Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 7

Все, что нам нужно для дальнейшего знать об этих законах, перечислено в указанных аксиомах. Совокупность объектов, удовлетворяющих аксиомам 1 — 12, называется в современной алгебре полем. При наличии аксиомы 12 поле называется коммутативным, в противном случае — некоммутативным. Но нам недостаточно иметь вообще поле; нзм нужно ещй это поле упорядочить. Аксиомы 13 — 16 вводят для рассматриваемых объектов соотношения «больше» и «меньше» и указывают свойства этих соотношений. Конечно, и здесь никаких наглядных предстзвлений о «величине» наших обьектов не предполагается, а вся, что о понятии «больше» следует знать, исчерпывающе дано в аксиомах 13 16. Итак, аксиомамн 1 — 16 характеризуется упорядоченное поле, и исчисление, таким образом определанное (выкладки с элементами поля), как раз и будет играть у нас основную роль.

Что же касается аксиом непрерывности !7 — 18, то они, как можно доказать, превращают упорядоченное поле вообще (определанное аксиомами 1 — 16) в поле всех действительных чисел. В неархимедовой геометрии эти аксиоиы в исчислении отрезков места иметь не будут, в соответствии с отсутствием аксиом непрерывности в самой геоиетрии. ° Далее, в главе П1, это абстрактно охарактеризованное исчисление с аксноиаин 1 — 16 осуществляется геометрически, А именно, в качестве объектов исчисления берутся отрезки в неархимедовой геоиетрии (причйм на их положение а пространстве внимания не обращается, и конгруентные между собой отрезки считаютсв одним и тем же объектом). Операции сложения и умножения ($ !6) отрезков вводятся геометрическим путам, в случае Сложения совершенно очевидным. Понятие «больше» определяется тоже геоиетрическн, обычным образом. Можно проверить, что аксиомы ! — 16 будут иметь место в этом исчислении отрезков.

Фундаментальную роль при этой проверке .играет теорема, которую Гильберт называет коротко теоремой Паскаля. По существу, это — частный случай теоремы П. К. РАШЕВСКИЙ Паскаля, когда коническое сечение распадается на пару прямых и когда противоположные стороны шестиугольника параллельны. Необходимо иметь в виду, что отрезки, как элеиенты исчисления, представят нам непосредственно лишь положительные элементы упорядоченного поля, характеризуемого аксиоиаин 1 — 16. Чтобы получить зто поле полностью, приходится — как это слелано в ф 1 1 — ввести в рассмотрение ещ6 «отрезок-нуль» и «отрицательные отрезки».

Если ограничиться отрезками, откладываемыии по одной прямой, и условиться брать отрезок всегла с определ6нныи порядком концов, то положительные и отрицательные отрезки иожно характеризовать геометрически по обычному способу. Для построения всего существенного в теории полобия (2 16) лостаточно пользоваться лилль положительныии отрезками. Сущность неархимедовой теории подобия основана на том, что мы теперь опять можем говорить об отношении двух отрезное а, Ь, но уже не как о числе, а нак об отрезне.

полученном пу»нем деления а на Ь в нашем исчислении. Пропорциональность отрезков а, Ь отрезкам а', Ь' может быть определена равенством отрезков и а' Ь Ь' — = — нли, что то же, аЬ'= Ьа', Однако в тексте не говорится явно об отношении отрезков как об отрезке, так как отношение в этои случае страдало бы серьззным недостатком: оно зависело бы от выбора единичного отрезка в нашем исчислении, Тем не менее пропорциональность отрезков а, Ь и и', Ь', определ6нная как выше, ииеет инвариантный смысл, что видно хотя бы из теоремы 42.

А так как для теории подобия важна лишь пропорциональность отрезков с е6 обычнымн свойствами, то эта теория строится без затруднений в полном соответствии с обычным изложеньем. Неархимедова теория площадей, изложенная в четвбртой главе, совершенно аналогичным образом использует исчисление отрезков взамен невозможного сейчас выражения отрезков числаии и операций над последниии. «осноВАния геометРии» ГильвеРТА Сначала определяется равновеликость двух многоугольников по разложению (возможность разложения на попарно конгруентные треугольники) и равновеликость по дополнению (возможность разложения на попарно конгруентные треугольники после подходящего расширения того и другого иногоугольника за сч6т попарно конгруентных треугольников) Эти понятия, эквивалентные в обычной геометрии, оказываются неравноценныии в геометрии неархииедовой, Приходится положить в основу более широкое из ннх по объяму, ииенно равновеликость по дополнению.

Гильберт показывает, что треугольники с одинаковыми основаниями и высотамн всегда равновелики по дополнению, но могут оказаться неравновеликими по разложению. После установления основных свойств равновеликости по дополнению (теоремы 43 — 41), сходных с обычными, возникает важная задача: доказать, что многоугольник не пожег быть равновелик по дополнению своей части (в этом смысл теоремы 48), Если бы это было не так, то понятие равновеликости потеряло бы 'свою ценность, так как мы не имели бы возиожности дополнить его понятиями «больше» и «меньше» в прииенении к площалям, Действительно, естественно принять, что один многоугольник меньше лругого по площади, если первый иногоугольник равновелик части второго многоугольника.

Но если иногоугольник способен быть равновеликим своей части, то приходится принять что он меньше себя самого и т. д., что совершенно обесценивает понятия «больше» и «иеньше». Таким образом, в расширенном виде наша задача сводится к следующему: ввести для многоугольников понятия: «рави», « авно «больше» и «иеньше» с их обычными свойствами и притом так, чтобы роль равенства играла выше уже определянная равновеликость по лополнению и чтобы многоугольник, заключбнный в другом ииогоугольнике« расценивался всегда как меньший (и следовательно, как неравный).

Эта задача решается Гильбертом пут6м сопоставления кажлому »шогоугольннку опрелел6нного отрезка, который называется мерой площади многоугольника, А ииенно, кажлому треугольнику сопоставляется отрезок, равный полупронзведению основания на высоту, в смысле исчисле- 38 П. К.

РАШЕВСКИЙ «ОсиовАния ГеометРии» гильвеРТА ния отрезков. Каждому многоугольнику сопоставляется сумма отрезков, отвечающих треугольникзи, на которые данный многоугольник разбиваетса. При этом доказывается, что от способа разбиения эта сумма не зависит. Основной результат формулируется в теореме 51: для равновеликости многоугольников по дополнению необходимо и достаточно равенство их иер .площади.

Теч самым понятия «равно», «больше» и «иеньше» для многоугольников (в смысле их площади) без труда иогут быть введены путйи сравнивания соответствующих отрезков (иер площади). В частности, если один многоугольник вложен в другой, то мера площади последнего, как легко вытекает из определения, есть мера площади вложенного многоугольника плюс нера площади остатка, а значит, больше каждого из двух слагаемых.

Заметим, что мы считаеи здесь всй время меру площади существенно положительным отрезкои. Правда, в тексте в зависимости от ориентации многоугольника рассматривается и отрицательная мера площади, ио это удобно лишь в процессе доказательства (теоремы 49 и 50), а для окончательной формулировки результатов является совершенно лишним, В заключение следует выяснить, в каком отношении стоит эта теория площадей к традиционному материалу элеиентарной геометрии, Если мы откажемся от неархниедовой точки зрения, то отрезки мы сиожеи выражать числами, и всю предыдущую теорию сможем развить, рассматривая меру площади как число (вместо перемножения отрезков основания и высоты в треугольнике иы перемножаеи числа, их выражающие). Однако это вез-таки не будет теория, обычно излагаемая в учебниках.

Дело в том, что в обычном изложении молчаливо предполагается, что каждому многоугольнику можно сопоставить положительное число так, чтобы конгруентныч многоугольникам сопоставлались равные числа, чтобы составному многоугольнику сопоставлялась сумиа чисел, отвечающих его частим, и чтобы единичному квадрату была сопоставлена единица Вой это предполагается очевидным без всякого доказательства, а в дальнейшем исследуется лишь, каковы в таком случае будут этн числа, и доказывается, что ддя треуголь- ника это будет обязательно полупроизведение основания иа высоту, и т. д. Теория же Гильберта, перенесйнная в элеиентарную геометрию, показывает нам, что каждоиу многоугольнику действительно можно сопоставить положительное число с перечисленныии свойствами. Говоря коротко, теория Гиль- берта показывает существование меры площади, а обычная теории — ей единственность. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ.

ГЛАВЫ ПЯТАЯ И ШЕСТАЯ: НЕАРХИМЕДОВА ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В этих главах мы отказываемся от аксиом Ш группы, лишаемся, таким образом, понятия о конгруентности отрезков и углов и переходим тем самым, по существу, в область проективной геометрии. Более подробно на этом мы не останавливаеися, так как соответствующие пояснения даны в прииечании [аа) (стр. 459). Заметим только, что аксиомаии непрерывности мы тоже ббльшей частью пользоваться не будем, так что можно сказать, что предметом исследования будет служить иеархимедова проективная геометрия.

Правда, в буквальном смысле изложение Гильберта, правильнее было бы сказать, относится к иеархииедовой афинной геометрии. Но если ввести в рассмотрение несобственные (бесконечно-удалзнные) элементы, как это сделано в примечании [«е), то получается пространство, которое можно назвать неархииедовыи проективным пространством, и всй изложение можно использовать в значительно более широком смысле. А ииенно, все построения, данные в тексте, иожно рассматривать в неархииедовом проективном пространстве, из которого выкинута одна произвольно выбранная плоскость.

Под параллелизмом прямых нужно попинать при этом их пересечение на этой плоскости. Следует иметь в виду, что в прииечанин [аа) построение неархииедова проективного пространства не закончено в тои отношении, что не введены проективные отношения порядка. Но в главах У вЂ” Ч! отношения порядка игра1от вообще побочную роль. 4! 40 и. к.