Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы)

ГЕОМЕТРИЯ КАК ФИЗИКА К огда мы изучаем геометрию впервые — так, как она преподается в школе, — в нашем сознании возникает своеобразный мир идей, которые странным образом и реальны н призрачны олновременно. В самом деле, мы рассуждаем о прямых линнях, о плоскостях, о геометрических телах (например, о шаре) н т. д., приписывая нм вполне определенные свойства. Но где н в каком смысле существуют втн вещи в таком виде, в каком онн служат предметом нашего изучення?. Ведь мы знаем, что как бы мы нн шлифовали, скажем, поверхность металлической пластинки, мы никогда не сможем придать ей форму «идеальной плоскости» в силу неизбежных погрешностей в инструменте и в самой операции.

Более того: не только нельзя достичь идеально плоской формы, но вследствие атомного строения материи, нельзя даже к ней неограниченно приближаться, Лействительно, когда мы будем увеличивать требуемую точность, то металлическая пластинка распадается на отдельные атомы, и тогда вообще не имеет смысла говорить о ее поверхности, А что такое прямая лнння? Может быть, можно считать, что световые лучи распространяются по идеально прямолннейным путям? Но квантовая механика учит нас, что свет распространяется отдельными порциями — кваитамн, причем говорить о пути, по которому такой квант движется, вообще не имеет смысла Но тогда чтб же.мы изучаем в геометрии? Как будто только призраки, создания нашего воображения, чуждые материальному миру.

Но мы твердо знаем н нз повседневного опыта, и нз технической практики, что законы н П. К. РАШЕВСКИЙ «ОснОВАния геометРНН» ГильвеРтА правила, выведенные для этих призрачных объектов, с непреодолимой силой подчиняют себе материальную природу, И инженер, рассчитывающий новую конструкцию, усомнится в случае неудачи в каких угодно свонх допущениях, но ни в коем случае не в формуле для объбма призмы, напрнмер. Так чтб же представляют собой этн геометрические образы, как будто невесомые, нематериальные, н в то же время с такой непреодолимой силой облекающие собою материальный мнр н, как можно подумать (н как идеалистическая философия часто н учила), формнрующне его по своему образу н подобию? Материалистическое понимание мира поможет нам ответить на этот вопрос. Начнбм с нарочито грубого примера, Пусть перед лами забор, Огораживающий земельный участок.

Если мы будем вычислять площадь этого участка, намечать его распланировку н т. д., то в наших геометрнческнх расчбтах вместо забора будет фигурировать замкнутая линия, а вместо земельного участка — выделяемый ею кусок плоскости. В чбм состоит суть этой подмены материального предмета геометрическим понятнемг Дело В том, что земельный участок практически не изменится от того, сделаем ли мы забор около него нз дерева нли камня, той нли иной ширины, той или иной высоты, сдвинем лн его на сантиметр в сторону и т, д. От всего этого можно отвлечься, поскольку нас интересует только самый земельный участок, а то, что делается по самым его краям, практически роли не играет. Таким образом, мы отвлекаемся от подавляющего большинства свойств забора как материального тела, неважных для нас в данном случае. Те же свойства забора, которые для нас важны,— свойства, связанные с его протяжбнностью в длину, — мы сохраняем в поле зрения.

И эти свойства как раз н будут свойствами линии в геометрическом смысле слова. То же самое относится н к бесчисленному ряду самых разнородных примеров: когда мы рассматриваем вер6вку, траекторию летящего снаряда и т. д„то, с известной степенью точности, нам приходится интересоваться лишь теми их свойствами, которые мы называем свойствами геометрической линии. Итак, когда мы изучаем геометрическую линию, то мы изучаем одновременно и забор, огораживающий участок, и длинную — сравнительно с толщиной — вербвку, и траекторию летящего снаряда. Но все эти явления мы бервм не во Всбм разнообразии нх свойств и не с максимальной точностью, а лишь с точки зрения их одномерной.

протяжбнности, почему-либо для нас в данном случае важной, и с практически нужной степенью точностн. И тогда выступают те общие свойства этих предметов, которые мы и называем свойствами геометрической линии. Так, если мы говорим, что линия не имеет ширины, то это есть только краткое выражение того, что ширина забора практически ие отражается на огороженном участке, что поперечными размерами вербвки можно пренебречь сравнительно с е6 длиной и т.

д, Аналогичный смысл имеют н все другие геометрические понятия н положения. Все они отражают свойства материальных предметов, законы материального мира. Их «идеальный» характер означает просто отвлечение (абстракцию) от несущественных в данной связи свойств материальных вещей, в частности, рассмотрение нх лишь с известной степенью точности. Это отвлечение н позволяет выступить наружу в чистом виде тем общим н глубоким свойствам материальных вещей, которые мы называем свойствами протяжбнности н изу.чаем в геометрии.

Законы геометрии обязательны для природы потому н постольку, поскольку они из не6 извлечены, Таким образом, истины геометрии, отражая материальную действительность, воспроизводят е6 приближ6нно, в упрощ6нном, схематизированном внде, Именно за сч6т Отвлечения от бесчисленного множества усложняющих обстоятельств н возннкает столь импонирующая стройность и законченность геометрической теории. Но если так, то естественно,что геометрия (речь ндбт пока вс6 время об евклидовой геометрии) не может претендовать на неограниченную прнложимость к исследованию материального мира: когда точность этого исследования перейд6т некоторые пределы, то геометрия, по самому своему существу отражающая действительность приблнж6нно, откажется служить.

Чтобы сделать е6 снова пригодной, нам придбтся уточнять е6 в соответствии с иовымн экспериментальными дан- п. к. Рашевский ными, нам придется возвращаться назад и поднимать то, что было брошено на дороге, откинуто в процессе абстракции, Но каковы те наиболее бросающиеся в глаза стороны материальной действительности, от которых мы отвлеклись, строя геометрию? Это, прежде всего, протекающее во времени движение материальных масс.

Естественно, что, отказываясь от излишней абстрактности в геометрии, приближая еб к материальной действительности, мы должны вернуть в поле зрения процессы движения материн, а это значит, что геометрия должна рассматриваться в органическом объединении с механикой.

«Чистая» геометрия исчезает. Вся сказанное вовсе не относится только к области теоретических схем; исторически развитие науки в ХХ веке шло именно по этому руслу, Специальная теория относительности (1905) организовала пространственную н временную протяженность в одно неразрывное целое, а общая теория относительности (1916) сверх того объединила в одну дисциплину геометршо и общее учение о распределении и движении материальных масс. Таким образом, в том разрезе, в каком мы до сих пор говорили о геометрии, она есть часть физики и, следовательно, должна расти и развиваться вместе с нею на экспериментальной основе, Но в геометрии есть и другая, математическая сторона, на которую мы до сих пор сознательно закрывали глаза, И эта сторона дела для нас сейчас наиболее важна, так как именно ей посвящена настоящая книга ГБОМБТРКЯ КАК МАТЕМАТИКА До сих пор мы совершенно не затронули вопроса о логической структуре геометрии, а между тем она, пожалуй, наиболее поражает начинающего и требует от него наибольшего напряжения мысли.

И, это, конечно, не случайно: именно здесь заключена сущность геометрии, если рассматривать ее как отдел математики. Можно сказать, что геометрия как математика — это геометрия, рассматриваемая с точки зрения ее логической структуры, Постараемся вникнуть в это возможно глубже, так как иначе содержание книги останется недоступным «основания гвомятгии» гильвягтА 11 в своих основных идеях. Для большей конкретности ограничиваемся попрежнему трехмерной евклидовой геометрией. Прежде всего ясно, что геометрия не представляет собой просто совокупности предложений, имеющих самостоятельное значение каждое в отдельности. Предложения геометрии связаны густой сетью логических зависимостей.

Более точно это значит, что одни предложения можно выводить из других чисто логическим путам, не пользуясь наглядно очевидными, почерпнутыми нз опыта свойствами геометрических образов, а просто применяя правила формальной логики, Так, из предложений «всякий прямоугольник обладает равными диагоналями» и «всякий квадрат есть прямоугольник» следует, что «всякий квадрат обладает равными диагоналями». Для того чтобы сделать этот вывод, совершенно не обязательно представлять себе квадрат с его диагоналями; можно вообще не знать, чтб такое «квадрат» и «прямоугольник» и что значит «обладать равными диагоналями». Независимо от того, какой смысл будет вложен в эти термины, умозаключение воспроизводит один из рассматриваемых в формальной логике типов силлогизма и потому вся равно остаатся правильным. Естественно возникает вопрос: каким образом можно охватить, сделать осязательной всю систему формально логических зависимостей такого рода, пронизывающих геометрию, а не только отмечать их на отдельных примерах, Ответ на этот вопрос даат аксиоматическое построение геометрии.