Гильберт - Основания геометрии (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 3

По сущее~ну это были уже элементы неевклидовой геометрии, что, однако, не доходило до сознания аз~оров этих работ +). Уже в 1823 г, великий русский геометр Н. И. Лобачевский (1792 — 1856) ясно сознавал бесцельность попыток доказать постулат о параллельных *"): Вскоре он пришел к мысли, что отрицание Ч постулата вообще ни к какому противоречию ие приводит н тем самым вызывает к жизни новую, неевклидову геометрическую систему. Он первый выступил публично с систематическим изложением неевклидовой геометрии.

11 февраля 1826 г. в заседании Физико-мате»~атического отделения Казанского университета он *) История Ч постулата изложена в ! томе «Полного собранна сочинений Н. И. Лобачевского в статье В. Ф. К а г а н а. »») См. его соч., Геометрия", «основания геометгнн» гильвегтх 17 изложил основы своего открытия, а в 1829 г. опубликовал в «Казанском вестнике» мемуар «О началах геометрии», содержащий обстоятельное изложение неевклидовой геометрии, Позже к неевклидовой геометрии пришел И. Больай (1802 — 1860), опубликовавший свои результаты в 1832 г.

Из переписки Гаусса (1777 — 1855), изданной лишь после его смерти, с~ало известно о набросках Гаусса по неевклидовой геометрии. Однако, опасаясь быть непонятым и осмеянным, он никогда не имел мужества публично заявить об этом. Н. И. Лобачевскому, не убоявшемуся опубликовать свои результа~ы в России (1826) и за границей (1840), принадлежит безусловный приоритет в открытии неевклидовой геометрии.

Однако творец еб остался прн жизни непонятым. Лишь в шестидесятых годах работы Лобачевского вошли в математический обиход и явились поворотным пунктом, определившим в значительной мере весь стиль математического мышления Х1Х века" ). ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВОПРОСЕ ОВ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ В чем непосредственно заключается содержание неевклидовой геометрии? Оказывается, что в геометрии можно отказаться от Ч постулата, т. е.

принять, что в плоскости через всякую точку, взятую вне какой-нибудь прямой, проходит бесчисленное множество прямых, эту прямую не пересекающих. Несмотря на, казалось бы, очевидную неправильность этого допущения, из него можно неограниченно выводить следствия, доказывать теоремы, не приходи к логическому противоречию. В результате возникает новая, неевклидова геометрия. Правда, многие иа теорем этой геометрии, еще в большей степени, чем исходное допущение, представляются нам с наглядной точки зрения неправнльнымн, а некоторые — просто чудовищнымн. Но логически изложение осшбтся безупречным. Уже 'это обстоятельство показывает известную автоно.

мню логического строения геометрии по отношению к ген*) Жизнь н творческий путьЛобачевского в широком историческом аспекте показаны в книге В. Ф. К а г а н а»Лобачевский», 2 Д. Г»л»б»р» 18 П. К. РАШЕВСКИЙ «осноВАния геометРии» ГильееРтА метрической наглядности, показывает, что логическое развитие геометрии может осуществляться в известной мере независимо н даже Вразрез с наглядными представлениями, заимствованными из физического опыта. Но еще большее значение имела другая сторона дела, которой интересовался уже Гаусс. А именно, естественно поставить вопрос если логически обе геометрии — евклидова н неевклидова — строятся безупречно, то ведь в материальном мире должна быть справедлива лишь одна (нлн, если выражаться точнее, одна из них должна лучше отражать свойство протяженности, чем другая). Постановка этого вопроса уже прямым путем ведет к тому различению геометрии кзк физики и геометрии как математики, о котором говорилось в начале этой статьи.

В самом деле, если геометрию брать как учение о протяженности реального мира, то оказывается, что математика может предложить для нее на выбор разнообразные схемы (к неевклидовой геометрии Лобачевского дальнейшее развитие науки добавило другие, более широкие обобщения). Выбор нанлучшей среди втих схем должен быть решйн путзм физического опыта, н в этом смысле геометрия становится подлинной частью физики. Между тем, пока существовала только одна евклидова геометрия, то, ес~ественно, считали еб безусловно обязательной для природы. Если би эта точка зрения не была преодолена, то такой крупный прогресс в физике, как появление теории относительности, стал бы невозможным. Во-вторых, ясно, что наша интуиция, наши наглядные представления, если даже считать, что они дают нам вполне определенные указания, не могут одновременно соответствовать всем существенно различным между собой геометриям.

Поэтому нам остается лишь олин выход: возможно полнее использова~ь логическую связь предложений в области геомезрии как математики, и обосновать на ней развитие геометрических систем. Это значит, что мы переходим к выше обрисованной аксноматической точке зрения. Укажем некоторые важнейшие вехи на том пути, по которому исторически шло осуществление этой цели. ПРЕ)(ШЕСТВЕНИИКИ ГИЛЬБЕРТА Первым крупным достижением в области аксноматнческого построения геометрии явилось исследование Паша «Лекции по новой геометрии» (Разе й, Ног!езпщеп йЬег лепехе беоше!г!е, 1882)»).

Паш считает, что основные положения геометрии должны быть заимствованы из опыта, но дальнейшее развнтие геометрической системы должно протекать путбм чисто логических умозаключений, В осуществление этой идеи Паш формулирует прежде всего 12 аксиом следующего характера (им у Гильберта отвечают аксиомы ! и !! группы). Это, во-первых, аксиомы, касающиеся принадлежности точек прямым и плоскостям. Впрочем, Паш рассматривает собственно не прямые, а лишь отрезки, н не плоскости, а ограниченные кускн плоскостей. Он мотивирует это тем, что бесконечные прямые и плоскости не даны нам в опыте, закрывая глаза на то, что конечные отрезки в математическом смысле тоже не даны нам в опыте н тоже являются результатом аб.

стракцни. Аксиомы, о которых идбт речь, утверждают, что между двумя точками всегда лежит один и только один отрезок, что через каждые трн точки проходит «кусок плоскости», что если две точки отрезка лежат на данном «куске плоскости», то и все точки этого отрезка лежат на некотором «куске плоскости», заключающем в себе данный «кусок плоскости»» н т. д. Здесь под «отрезком» и «куском плоскости» понимаются некоторые совокупности точек, Какие именно совокупности н что нужно понимать под точкой †математичес ») В втой краткой вступительной статье нам приходится Игнорировать. как и многие другне моменты, историю аиалнтяческого направления в области оснований геоиетрни, связанного с именами Лн н Клейна. Интересующиеся вопросом найдут его прекрасное нзложенне в книге В. Ф.

Кагана «Основания гео. метрни»,том Н, «Исторический очерк развнтня учения об осно. ваннях геометрии». Первый том той же книги посвящен обосно. ванию геометрии на весьма оригинальных началах, объединяющих в себе в известной мере и аналитическое н синтетическое направления. 2'« 20 П. К. РАШЕВСКИЙ 21 «осноВАния геометРии» ГильвеРТА не определяется и не должно определяться. Всй, что на этот счйт нужно знать, формулировано в аксиомах, как н должно быть при аксиоматическом построении геометрии, Аксиомы принадлежности у Паша (сам Паш их не выделяет в особую группу, как было сделано позже Гиль- бертом) страдают одним недостатком: они чрезмерно усложнены из-за рассмотрения кусков прямы«и плоскостей вместо самих прямых и плоскостей.

В остальном они выбраны удачно, и Гильберт, устранив этот недостаток, весьма близко их воспроизводит в своей ! группе аксиом. В числе первых 12 аксиом Паша помещены далее и те, которые позже были оформлены Гильбертов в виде В группы аксиом и названы аксиомамн порядка. В формулировке этих аксиом заключается наибольшая заслуга Паша. Действительно, мы без труда представляем себе расположение точек на прямой линии, и наглядно для нас совершенно ясно, например, что если С лежит между А н О и В лежит между А и С, то В лежит между А н О.

Но при аксиоиатическои построении геометрии наглядность не должна применяться в доказательствах, и все такого рода предложения должны логически вытекать нз некоторых иа них, принятых за основные. Пашу действительно удалось выделить такие основные предложения и формулировать их в качестве аксиом. Сюда входит, например, только что формулированное предложение и несколько других того же характера; особняком стоит особенно важная аксиома, касающаяся расположении точек уже не на примой, а на плоскости; она и сейчас известна под названием аксиомы Паша (у Гильберта это аксиома !!«). Однако Паш сильно преувеличил число аксиом, нужных зля установления порядка точек; у Гильберта 1! группа аксиом гораздо скромнее по обьйму, Правда, это достигнуто за счет того, что для установления порядка точек на прямой привлекается плоская аксиома порядка (аксиома Паша); автономно же порядок точек на прямой у Гиль- берта установлен быть не может, Сверк упомянутых 12 аксиом Паш дайт ещй 10 аксиом, относящихся к понятию конгруентности фигур (это соответствует Ш группе аксиои Гильберта), Эти аксиомы чрезвычайно тяжеловесны по сравнению с тем минимумом, который необходим для логического вывода всех свойств конгруентности.

Аксиома Архимеда, между прочим, включена в число этих аксиом (у Гильберта она входит в Ч группу), В общем Паш подошйл очень близко к системе аксиом, достаточной для развития геометрии, Впрочем, его основная цель заключалась в другом: во включении метрической геометрии в проективную путям введения идеальных элементов. С этой точки зрения его исследования представляют интерес и сейчас. Ряд работ, посвященных основаниям геометрии, принадлежит, далее итальянским учйным — Пеано и его ученикам. Исl следование самого Пеано «Логически изложенные основания геометрии» (О. Реапо, Рг!пс!р!! Ей 8еоше!На !оа!Сашеп!е езроз!1, 1889) посвящено сравнительно узкой задаче.

У Пеано даны лишь аксиомы, соответствующие! и 9 группе аксиом Гильберта, т, е. аксиомы соединения и порядка, Зато в этой ограниченной области Пеано, действительно, достиг логической отточенности изложения. Ученики Пеано, продолжая его работу, ограничивались аксиоматикой, главным образом, проективной геометрии. Мы остановимся поэтому лишь на одном исследовании Пиери «Элементарная геометрия как дедуктивная система» (М. Р)е г 1, Ве!!а деоше!На е!ешеп!аге соше е!з!еша !ро!е!1со беби!- !)Во, 1899), непосредственно относящемся к нашей теме. Здесь Пиери предлагает своеобразно построенную аксиоматику евклидовой геометрии.