 + 1о, См Съ ", Сг.-г), Ф = Чз(1+ 10~ С1, С2~ ..

° ~ С28 — 1)~ мы выразим 2г — 1 произвольных постоянных См Сг, ..., Сз, в виде функций от д и д, которые и будут интегралами движения. Однако далеко не все интегралы движения играют одинаково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени их однородностью и изотропией.

Все эти, как говорят, сохраняющиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности их значение для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Именно свойство аддитивности придает соответствующим величинам особенно важную механическую роль. Предположим, 25 ЭНЕРГИЯ например, что два тела взаимодействуют в течение некоторого времени. Поскольку как до, так и после взаимодействия каждый из эддитивных интегралов всей системы равен сумме их значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия известны.

Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с однородностью времени. В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом: дг, ~~;аь. ~ И, вг дч, ' дд, г г (если бы Ь зависела явно от времени, к правой части равен- ства добавился бы член дЬ/д~). Заменяя производные дЬ/дд,, д дЬ согласно уравнениям Лагранжа, на — —, получим дг дч, ' Отсюда видно, что величина ~~;.

аь (б.1) г остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Эта величина называется энергией системы. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции Лагранжа, через которую она выражается, согласно (б.1), линейным образом. Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (т.е. не зависящем от времени) внешнем поле; единственное использованное в приведенном выводе свойство функции Лагранжа отсутствие явной зависимости от времени — имеется и в этом случае. Механические системы, энергия которых сохраняется, иногда называют консервативными.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Гл. н Как мы видели в З 5, лагранжева функция замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы имеет вид Т, = ТО1, )) — и(1), где Т вЂ” квадратичная функция скоростей. Применяя к ней известную теорему Эйлера об однородных функциях, получим Подставляя это значение в (6.1), найдем Е = ТИ, Ч) + 71 (а); (6.2) в декартовых координатах 2 Е = ~~1 ' + У(г1, гз,... ). (6.3) а Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей,и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц.

$ 7. Импульс Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок е и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.

Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же постоянный вектор е, т.е. их радиус-векторы г — э г + е. Изменение функции Ь в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть у ~~ 'осбг "1~ 'оь а а где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности е требование бЕ = 0 эквивалентно требованию (7.1) а 27 ИМПУЛЬС В силу уравнений Лагранжа (5.2) получаем отсюда — — = О. О ей дч, ~й~ гдч, а а Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой ме- ханической системе векторная величина дЛ (7.2) а остается неизменной при движении.

Вектор Р называется им- пульсом 1) системы. Дифференцируя функцию Лагранжа (5.1), найдем, что импульс следующим образом выражается через ско- рости точек: Р=) тн. (7.3) а Адцитивность импульса очевидна. Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов Ра — гпа т а отдельных частиц вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними. Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однако отдельные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какой- либо из декартовых координат. При переносе вдоль соответствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется. Так, в однородном поле, направленном вдоль оси з, сохраняются компоненты импульса вдоль осей т и у.