Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 5

Остальные три аксиомы относятся лишь к прямолинейному расположению точек и очень скромны по своему солержанию. Сами по себе они недостаточны, чтобы охарактеризовать отношение «между» Лаже длн точек, расположенных на одной прямой. Онн становятся достаточными для этой цели только с привлечением на по- П. К. РАШЕВСКИЙ «осноВАния геометРии» ГильвеРТА 27 иощь аксиомы Паша, а следовательно, плоскостных построений.

Интересно заметить, что сравнительно с первым изданиеи сочинения Гильберта зта группа аксиом значительно сокращена. Оказались лишииии следующие имевшиеся в первои издании требования: между двумя данными точками всегда можно указать третью (теперь — теорема 3); из трйх данных точек на прямой по крайней мере одна лежит между лвумя другими (теперь — теорема 4; но осталось требование, что не более одной — аксиома В»); четыре точки на прямой всегда монсно заиумеровать так, что в каждой тройке из них точкас промежуточныи номером лежит межлу двумя лругими (теорема 5). Самым крупныи упрощением здесь явилась возможность доказать и теи устранить из числа аксиом последнее утверждение, Это было сделано Муром в !902 г, На основе понятия «между», характеризуемого аксиомами 1! группы, вводятся уже посредством прямых опрелелений понятия — отрезок, луч (полупрямая), угол и его внутренность (в книге угол вволится лишь после 1В группы аксиом, хотя его естественное иесто — после 1! группы).

Прн переходе к 1П группе аксиом (стр. 66) мы замечаем, что в самой их формулировке участвует уже понятие «иежду», так как речь идйт об отрезках и углах, а определения отрезка и угла содержат понятие «между», Таким образои, отношения «приналлежит» и «иежду» нужно предполагать уже установленными. Аксиомы 1!! группы имеют мелью формулировать те свойства отношения конгруентности, которые были бы достаточны для чисто логического вывода всех теорем, гле отношения конгруентности фигурируют. Мы прииииаем, следовательно, что олин отрезок или угол иожет находиться к лругому в определенном отношении, которое обозначается словом «конгруентен» и относительно которого известно только то, что оно подчиняется аксиомам !!! группы.

Вслелствие втой точкй зрения мы не имеем права приписывать понятию конгруентности даже самых «очевилных» свойств (что всякий отрезок конгруентен самому себе; что если первый угол конгруентен второму, то второй конгруентеи первому и т. л.), пока зти свойства не локазаны совершенно строгим образом иа основании аксиом.

Между прочим, второе из приведйиных в скобках утверждений локазывается ловольно поздно — оно вытекает лишь из теоремы 19, До тех пор нельзя считать, что ~ а = ~С р и бТ. РР = ~ д означает одно и то же, Первые три аксиомы И! группы относятся к конгруентности отрезков, четвертая — к коигруентности углов; особенно крупную роль играет пятая аксиома, единственная устанавливающая связь между конгруентностыо отрезков и конгруентиостью углов. В первом издании аксиомы конгруентностн были формулированы излишне сильно, Некоторые из них позже удалось доказать, исходя из остальных. Сюда относятся следующие утверждения: существует ие более одного отрезка, которому конгруентен данный отрезок и который отложен от данной точки по ланному лучу (т, е. в аксиоме !11, ранее требовалось не только существование, ио и единственность точки В'); всякий отрезок конгруентен сам себе; два угла, конгруеитиые третьему, конгруентны между собой. Наибольшим упрощением здесь явилось удаление нз числа аксиом последнего утвержления (теперь — теорема 19), Возможность доказать зто утверждение была обна- ружена Розенталем, ЧетвЕртая группа аксиом состоит нз единственной аксиомы, именно, аксиомы параллельности.

Ей присоединение превращает нашу геометрию в евклидову; напротив, отрицание этой аксиомы приводит нас к геометрии Лобачевского, АКСИОМЫ ИЕПРЕРЫВИОСТИ И ИЕАРХИМЕДОВА ГЕОМЕТРИЯ Совершенно особое положение занимают аксиомы Ч группы (аксиомы непрерывности), завершающие список аксиом, В первом издании в втой группе ииелась лишь одна аксиома, именно Ч„ известная аксиома Архимеда(«отклалывая достаточное число раз отрезок, конгруентный ланному, можно превзойти любой наперед заданный отрезок»). П.

К. РАШЕВСКИЙ «ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ" ГИЛЬБЕРТА 29 Может показаться странныи, что сначала Гильберт не обратил внимания на недостаточность этих аксиом для построения евклидовой геометрии в обычном смысле слова. Действительно, возьийи обычное евклидово пространство, отнесйнное к прямоугольным декартовыи координатам х, у, е, и выкинеи из него все точки, кроме тех, для которых все три координаты х, у и з суть алгебрзические числа, Не представит труда проверить, что в таком «изрешечйнном» пространстве сохраняют свою силу все аксиомы Гильберта, а между тем пространство будет неполным. Этот пробел в аксиоматике был указан Гильберту некоторыми авторами (Пуанкаре, 1902), после чего во второе издание «Оснований геометрии» была введена еще одна аксиома: аксиома полноты Чя (в последнем издании она формулирована в несколько упрощяннои виде, как аксиома линейной полноты), Такое, казалось бы, странное явление, как пропуск аксиомы полноты в первом издании, находит себе объяснение, если ознакомиться с содержанием книги в целом.

Дело в том, что, по существу, центральной идеей книги Гиль- берта является развитие геометрии независимо от аксиом непрерывности. Поэтоиу отсутствие аксиомы полноты не приводило к фактическим ошибкам нлн пробелам в доказательствах; после введения этой аксиомы она остаятся мертворождйнной и нигде в изложении не применяется. Сана формулировка аксиомы полноты весьма искусственна и сразу обличает ез цель — придать системе аксиом формальную законченность, заполнить те «скважины» в пространстве, которые возможны, как было указано выше, если ограничиться предыдущими аксиомами.

А именно, постулируется, что совокупность точек, прямых и плоскостей нельзя дополнить новыми элеиентами так, чтобы в расширенной совокупности попрежнеиу имели место все предыдущие аксиомы и чтобы отношения «принадлежит», «между», «конгруентеч» в применении к старым объектаи имели прежний сиысл.

Эта формулировка в последнеи издании несколько сужена (аксиома линейной полноты), но основная идея ея остайтся той же. Как очевидно, эта идея заключается в том, что, грубо говоря, запрещается рассматривать пространство неполное, пространство, из которого выкинута часть точек, прямых и плоскостей. А именно эту возможность и требовалось устранить. Мы уже упоминали, что аксиомы непрерывности занимают совсем особое место в аксиоматике Гильберта; они являются ей пасынками, без них автор охотно обходится: без аксиомы полноты — всегда, без аксиомы Архимела— большей частью. Мы должны здесь ближе рассмотреть весьма глубокие причины этого явления, Если ограничиться аксиомами 1 — 1Ч, то весьма характерныи явлением для аксиоматики Гильберта будет фактическое отсутствие понятия о бесконечном множестве.

Правда, сам автор часто хаят формулировки, которые естественно понять в смысле теории множеств. Например, начало изложения: «Мы мыслим три различные системы вещей... » естественно понять так, что рассматриваются три каких-то множества. Однако такого рода формулировки остаются, по существу, в области деклараций, а фактическое изложение идЕт мимо них. В самом деле, присмотримся ближе к характеру изложения ' с втой точки зрения. Прежде всего, очень важно, что Гильберт отказался от понимания прямых и плоскостей как составленных из точек бесконечных множеств, а ввйл прямую и плоскость как самостоятельные основные понятия, А в таком случае в формулировке любой аксиомы и в доказательстве любой элементарно геометрической теоремы фигурирует, очевидно, лишь конечное число точек (равно как прямых и плоскостей), и понятие о бесконечном множестве остайтся праздныи.

В частности, нет никакой надобности мыслить, например, множество в с е х точек на прямой, на плоскости, в пространстве (такое множество необходимо было бы бесконечным). Ни в одной из аксиом множества такого рода не фигурируют. Если же в каком-нибудь предложении утверждается существование (или несуществование) точки с таким-то свойством (например, точки, лежащей иежду лвуия данными), то это нужно понимать непосредственно в смысле разрешения (нли запрещения) рассматривать точку с данным свой- П.

К. РАШЕВСКИЙ 4основАния ГеометРии4 ГильвеРТА ством. Совершенно необязательно представлять себе при этом иножество всех точек, в котором, как элемент, существует (или не существует) точка с данным свойством, Точно так же, рассматривая, например, разбиение прямой на две полупрямые посредством взятой на ней точки О, нэт надобности говорить о разбиении на две части множества всех точек на примой (кроме О). По существу, речь идет о том, что, строя в процессе наших рассуждений точки на прямой, мы про каждые две из них А, В можем сказать, лежат ли они на разных полупрямых, определяемых О (когда О лежит между А, В), или на одной полупрямой (когда О между А и В не лежит). Другими словами, разбиение на два класса осуществляется для всех точек, фактически встречающихся в наших рассуждениях, как бы далеко мы их ни продолжали;.и этого длв нас достаточно, Но таких точек будет всегда лишь конечное число, и понятие о бесконечной совокупности всех точек прямой снова остайтся излишним.

Рассматривая аналогичным образом шаг за шагом всй изложение, мы убеждаемся, что, по существу, везде речь идйт о конечных конструкциях, законы построения которых дают нам аксиомы. Ничто, по существу, не вынуждает нас прибегать к понятиям теории множеств. Всй сказанное относится —,напоминаем — к аксиомам 1 †!Ч и той части геометрии, которая вытекает из них. Совсем иначе обстоит дело с аксиомами непрерывности Ч, и тут лежит пропасть, отделяющая их от предшествующих. Аксиомы непрерывности существенно 'предполагают понятие о бесконечном множестве, без чего они не могут быть формулированы, Действительно, в формулировке аксиомы полноты прямо говорится о множестве всех точек (в случае аксиомы линейной полноты — о иножестве всех точек на прямой).