Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 8

гхпшвскнй «основания Геометгииг гилъввгтл Задача, прежде всего разрешаемая в Ч главе, это— введение системы ноординат и вообще методов аналитичесноа геометрии в неархимедовом проехтивном пространстве. Здесь нельзя использовать в качестве координат обыкновенные числа ввиду отсутствия аксиомы Архимеда; нельзя использовать и исчисление отрезков, построенное в главе !П, так как оно опиралось на аксиомы конгруентности.

Но Гильберт выходит из положения, строя новое исчисление отрезков без использования аксиом конгруентнасти, в, следовательно, чисто проектнвного характера, Объектани исчисления, как и в главе Н1, являются отрезки, Но если раньше отрезки брались совершенно произвольно рзсположенными, причем конгруентные между собой отрезки, как объекты исчисления, не различались друг от друга, то теперь рассматриваются лишь отрезки, откладываемые от некоторой фиксированной точки О по двум фиксированным прямым, проходящим через нее.

Отрезок, отложенный от О по одной из этих прямых, признайтся — кзк об ьект исчисления — равным отрезку, отложенному из О по другой из этих прямых, если прямая, соединяющая концы этих отрезков, параллельна некоторому фиксированному направлению. На основе геометрических конструкций дается определение суммы и произведения отрезков и доказывается, что построенное исчисление удовлетворяет всем требованиям 1 †)Л 2 13, кроме требования 12. Другими словами, совокупность наших отрезков можно рассматривать как, вообще говоря, некоммутативное 'упорядоченное поле.

Такое поле Гильберт называет дезарговой числовой системой и кладйт в основу аналитической геометрии в неархимедовом проективном пространстве, Сообразно целям главы Ч аналитическзя геометрия строится в ней только для плоскости, хотя без каких-либо принципиальных затруднений аналогичное построение можно было бы выполнить и в пространстве, Мы берйм в плоскости какие-нибудь две прямые, проходящие через фиксированную точку Π— это будут оси координат в и отмечаем каким-нибудь образом на каждой из них по точке, которые в исчислении отрезков будут использованы в качестве единичных точек Е и Е'. Радиус-вектор ОМ произвольной точки М мы обычным образом разлагаем на составляющие по осям.

Если бы полученные отрезки мы могли выразить числами, то у нас получилась бы обыкновенная афннная система координат; но теперь вместо этого мы сами отрезки непосредственно делаем объектами исчисления, о котором выше уже говорилось. Сами эти отрезки (составляющие по осям), рассматриваемые теперь как объекты исчисления, мы называем координатами х,у точки М. Основной результат заключается в том, что уравнения прямых будут иметь обычный ннд: ах + Ьу'+ с = О, однако при условии, что коэффициенты а, д при текущих координатах х,у (а,д,с — тоже отрезки, объекты нашего исчисления) стоят слева, что теперь весьма существенно (ахфха и т.

д.). Таким образом, вводится аналитическая геометрия на неархимедовой проектнвной плоскости. Конечно, несобственные точки здесь координат не получают,— чтобы приписать координаты н им, пришлось бы перейти к однородным координатам в точности так, как это делается обычно. Только однородные координаты х„ хг, х, будут теперь характеризоваться тем, что онн задаются с точностью до умножения справа на общий множитель р=,йО. После введения аналитической геометрии без особого труда решается следующий вопрос, который Гильберт рассматривает как основной в главе Ч. Будем рассматривать геометрию на плоскости нашего пространства.

Объектами этой геометрии будут точки и прямые, принадлежащие данной плоскости, Из рассматриваемых аксиом (группы 1, И и 1Ч, см. 2 22) прндйтся сохранить лишь плоскостные, т. е, относящиеся к построениям, умзщающимсн на плоскости (1,, 11,, 1Чн). Кроме того, на плоскости имеет место теорема Дезарга (теорема 53). При доказательстве этой теоремы, которое можно найти в любом курсе проективной геометрии, используются пространственные построения, несмотря на плоскостной характер самой теоремы. Гильберт показывает, что это не слу- П, К. РЛШЕВСКнй чайно: на основании только одних перечисленных плоскостных аксиом теорема Дезарга не может быть доказана (даже если усилить их за счет аксиом непрерывности и всех аксиом конгруентности, кроме последней, П!ь), Правда, при помощи всех аксиом конгруентности теорема Дезарга может быть доказана без выхода в пространство, но это нас сейчас не интересует, так как мы занимаемся проективной геометрией и понятия конгруентности не рассматриваем, И~лак, справедливость гпеоремы Дезарга на плоскости есть требование, не вытекающее иэ плоскостных аксиом провктивной геометрии.

Поэтому, желая строить плоскую геометрию самостоятельно — без выхода в пространство, мы должны присоединить аеорему Дезарга в качестве новой аксиомы к плоскостным аксиомам Оказывается, далее, что такое расширение плоскостных аксиом является уже достаточным для нашей цели. А именно, в плоской геометрии, где имеют место плоскостные аксиомы и теорема Дезарга, можно построить исчисление отрезков (Я 24 — 26) и ввести аналитическую геометрию (9 2Т), о которых мы уже говорили.

Получив, таким образом, деззргову числовую систему, мы используем ее Я 29) для формально аналитического построения пространства (точкой называется тройка элементов дезарговой системы и т. д.), в котором соблюдены все аксиомы 1, П, ГУ и на плоскостях которого осуществляется исходная плоская геометрия.

В этом и заключается основной результат: чтобы геометрию, построенную на плоскостных аксиомах 1, П... !У", можно было осуществить на плоскостях некоторого пространства (удовлетворяюягего аксиомам 1, П, 1У), необходимо и достаточно, чтобы кроме указанных плоскостных аксиом в этой геометрии имела место и теорема Дезарга. Глава У! посвящена дальнейшему углублению тех же вопросов. В главе У речь шла о неархимедовой проективной геометрии, т. е. о геометрии, основанной на аксиомах 1, П, !У и ие, озирающейся, следовательно, на аксиомы коигруентности П! и аксиомы непрерывности У. Но это не означало, конечно, что отброменные аксиомы обязательно соснонлния геометРии» гильвеРта 43 неверны в нашей геометрии.

Действительно, все наши выводы остаются правильными в том частном случае, когда, помимо положенных в основу аксиом 1, П, 1У, верны некоторые или даже все отброшенные аксиомы, В частности, можно поставить вопрос о том случае нашей геометрии, когда, помимо аксиом 1, !1, !У, справедлива и аксиома Архимеда, Аксиому Архимеда приходится формулировать теперь иначе, чем в первой главе, так как сейчас у нас нет понятия о конгруентности отрезков, а следовательно, и об откладывании данного отрезка от данной точки. Но зато у нас . есть понятие о сложении отрезков в смысле исчисления отрезков,Я 24 — 26, н под последовательным откладыванием данного отрезка а мы будем понимать последовательное составление сумм а + а + а + ... Аксиома Архимеда будет заключаться в том, что сумма этого вида способна превзойти всякий наперз?д заданный отрезок Ь при достаточно большом числе слагаемых а (подразумевается, что оба отрезка а и Ь суть отрезки— элементы исчисления, а потому откладываются от одной точки О и по одной прямой; кроме того, считаем а ) О, Ь ) О), Как показано в 9 32, введение этой аксиомы влечет за собой коммутативность умножения в дезарговой числовой системе, а значит, и справедливость теоремы Паскаля, Дейсгвительно, в й 34 доказано, что то и дру~ое эквивалентно.

В этом и заключается специализация нашей геометрической системы в результате присоединения аксиомы Архимеда. Тут остаЕтся, однако, сомнение такого рода: может быть, коммутатнвность умножения и теорему Паскаля можно доказать, и не присоединяя к принятым аксиомам 1, П, ГУ аксиомы Архимеда? Тогда специализация, о которой идет речь, оказалась бы фиктивной. Этот вопрос решается в 9 33, где дзн пример существенно некоммутативной (а, следовательно, существенно неархимедовой) дезарговой числовой систеиы. Употребляя элементы этой числовой системы для аналитического построения пространства (точка †трой элементов х, у, г и т.

д,, согласно 29), мы получаем геометрию, в которой имеют место 44 и. К. РАШЕВСКИЙ 45 «ОсновАния ГеОметРии» ГилъвеРТА аксиомы 1, 11, !Ч", в то же время исчисление отрезков существенно некоммутативно, а следовательно, теорема Паскаля неверна. Таким образом, без аксиомы Архимеда, только на основании аксиом 1, !1, !Ч» доказать теорему Паскаля оказывается невозможным, ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ. ГЛАВА СЕДЬМАЯ4 НЕАРХИМЕДОВА ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЙ Мы возвращаемся опять в область метрической неархимедовой геометрии, т. е.

опираемся на все аксиомы! — !Ч. Исключены, следовательно, только аксиомы непрерывности. Мы ограничиваемся при этом лишь геометрией на плоскости. Содержание некоторых аксиом состоит, как легко заметить, в том, что утверждается разрешимость определЕнных задач на построение. А именно, утверждается возможность: провести прямую через две точки (1,), отложить отрезок, конгруентный данному отрезку, поданному лучу(11!4) и отложить угол, конгруентный данному углу в данной полу- плоскости и от данного луча (1!14), Еигй одно аналогичное утверждение содержится в аксиоме параллельности 1Ч. Это становится ясным, если взять ей в формулировке Евклида: две прямые, образующие с некоторой секущей внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, пересекаются между собой.

Здесь утверждается, таким образом, возможность построить нри определйнных условиях точку, общую двум прямым. Просматривая аксиомы ! — 1У, нетрудно убедиться, что этим исчерпываются все задачи на построение, разрешимость которых требуется неиосредственно аксиомами, Остальные задачи на построение, в той мере, в какой они разрешимы в нашей геометрии, сводятся, таким образом, к перечисленным четырйм основным задачам. Более того, оказывается, что это остается верным и в том случае, если из списка основных задач выкинуть откладывание угла и откладывание произвольного отрезка, заменив последнее откладыванием фиксированного отрезка (теорема 63).