Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 9

Таким образом, в нашем распоряжении остаатся «линейка» и откладывание «эталона длины», и этого достаточно для выполнения всех допустимых построений, Бросается в глаза то обстоятельство, что в основных задачах совершенно не упоминается об окружностях, хотя обычно ири геометрических построениях мы привыкли наряду с «линейкой» пользоваться и «циркулем». Это обстоятельство не случайно: окружность при геометрических построениях имеет ценность постольку, поскольку нри известных условиях мы можем строить точки пересечения окружностей между собой и с прямымн.

Между тем в неархимедовой геометрии мы не можем утверждать, что прямая иересечйтся с окружностью даже в том случае, когда прямая заведомо имеет точки, отстоящие от центра окружности меньше чем на радиус, В силу отсутствия аксиомы непрерывности прямая может «проскочить» из области внутренних точек окружности в область ее внешних точек, «не задев» самой окружности, Поэтому употребление окружностей для неархимедовых геометрических построений бесполезно, и мы вынуждены ограничиться более слабыми средствами.

Далее, теорема 64 выясняет, кйк можно характеризовать координаты тех точек, которые получаются из данных точек посредством построений с линейкой и эталоном длины, Оказывается, что координаты построенных точек получаются из координат исходных точек посредством четырйх рациональных операций и извлечений квадратных корней, но каждый раз только из суммы квадратов уже построенных чисел (мы возвращаемся к обыкновенной геометрии, и речь найт просто о действительных числах, хотя то же самое верно и для координат как элементов исчисления отрезков в неархнмедовой геометрии). Остающаяся часть главы сконцентрирована около теоремы 65. Как известно, задачи на построение, разрешимые при посредстве линейки и циркуля, характеризуются тем, что координаты искомых точек выражаются через координаты данных точек посредством четырйх рациональных операций и извлечений квадратного корня из любых уже построенных положительных чисел.

еосновлиия ГВОИВТРииъ ГильвеРтл 47 46 П. К. РАШЕВСКИЙ Отсюда лишний раз видно, что задачи, разрешимые при помощи линейки и эталона длины, являются частным случаем задач, разрешимых при помощи линейки и циркуля. Оказывается — и в этом состоит суть теоремы 65,— что этот частный случай характеризуется тем, что задача имеет наибольшее возможное число решений (принимаются во внимание лишь действительные решения, в том числе и 'связанные с несобственными элементзми). А именно, если для аналитического решения задачи требуется не менее и извлечений квадратного корня, то число ее решений в этом частном случае должно быть равно 2ч; это и необходимо и достаточно, ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ Первый вопрос, естественно встзющий перед нами при чисто логическом развертывании геометрии на осноне аксиом, это вопрос о'непротиворечивости нашей аксиоматики Гарантированы ли мы от появления противоречий в нашей системе, не может ли случиться, что у нас окажется доказанной какая-нибудь теорема и одновременно ей отрицание? В этом случае наша аксиоматика не имела бы никакой цены.

Во второй главе, посвященной как раз логическим проблемам, этот вопрос поставлен прежде всего и решян посредством аналитической интерпретанин нашей геометрической системы (9 9). Смысл аналитической интерпретации заключается в том, что основным понятиям геометрии дается арифметическое истолкование (например, точка— тройка действительных чисел и т. д.), причем есе аксиомьг остаются правильными в этом истолковании, превращаясь в предложения арифметики действительных чисел (подробно этот вопрос изложен в примечаниях("~, (") и ('а~, стр.

44)в 444). Поэтому всякое противоречие в нашей геометрической системе означало бы противоречие в арифметике действительных чисел. Таким образом, мы не совсем точно сказали, что вопрос о непротиворечивости геометрии решен в 9 9: он только сведен к более фундаментальному вопросу: к проблеме непротиворечивости арифметики. А так как арифметика целых, а вслед за тем действительных чисел играет роль фундамента почти всей математики, то проблема непротиворечивости арифметики неразрывно связана с проблемой обоснования математики вообще. Более того: так как, исходя из аксиом, мы делаем умозаключения по законам логики, то, желая установить непротиворечивость нашей системы, мы должны одновременно с математическим содержанием подвергнуть исследованию и самую логику.

Пути и методы, способные подвести к решению задачи такого рода, были намечены Гильбертом и его школой. Основная идея заключается здесь в следующем. Предложения маТематики, равно как и законы логики, записываются при помощи особой символики в виде формул, без всякого участия словесных выражений. Процессы логического мышления заменяются манипуляциячн с такого рода формулами по строго очерченным правилам. А именно, из формул, уже построенных, разрешается чисто механически, по точно .

указанным рецептам, составлять новые фориулы, ц это заменяет сознательные умозаключения, выводящие из одного предложения другое. Таким обрззом, и математическое, н' логическое содержание исследуемого отдела математики предстает перед нами в виде, цепи формул. Эта цепь начинается с формул; изображающих математические н логические аксиомы, и может быть неограниченно продолжаема путем механического составления новых формул.

Нам нет при этом надобности помнить, какое математическое содержание записано под видом той или иной фориулы; нас интересует лишь формула сама по себе, как вполне конкретная н обозримая конечная комбинация знаков. Именно с этих' позиций школа Гильберта подходит к проблеме непротиворечивости: требуется доказать, что в цепи формул не-может появиться формула, изображающая противоречив. Однако, несмотря на значительное число работ в этом направлении, проблемы обосиовдния важнейших отделов математики ещ6' далеко не исчерпаны, Статьи Гильберта на эти темы, приложенные к кинге (приложения ч'! — Х), имеют целью ввеети читателя в круг его идей. Конечно, эти статьи, большей частью носящие характер эскизов П.

К, РАП1ЕВСКИй «осноВАния геометРии» ГильвеРТА 49 и написанные в некоторых частях полунамйками, ни в коем случае нельзя рзсценивать как связное изложение вопроса (и это тем более, что результаты последних десятилетий в них, конечно, не отражены), Изучить по этим статьям теорию доказательства Гильберта вряд ли возможно. Ио зато в них с огромным воодушевлением, часто подлинно художественными красками обрисован общий ход развития его идей н области оснований математики, И если большинство деталей ускользнйт от читателя, то он все же получит ягнвое и яркое представление о духе н характере этих построений в целом, Заметим ешли, что, хотя философские моменты в аргументации Гильберта иногда носят идеалистический характер, нетрудно вскрыть объективное материалистическое содержание его теории Как былоуже сказано, непротиворечивость математической теории должна быть обнаружена на основе ей сведения к развяртывающейся последовательности формул, Каждая из этих формул представляет собою конечную комбинацию знаков, о смысле которых мы полностью забываем и которые рассматриваем как некоторые самостоятельные предметы.

Предполагается, что в смысле такого формального обращения со знаками, например, в смысле уменья находить среди них одинаковые, уменья подставлять вместо одного определднного знака другой или целую комбинацию их и т. д„ мы твярдо стоим на ногах, н что эти операции непосредственно ясны, ни в каких дальнейших разъяснениях не нуждаются и никаких принципиальных сомнений не вызывают. Коротко говоря мы предполагаем, что со знаками, нз которых мы коибинируеи наши формулы, мы умеем обращаться не хуже, чем с предметами материального мира, И это действительно вполне законно, так как мы везде имеем дело лишь с конечными комбинациями знаков; мы можем, например, всякую формулу исчерпывающе записать карандашом на бумаге и тем самым, если угодно, осуществить знаки, нз которых она составлена, как сделанные из графита материальные предметы.

Итак, в глубочайших своих основах теория Гнльберта апеллирует — по своему объективному смыслу — к матери- альному опыту, так как она рекомендует обращаться с логико-математическими знаками в конечном счдте просто так, как если бы это были предметы материального мира. А это становится возможным лишь в связи со строгой конечностью всех комбинаций, в которых логико-матемзтические знаки встречаются в связи с возможностью до конца рассмотреть, перебрать каждую такую комбинацию. Поэтому так называемая «конечная установка» Гильберта и играет столь существенную роль в его теории.

О НЕЗАВИСИМОСТИ АКСИОМ Мы уже говорили о том, что естественно желать, чтобы система аксиом была минимальной в смысле заключднных в ней требований, чтобы в числе этих требований не было излишних. Если втой идее дать точную формулировку, то мы приддм к понятию независимости аксиом. Мы говорим, что данная аксиома является независимой от остальных аксиом (или от их части), если она не пожег быть выведена из этих аксиом как их логическое следствие. Таким образом, аксиома, независимая от остальных аксиом, ни в коем случае не может быть безнаказанно выкинута из аксиоиатикн данной геометрической системы: утрата ея невознагр»дима, так как то, что она содержала, .

невозможно восстановить за счят оставшихся аксиом. Идеальным положением вещей в смысле сведения системы аксиом к минимуму было бы такое, когда каждан из аксиом была бы независима от остальных. В этом случае мы действительно были бы уверены, что в нашей аксиоматике невозможны больше никакие сокращения и всякое сокращение повело бы к ослаблению аксиоматики по существу, а тем самым и к изменению геометрической системы. Однако такое положение вещей недостижимо ло конца в интересующем нас случае аксиоматики Гильберта.

Дело в тои, что, например, при формулировке аксиом К группы, относящихся к понятию «между», предполагается, что уже установлено понятие «принадлехсит» со свойствами, описанными в ! группе аксиом. А при формулировке аксиом конгруентности ()!! группа) предполагается кроме того, 4 д. ги геверг 50 П. К. РЛШЕВСКий «осиоалния геометРинл гнльееРтл 5! что и понятие «между« уже установлено аксиомами !! группы, Такого рода предположение существенно иногда уже длн самой возможности формулировать аксиомы Ш группы; так, в формулировке аксиомы Ш, фигурирует понятие полуплоскости, которое невозможно установить без использования аксиом 1! группы.

Поэтому было бы бессмысленно даже ставить вопрос, например, о независимостй аксиомы Паша !1, от аксиом В! группы: нельзя пытаться доказать, что аксиома Паша не вытекает (или вытекает) из этих аксиом, так как уже, чтобы их формулировать, нунсио заранее предположить справедливость аксиомы Паша.

Гильберт рассматривает (Я 1Π— 12) вопрос о независимости лишь для некоторых наиболее интересных аксиом. Прежде всего речь ндбт о независимости аксиомы параллельности !Ч от всех остальных аксиом, На этом примере мы и разъясним общий прием, употребляющийся для доказательства независимости той или иной аксиомы.