I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 2

и и Разложение этой разности по степеням Ьв и Ьа (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка. Необходимым условием минимальности о ') является обращение в нуль ) Следует, однако, указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков: для всей же траектории может оказаться, .что интеграл (2.1) имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение.

Это обстоятельство, однако, совершенно не существенно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности. ) Вообще †. экстремальности. 12 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде и Цд,д,~)й=б, (2.4) В или, произведя варьирование: и ) ( — дд~- —,ьд)а = О. В Замечая что Бц = — Бд проинтегрируем второй член по частям: д Ж сэ де= — дд '-) ( — — — )ьуе=О.

ои и Но в силу условий (2.3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, который должен быть равен нулю при про- извольных значениях Бд. Это возможно только в том случае, если подынтегральное выражение тождественно обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнение Еда д2 — — — — = О.

дг д4 д2 При наличии нескольких степеней свободы в принципе наимень- шего действия должны независимо варьироваться в различных функций д,(~). Очевидно, что тогда мы получаем з уравнений: — — — — =0 (в=1,2,...,л). Рб) Ждй, дд, Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранзгса '). Если функция Лагран- жа данной механической системы известна, то уравнения (2.6) устанавливают связь между ускорениями, скоростями и коорди- натами, т.е. представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения уравнения (2.6) составля- ют систему з уравнений второго порядка для з неизвестных функций д;(~). Общее решение такой системы содержит 2з про- ) В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу об определении экстремумов интегралов вида (2.Ц, они называются уравнен лми Эйлера.

12 ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ 1З извольных постоянных. Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый заданный момент времени, например знание начальных значений всех координат и скоростей. 11усть механическая система состоит из двух частей А и В, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа СООтвЕтСтвЕннО функции ТА и 7 В. ТОгда в пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаимодействием между ними можно было пренебречь, лагранжева функция всей системы стремится к пределу 1сш ь = Х~А + ВВ ° (2.7) Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает собой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.

Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической системы на произвольную постоянную само по себе не отражается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла вытекать существенная неопределенностги функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умножаться на любые различные постоянные. Свойство аддитивности устраняет эту неопределенность, оно допускает лишь одновременное умножение лагранжевых функций всех систем на одинаковую постоянную, что сводится просто к естественному произволу в выборе единиц измерения этой физической величины; мы вернемся еще к этому вопросу в 2 4. Необходимо сделать еще следующее общее замечание.

Рассмотрим две функции 1 '1д, д, с) и 1.(д, д, с), отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции координат и времени 11д, с): 7-'(д,д,с) =7-(д,д,с)+ — „,йд,с). (2.8) Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (2.1) связаны соотношением Сг сг сг В' = й'(д,д,с) с12 = Цд,д,с) й+ г й = сг у( (2) С) ггс1с) С) 14 ГЛ. 1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие БЯ' = О совпадает с условием Бо = О, и вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

й 3. Принцип относительности Галилея Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то, тем не менее, его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т.е.

его различные моменты неэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы такие свойства пространства и времени в описание механических явлений, — очевидно. Как, например, свободное (т.е. не подвергающееся внешним воздействиям) тело не могло бы покоиться: если скорость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении.

Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным. Такая система называется инерциальной. В ней, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое неограниченно долго. Мы можем теперь сразу сделать некоторые заключения о виде функции Лагранжа свободно движущейся материальной точ- 1з ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ 15 ки в инерциальной системе отсчета. Однородность пространства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора г точки, ни времени 1, т.е. Г является функцией лишь скорости зг.

В силу же изотропии пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора зг, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. от квадрата зг = е: Х = ГМ'). (3.1) Ввиду независимости функции Лагранжа от г имеем дЬ/дг = О, и потому уравнения Лагранжа имеют вид г) гй дч — — =О, откуда дЬ/дзг = сопв1. Но поскольку дГ /дзг является функцией только скорости, то отсюда следует, что и ч = сопвФ. 18 2) Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью.

Это утверждение составляет содержание так называемого закона инерции. Ксли наряду с имеющейся у нас инерцивльной системой отсчета мы введем другую систему, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой новой системе будут теми же, что и по отношению к первоначальной; свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью. Опыт показывает, однако, что не только законы свободного движения будут одинаковыми в этих системах, но что и во всех других механических отношениях они будут полностью эквивалентными.

Таким образом, существует не одна, а бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа относительности Галилея— одного из важнейших принципов механики.

) Под производной скалярной величины по вектору подразумевается вектор, компоненты которого равны нронзводным от этой велечнны по соответствующим компонентам вектора. 16 ГЛ. 1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться при изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета. Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного множества таких систем показывает в то же время, что не существует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим системам.